130 |
Глава 4. Интегральные уравнения t·го рода |
|
283. Свести к уравнецию Вольтерра 2-ro рода уравнение |
|
|
"' |
|
; |
|
|
|
Jв |
rp(s) ds = f(z) |
|
|
|
(z, |
) |
|
|
|
z - s " |
|
|
в предположении, что H(z, s) и f(z) |
непрерывно дифференцируемы, f(a) |
= О, |
Н(а, а) :;!: О и О < а < 1. |
|
|
|
|
§ 21 . |
Интегральные уравнения Вольтерра |
|
|
1 -го рода типа свертки |
|
Интегральное уравнение 1-ro рода |
|
|
z |
|
|
|
|
|
jо |
|
|
I{J(t) dt = J(x), |
|
|
К(х - t) |
(1) |
у которого ядро К(х, t) зависит лишь от разности аргументов х - t, будем
называть интегральным уравнением 1-го рода типа свертки.
К этому классу уравнений относится, например, обобщенное урав нение Абеля.
Рассмотрим одну задачу, приводящую к интегральному уравнению Вольтерра типа свертки.
Магазин покупает и продает различные товары. Предполагается, что:
1 ) покупка и продажа суть непрерывные процессы, и купленные товары немедленно поступают в продажу;
2)магазин приобретает каждую новую партию любого товара в таком количестве, какое он может продать в промежуток времени Т, один и тот же для всех покупок;
3)каждая новая партия товара распродается равномерно s течение времени Т.
Магазин начинает продажу новой партии товара, общая стоимость которого равна единице. Требуется найти закон IP(t), по которому он
должен производить покупки, для того чтобы стоимость наличного товара оставалась постоянной.
Решение. Пусть стоимость первоначального товара, оставшегося к момен
ту t , равна K(t) , где |
|
{ |
1 - · |
|
|
K(t) = |
t Т, |
|
|
о, |
t > т. |
K(t - т) tр(т) dт .
§ 21 . Интегральные уравнения Вольтерра 1-го рода типа свертки
Предположим, что в nроме:ж:уток времени от т до т + dт покупается товаров на сумму tp(т) dт. Этотзапас уменьшается вследствие nродажи таким образом, что стоимость остатка к моменту t > т равна Поэтому стоимость неиродаиной части товаров, приобретенных путем nокупок, будет к любому моменту t равна
j1 K(t - т) tр(т) dт.
о
Таким образом, tp(t) должна удовлетворять интегральному уравнению
1 - K(t) = jt K(t - т) tр(т) dт.
о
Мы получили интегральное уравнение Вольтерра 1-ro рода тиnа свертки. Пусть /(ж) и К(ж) - функции-оригиналы, и пусть
j(ж) ;=' F(p),
К(ж) := К(р), tр(ж) :=' Ф(р).
Применяя к обеим частям уравнения (l) nреобразование Лапласа и исnользуя теорему о свертке, будем иметь
К(р) · Ф(р) = F(p),
откуда |
|
(р) |
(К(р) # о) . |
Ф(р) = |
К(р) |
|
Оригинал tр(ж) для функции |
Ф(р), определяемой равенством |
интегрального уравнения (1). |
|
|
|
(2)
(2), будет решением t>
|
Пример. |
Решить интегральное уравнение |
х. |
|
|
|
|
|
z ez-ti{J(t) dt = |
(3) |
|
Решение. |
|
|
Jо |
|
|
|
|
Применяя nреобразованИе Лапласа к обеим чаСтям (3), полУчим |
|
|
|
|
1 |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
- Ф(р) = =- , |
|
|
|
откуда |
|
|
p - I |
l |
р2 |
|
|
|
|
|
= |
- 1 |
1 |
|
|
|
|
Ф(р) |
р-- = - - 2 ? l - ж. |
|
|
|
|
р2 |
р |
р |
|
t> |
|
Функция tр(ж) |
= 1 - ж есть решение уравнения (3). |
|
|
l2 Ф(р) =
р-
l ,
-2
р
§ 21 . Интеrрli.льные уравнения Вольтеррэ 1-ro ·рода типа свертки l:JЗ
состоит в том, что функцИЯ )'\ ) 'имеетнеrферывные Производные до n:..ro порядка включительно, и все ее n - 1 первых производных обращаются в нуль при х = О.
Это «модельное» уравнение (4) указывает на необходимость согласо
вания порЯдКов обращения в нуль ядра при t = х и правой части /({:)
при х = О (превышение должно быть за правой частью по крайней мере
·
на 1) .
