Интегральные уравнения Краснов М.Л

40	. IЛава				a
			2:· Интегральные ypasнeiOfJI:
где Wn(x) определяются nо·формулам
		ь
	W I (x) = 1а			К(х', t) /(t) dt,	.·;	,
	.	Ь		.Ь
	'Ф2 (х) :;=	1а		Jа	K2 (x, t) f (t) dt ,,
		ь		ь
	Фз (х) = 1			К(х, t) ф2 (t) dt = 1К3 (х, t) / (t) dt и т. д.

аа

Здесь	ь		ь
К2 (х, t) = 1а		К(х, z) К:,(z, t) dz,	К3(х, t) = Jа ж (x ; .t) K2(z, t) dz,

и вообще		Kn ( X , t) = 1аь·
	. . . ,		К(х, z) Kn- t (z , t) dz,
n = 2, 3,		причем К1 (х , t) = К ( х , t) . Функции Kn (X , t) ,

емъiе	по формулам (3), назыВаются итерирОваннЬIJ4u ядрами.
справедливо.соотношение			-	'
	.	.
		ь
		Kn (X, t) = 1а	Кт(Х, s) Kn-m(s, t) ds, .

	(3)
определя­
я	них
	.
	(4)

'

где т - любое натуральное число, менъшее .n.

Резольвента интегрального уравнения (1) опреде.цяется через Итери­ Р9ванные ядра формулой

R(x, t; Л) =		00
		2:::
		n=l Kn (x, t)лn-l ,		(5)
'			1	К ( х, t) .
где ряд, стоящий в правой части, ·называетсярядаМ llейi.шна ядра
Он сходится для			1
	IЛI < В '			(6)
	ь	ь
где
В =	11а а		K2 (x, t) dx dt .

§ 8. Иrернроввнt :ов ядра. ПосrроеJ:Ше реэольsенты

41

Решение уравнения Фредr9льм;ц 2-ro рода (1) ВJ»ражается формулой

ь

!p(:t) = /(:t) + Л J R(z, t;c )J{t).Jlt

(7)

а

Граница (6) является существенной для сходимости р.яда (5). Однако

. 1 .

решение уравнения · (!) может существовать и для значений \Л\ > В

Рассмотрим пример:

1

1p(t) dt = 1 .

Здесь К(ж , t) = 1 ,

IP(:t) - лfо

(8)

и, следовательно,

1

1

dж dt

в2 =

1

1 к2(:с,

j'j

о

о

d:

о

о

j 1

1.

t) d:c dt ;::;

ТакИм образом, условие (6) дает, что ряд (5) сходится nри \ЛI < 1.

1

.

Решая уравнение (8) как уравнение с вырож.ценным ядром (см. § 9),

nолучим ( 1 - Л) С

= 1, где С :::::::f 1p(t) dt.

При Л = 1 это уравнение

.

о

неразрешимо, а значИт, hрн Л = 1 интегральное уравнение (8) решения

ite' имеет.

Отсюда следует,

что в круге радиуса,

большего единицы,

последовательные nриближения для

уравнения (8)

не

моrут сходиn.ся.

Однако при \Л\ >

1

уравнение (8) разрешимо. В самом деле, если Л

:f: 1,

тО функция IP(:c)

1

= -- явnяется решением данного уравнения,

что

1

- А

легко . nроверить неnосредственной nодстановкой.

Для некоторых уравнений Фредrолъма ряд Неймана (5) для резоль­

это;

венты сходится nрИ лЮбых значениях Л . Пока::жем

Пусть имеем два ядра:

К(ж, t)

и L(ж , t) .

Будем называть эти ядра

ортогональными, если выnолняются два условия:

ь

ь

j К(ж ,

z) L(z, t) dz = О,

jL(ж

z) K(z, t) dz = О

(9)

а

а

nри любых доnустимых значениях х и t .

Наnример, ядра К(:с, t)

= : c tи L(:c, t ) = хЧ2 ортогоналъны на [- 1, 1].

1

В самом деле,

1

1

1

=

-11

(xz)(z2t2) dz

жt2

z3dz = О ,

j(ж2z2)(zt) dz = ж2t 1z3dz = О.

-j1

-1

-1

t, если

42		, Ihaвa 2. ИнтеГральные уравнения Фредгольма
Существуют также ядра, ортогональные самим 'себе. Для та:ких ядер
	::::::				второе итерированное ядро. В этом случае,
K2(z, t)		О , где K2(z, t)
очевидно,		все	последующие итерированные ядра также равны нулю,
				-

и резольвента совпадает с ядром K(z, t) .

Пример. K(z, t) =sin (z - 2t) ; О z 21Г , О t 21Г .

k	Имеем	k		.
jо sin (z - 2z) sin (z - 2t) dz =		/о	[cos (z + 2t - 3z) - cos (z - 2t - z)] dz =
	= -1	-- sin (z + 2t - 3z) + sin (z - 2t - z)] ,.=2..
	2	[	13	.

ТакиМ образом, в этом случае резольвента ядра равна самому ядру:

R(z, t; ) = sin (z - 2t),

так что ряд Неймана (5) состоит из одного члена и, очевидно, сходится

= 0,

при

любом .
Итерированные ядра Kn(z, t) можно непосредственно выразить через Данное
ядро K(z, t) по формуле
ъ	ъ	ъ
Кп(z, t) = J J ... J K(z, St)K(st, s2) . . . K(sn-t• t) ds1ds2 . . . dSn-t-			(10)
а	а	а
Все итерированные ядра K,.(z, t), начиная с K2(z, t), будуr непрерывными
функциями в квадрате		n {а z Ь, а t Ь} , если начальное ядро	K(z, t)
суммируемо С КВадРаТОМ В fl.			K,.(z, t)
Если данное ядро		K(z, t) симметрично, т о все итерированные ядра
тоже симметричны.			t>

Приведем примеры отыскания итерированных ядер.

Пример 1. Найти итерированные ядра для ядра K(z, t) =

а = О, Ь = 1 .

Решение.

Полъзуясь формулами (3), найдем последовательно:

Kt(Z, t) = z1- t,

K

(z, t) =

fо

(z - s)(s

- t) ds

-- -

zt -

1

'

= z + t

2

/о

(

2

3

Кз(z, t) =

(z - s)

s + t

st - З1) ds == -и·

1

z - t

-2- -

1

-

1

-+ t

-

K4(z, t) = - 121 J(z - s)(s - t) ds =

12 K2

(z, t) = -и1 (z

-

2

о

z -

zt -

1 ) 3

, .

К. s(x	'
. .
K6(z,

t)

t)

=

=

§ 8.•• Ит рнрr:т анные ядра. nостроение ре О/IЬЕЩНТЫ

_..!_ j<{l;1		- s)..	·(. .	8+ t	- st - !) ds =. _...			!_	Кз(z	t) = ж - t
1 2				2	3	.	1	2	. '		.	122
	о ·
1	1				K2(z, t)		1		x + t			1
122	.j(z - s)(s - t) ds = ----						w-	(	-- -		zt -	3	)
							122		2
	о ·

4J

. .

'

.

Отсюда следует, что итерированные ядра имеют вид:

1) для n = 2k - 1

(- l)H -

(z t);

2) для n = 2k										(	z + t	1)·
						1
					.	(- 1)н
			К •(Ж						---- - жt - -
					t) :::::
			2	'				k-t .
где k =							2				2	3
	1,	2,	3
			, . . . .

·

'

Пример 2. Найти

итерированные

ядра K1(z, t).

и

K2(z, t) ,

если

К(х, t) = emin(z,t), а = О, Ь = 1 .