' Рассмотрим интеграль!; ное уравнение
:с
j(х - t) tp(t) dt = х.
о
Здесь f(х) = х, n = 2. ОчевИдНо, f(х) имеет производные всех порядков, но ее первая производная /'(х) = 1 t= О, т. е. необходимое условие не выполняется.
Применяя формально к обеим частям уравнения (5) иреобразование Лапласа, получим
Это есть изображение б-функции б(х). Напомним, что
- целое ;;;::О. - Итак, решение интегрального уравнения (S) есть б-функция:
tp(x) = б(х).
В этом можно убедиться непосредственной проверкой, если учесть, что
свертка б-функции со всякой гладкой функцией g(x) определяется так:
g(x) * б(х) o<">(:t) *g(x)
В самом деле, в нашем случае
а:
J К(х о
=g (x) ,
=g<">(x) (k = 1, 2, • . . ) . g(x) = К(х) = х и
t)o(t) dt = К(х) = х.
Таким образом, решение уравнения (S) существует, но уже в классе обобщенных функций.
§ 21. |
Интегральные уравнения Вольтерра 1-ro рода . типа свертки 13.5 |
Пусть |
cp(z) := Ф(р), /(z) := F(p) . Применяя к обеим чцстям (6) |
иреобразование Лапласа и исnользуя формулу (9), nолучим
|
- |
Ф( |
) |
1n р + 1 |
= |
F |
(p), |
|
|
|
|
р |
|
|
р |
|
|
|
|
|
|
откуда |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Ф(р) - |
- |
pF(p) |
|
|
|
|
|
|
|
lnp + 1 . |
|
|
Заnишем Ф(р) в виде |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Ф(р) = - |
р2F(p) - /'(О) |
- |
|
/'(О) |
. |
p(ln p + |
1) |
|
p(ln p + 1) |
Так как /(0) = О, то |
p1F(p) - J'(P) := !"(: :). |
|
|
Возвратимся к формуле (7), заnисав ее в виде |
|
|
|
|
|
zv |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
Г(v + 1) := |
pv+l |
|
|
|
|
Проинтегрируем обе части (12) по v в пределах· |
от О до |
!00 |
Г(v + 1) |
|
dv := |
Joo· |
pv+l |
|
= р ln p · |
|
о |
zv |
|
|
|
о |
dv |
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(10)
(11)
(12)
о о . Получим
По теореме подобия |
|
|
|
|
|
00 |
zva-v |
dv := |
1 |
1 |
|
|
Jо |
Г(v + 1) |
р ln (ар) = p(ln p + ln a) |
· |
|
Если положить а = е7 , то |
|
|
|
|
|
00 zve-7v |
1 |
|
(1 |
3) |
|
Jо . Г(v + 1) dv := p(lnp + 1) · |
|
|
Воспользуемся равенством (10). В силу (13) |
p |
ln |
p |
+ 1) |
:= ! (О) |
00 |
Г |
(v + 1 |
( |
|
|
. |
' |
J |
|
|
!'(О) |
|
|
zve-'Yv |
о
Учитывая (ll) и ( 13), первое слагаемое правой части (10) можно рассма
тривать как произведение изображений. Для нахождения его оригинала
136 |
tлава 4. Интеrраль ные уравнениt 1 to рбда |
воспользуемся теоремой о свертке: |
|
|
; |
|
|
::::z |
|
|
|
(./оо |
|
|
p2F(p) - /'(0) |
J |
" |
(t) |
(ж - t)"e-1" |
dv)' dt. |
|
p(ln p + - y) |
· |
J |
|
о |
|
|
|
|
· |
Г(v + 1) .. |
|
|
|
о |
|
|
|
|
|
Таким образом, решение <р(ж) |
интегрального уравнения (6) будет иметь |
вид |
<р(ж) = - Jоz J"(t) (/00о |
|
(жГ(v +еl-)111 dv) dt - !'.(О) |
/о00· . Г(v + I) dv |
|
|
|
_ t)" |
|
|
ж"е-111 |
.(-у - постоянная Эйлера).
В частности, при f(ж) = ж получим
§22. Интегральные уравнения Фредrольма
1 -ro рода
Интегральным уравнением Фредгольма 1 го рода называется уравпение вида
jь К(ж, t)<p(t) dt = j(ж),
а
не содержащее искомой функции <р(ж) вне интеграла.
Вопрос о разрешимости таких уравнений со скольугодно «Хорошим ядром К(ж, t) и правой частью J(ж) составляет значительные трудности.