Решенне. По определению имеем

.	{	ж, t	}	= {	z,	если
mtn					.t,	если

nоэтому данное ядро можно заnисать в виде

К(ж, t) =	е1,
	{ е"',	есесли

О ::;;;z t,

t::;;; ж 1 ;

Ож ::;;;t, t ж l.

Это ядро, как легко проверить, является симметричным, т. е.

К(ж, t) = K(t, ж),

Имеем К1(ж, t) = K(z, t). Находим второе итерированное ядро:

К2(ж, t) = j1 K(ж, s) K1 (s, t) ds = j1 K(ж, s) K(s, t) ds.

оо

Здесь

К(ж, s) = K(s, t) =

{ее"'• ',

{ее•1,'

если

если

если

если

8а : ) ,

о::;;; 8 t::;;;, t ::;;; s 1 .о ::;;;ж s,

Так как данное ядро К(ж, t) симметрично, то достаточно найти K2(z, t) только
при z > t.	·

	44	Глава. 2. Интегральные уравнения ФpJ!f
	Имеем (рцс. 2)		1
	t	"'
	К2(х, t) = j	К(х, 8) К(8, t) d8. + jК(х, 8) К(8, t) d8	+ j К(х, 8) К(8, t) d8	.
	о	t	z
	В интервале (0, t) имеем 8 < t < х, поэтому

Винтервале

Винтервале

о8

оt

оt

t

t

t

==

2t

j К(х, 8) К(8, t) d8 = jе е

d8

== j

'd8

е

1

о

'

'

о

e

2

; .

о

(t, х)

имеем t < 8 < х , поэтому

"'

"'

t

2

J К(х, 8)

-

К(8, t) d8 = jе'е1 d8 == ez+

е

1.

1)

t

t

(х,

имеем 8 > х > t, поэтому

1

1

d8 == ( 1 .....х)е"'н.

JК(х, 8)К(8, t) d8 = jе"'е1

:t

"'

tх

8		х
х		8
Рис. 2			t) ==
	К2(х,

(2 -

Складывая найденные интегралы,

полу·

1чим

	К2(х, t) = (	2	- х)е:н	t	-	1	+	e	2t	(х > t).
1						-2-
	Выражение для К2(х, t) при х < t

1мы найдем, если поменяем местами ар­ гументы х и t в выражении (х, t) для

>t: К2х

						2
	e					"'
		-	--
t	z+t		1	+	е		(х < t).
)				2

Итак, второе итерированное ядро имеет вид
	если	О х t,
	если	t х 1.	[>
Замечание. Если ядро К(х, t) , задаваемое в квадрате а х Ь, а t Ь
разными аналитическими выражениями,	не является симметричным,		то
следует отдельно рассмотреть случай х < t. При х < t будем иметь (рис. 3)

К2(х, t) =

ь j К(х,

8) К(8, t) d8

=

j"' +

jt

+ jъ .

а

а

ж

t

§ 8. · Итерированные ядра. Построение реэольвеff1ЬI					45
Пример 3. Найти итерироsанные ядра К1 (ж, t) и K2(:t, t) , если				а =	О,
Ь = l и	{ : ::		О :v < t ,
К(ж, t) =		если
		если	t < ж 1.

Решение. Имеем К1 (ж, t) = К(ж, t),

K2(z, t) = j1 К(ж, s) К(в, t) ds,

о

где

к(x, s) =	{ ж + в,			если	о ж < в,
		х - s,		если	s < ж
		8
К(в, t) =	{		+ t,	если	о 8 < t,
				если	t < s	1.
		s - t,

Так какданное ядро К(ж, t) не симметрич­ но, то при нахождении K2(z,t) рассмотрим отдельно два случая: 1) ж < t и 2) ж > t.

l) Пусть х < t. Тогда (см. рис. 3)

а		s		х	t		Ь
а			х		s	t	Ь
а			х	t	s		Ь

Рис. З

K2(z, t) = 11 + 12 + 1з,

rде

		t	-stз 5ж3		2	2	.	2
	= "'
			(ж + s)(s+ t) ds = 6 -	+	3			3	2
12					-xt		- -ж t,
		f1	Р жt2			x2		2t	1
13 =		f	(ж + s)(s - t) ds = -6 + -2 - жt + - - - +-
		1		·					з·

Складывая эти интеrралы, получим

		t	3 -	2 3 . 2	2zt2	- жt +	a : - t	+	3
		К2(ж, t) =		3ж - ж t +					1	(ж < t).
2	)	Пусть ж > t. Тогда (см. рис. 2)

К2(ж, t) = 11 + 12 + 1з,

46	Тhава 2. Интеrрвльные уравнения ФРедrольма
где

Складывая эти интегралы,

nолучим

	К
	2
Итак, второе
К	(ж,
2

	(ж, t) = -		2	z		э	-
			3
	итерированное
	t) =	{ -		ж	3		+
		-	2	ж	3		-
			з

		3	2		2
	t
			+ ж t + 2zt			-
	ядро имеет вид
	е		2		2	-
			- z t + 2жt
	t	з	2	t + 2жt	2	-
			+ z

жt +

жt + жt +

ж - t
-2-
z	;	t
ж	- t
--
	2

+

+ +

З1

	·
	1	·
	з

(ж > t).

о ::s;;ж < t, t < ж ::s;;1.

3, 4,	Аналогично
	. . . ).

находятся	и остальные итерированные ядра К,.(ж,t)	(n	=
			1>

дач		самосто тельного			решени
За	и для		я			я
Найти итерированные ядра указанных ниже ядер nри заданных а и Ь.
92. К(ж, t) = : е -t;			а = -1, Ь =		1 .
93.	К(ж, t) = sin (ж - t);		а = О,	1Г		(n = 2, 3).
				Ь = i
94.	К(:е, t) = (ж - t)2 ;		а = -1 , Ь =		1	(n = 2, 3).
95.	К(ж, t) = ж + sin t;		а = -1Г, Ь = 1Г.
96.	К(ж,t) = же1;		а = О,	Ь = 1.
97.	К(ж, t) = е"' cost;		а = О,	.
				Ь = 1 Г
			2
В следующих задачах найти K (z,t):
98.		-	а = О,	Ь = 1.
	К(ж, t) = elz tl;
99.	K(:e, t) = el"'l+t ;		а = -l , Ь =		1 .
	Приведем пример построения резольвенты интегрального уравнения
с помощью итерированных ядер.

§ 81. Итерир0t3ан:ые ядра. nостроение резолqsенты

47

Рассмотрим интегральное уравнение

	1
1р(х) - Л	1о	xt 1p(t) dt == j (x).					( 1 1)
Здесь К (х, t) = xt; а = О, Ь = 1 . Последовательно находим:
К1 (х, t) = xt,
	1				t,
К2(х, t) =	1о	(xz)(zt) dz =
	1	1			xt
К3 (х, t) = З 1(xz)(zt) dz = 32 ,
		о
	xt
Кп (т, t) = зn- J .					(Л)n-1		3 Л •
Согласно формуле (5)				оо
оо			-t				3 t
R(x, t; Л) = Kn (x , t)лn				= xt	3	=

где. IЛI < 3.
В силу формулы (7) решение интегрального уравнения ( 1 1 ) заnишется
в виде					1 3Зжt..\ f(t) dt.
1р(ж) = / (ж) + Л о
В частности, nри	/(ж)	=	ж	J
				олучим
				n	Зж
где Л 1- 3.			iр(ж) = 3		- ..\ '

Задачи для самостоятельного решения

Построить резольвеНТЪI для следуЮщих ядер:

1 00. К(х, t) = е"'н;	а = О, Ь = 1.
1 01 . K(x, t) = sinx cost;	11'	·
	а = О, Ь = 2

а = -1, Ь = 1 .

48

Глава 2. Интеграл:>ные уравнения Фредголы.tв

1 03.

K(ж, t) = (1 + ж)(l - t); а = -1, Ь = О.

1 04.

2

2

а = -1, Ь

= 1.

К(ж, t) = ж t

;

1 05.

К(ж, t) = жt;

а = -1, Ь = 1.

ЕслИ

М(ж, t) и N(ж, t) - два ортогональных ядра, ·то резольвента

R(ж, t; >.),

соответствующая ядру

К(ж,

t) = М + N, равна сумме резоль­

вент

R1(ж,

t;

>.)

и

R

2

(ж, t; >.), соответствующих каждому из этих ядер.

Пример

4.

Найт резольвенту для ядра

и

К(ж, t) = жt + ж2t2,

а = -1,

Ь = 1.

= ж t

Решение. Как бьmо показано выше,

ядра М(ж, t) = жt и N(ж, t)

2

[-1, 1] (см. с. 41).

Поэтому резольвента ядра К(ж, t)

2

ортоrональны

на

равна

сумме резольвент ядер М(ж, t) и N(ж, t).

Используя результаты задач 104 и 105,

находим

3

t>

где IЛI < 2 ·

Задачи для самостоятельного решения

Найти резольвенты для ядер:

1 06.

K(ж, t) = sin ж cost + cos2ж sin2t;

а = О, Ь = 21Г.

1 07.

К(ж, t) = 1 + (2ж - 1)(2t - 1);

а = 0, Ь = 1.

Указанное свойство можно расnространить на любое конечное чи­

сло ядер.

t), .

п

Если ядра мО>(ж, t), м<2>(ж,

. . , м< >(ж, t) поnарно ортогйналь­

ны, то резольвента,

соответствующая

их сумме

К(ж, t)

=

n

< >

L: м т (ж, t),

m=l

равна сумме резольвент, соответствующих каждому из слагаемых.

Назовем n-м следом ядра К(ж, t) величину

ь

(n = 1, 2 .

An = /Кп(ж, ж)dж

. . ),

(12)

а

где Кп(ж, t) - n-e итерированное ядро для ядра К(ж, t).

§ 9. Интегральные уравнения с ВЬiрожд енным ядром

49

Имеет место следующая формуладля определителя Фредrольма D(Л) : '

D'(Л)	(В)
D(Л)

Радиус сходимости степенного ряда (1 3) равен наимен"шему из модулей характеристических чисел.

Задачи для самостоятельного решения

1 08.

Показать, что ,!I.Шt уравнения Вольтерра

"'

IJ'(z) -

А

1о

K(z,

t)

(J'(t)

dt =

f(:t)

оnределитель Фредrолъма D(Л) = e-At.\ ,

и, следовательно, резольвента для урав­

нения Волътерра есть uелая аналитическая

фуmщия от Л.

1 09.

Пусть R(ж, t; ..\) есть резольвента некотороrо ядра K(z, t).

Показать, что резольвента уравнения

ь

(J'(:t} - tJ 1<1

R(ж, t;

Л) P(t) dt ·= /(ж)

равна R(z, t; Л + p).

1 10.

Пусть

ь

ь

к'i, (ж, t) dж dt = в;,

а "

В2

,

1"

Jа

rде

t)

- n-e итерированное ядро для ядра K(z, t). Доказать, что если

В2

В

для любоrо n

будет В,.

=

В" .

К,. х, ,то

§9. Интегральные уравнения

свырожденным ядром

Ядро К(х, t) интегральною уравнения Фредrольма 2-ro рода назы­

вается вырожденны.м, если оно является суммой конечною числа nроиз­
ведений функций только от	х на функции только . от t , т. е. если оно
имеет вид	n
К(х, t) = 2:k=l		ak(x) Ь t(t);	0)