Рассмотрим, например, уравнение
j1 (Зж2t + жt2 + t3)<p(t) dt = sin ж. (2)
о
Легко видеть, что при любой непрерывной фунiщии <p(t) левая часть (2)
(после выполнения интегрирования) представляет собой многочлен вида
Р(ж) = Аж2 + Вж + С,
который ни при каких значениях коэффициентов А, В, С не равен тожде ственно на [0, 1] функции sin ж - правой части (2) . Следовательно, это уравнение в классе интегрируемых на [0, 1] функций решений не имеет.
§ 22. И11теrраnьнЬ{!1 уравнения ФР*Jд.rольма 1-ro рода
Теорема Пикара. Интеградьпое уравнение Фредгол t>Ма 1-го рода имеет решение, и притам единственное, в классе t2(a, Ь) , если вьтолняются условия:
1° . |
Ндро К(ж, t) ,....вещественное симметричное. |
|
|
2° . |
Ряд |
|
|
00 |
|
|
|
|
(3) |
|
|
|
|
I: >. й |
|
|
|
|
явллетс>i с.ходящимся· |
|
k=l |
|
|
|
|
|
|
. Здесь >.k · - характеристические числа ядра |
|
К(ж, t) |
|
|
ь . |
|
|
|
|
(4) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
/1: = j f(x)VJ :(ж) dx, |
|
|
где VJk (ж) - собственные функции ядра К(ж, t) , соответствующие |
|
характеристическим ЧисЛам >.k . |
|
|
|
|
|
3° . |
Система собственных функций {VJk(ж)} полная на [а, bJ. |
|
|
Решение уравнения (1) t1 |
этом слу<tае пре дставимо в виде |
(5) |
|
|
|
VJ(:t) = L >.k fkiPk(x). |
|
|
|
|
|
k |
|
|
|
|
|
Пример 1. Рвwить интеrральное уравне,.ие Фредгольма 1-ro рода |
(6) |
|
j1 |
К(а:, t)tp(t) dt |
sin 31rж, |
|
где |
о |
|
|
( l - x)t, |
О t х, |
|
|
. К(ж, t) |
|
(?) |
|
= |
{. ж(l - t), |
:t |
t |
|
1 . |
|
|
|
|
|
|
|
Решение. Характеристические чifсда Ядра (7)
Л! = 11"2, |
.Л2 = (211")2, |
• • • , |
Л" = (n1t)2, |
. . . ' |
. . . . |
(8) |
а с Шще нм с нные ф |
|
l{)"(z) |
V2s mrz, |
1{)1(ж) :::::v'2sin1t , |
I{J |
(z) =::V2sin 21t , |
. . . , |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Для выяснения вortpc:x:a |
о разрешимости уравне щя (6) при заданном фор |
мулой (7) ядре K(z, t) |
воспользуемся теоремой Пикара. Условие |
1• теоремы |
|
|
i ' |
- |
' идро' |
' быть |
|
- - |
|
|
|
Пнкара, очевидно, выnолtiЯеJrся: |
|
(7) вещественное И симметричное. |
|
Правая часть уравнения (6) может |
|
пре,11ставлена в виде |
|
|
|
|
siri 31tz |
3 |
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
= - sin 1tfl! |
- -. 4sin З1tz, |
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
138 |
Тhава |
4. интегральные уравнения 1 ro,Юда |
|
или, что то же, |
|
|
3.г,;;(V2sin1rx) - |
l.г,;;(../2sin3'11'х) = |
3/;;'Y'I(x) - |
|
sin31rx = |
l.г,;;У'з(х), |
|
4v2 |
|
4v2 |
4v2 |
4v2 |
где <р1(х) и <р3(х) - собственные функции из системы (8). Значит, f(x) = sin3'JI'x
имеет следуЮщие коэффициенты разложения по функциям системы (8):
/1 = 4.3ji' |
|
/2 :::0, |
|
|
л = о |
|
(k 4). |
Ряд (3) в данном случае сводится к конечной. сумме |
2 2 |
2 |
|
|
4 |
00 |
2 2 |
( |
3 |
2 |
2 2 |
l |
|
2 |
|
45 |
Лkfk = |
4../i) |
|
('11') |
+ (- 4../i) |
|
(3 '11') = |
16 |
'11'. |
Значит, выполняется и условие 2•.
Наконец, система собственных функций (8) является nолной ортанормиро ванной системой на [0, 1 ] , так что выполнено и условие 3•.
Согласно теореме Пикарауравнение (6) имеет единст нное решение, пред
ставимое в виде (5):
<р(х) == ЛI/I'PI(x) + Лзfз'Рз(х),
что в нашем случае дает |
[> |
3'11'2 |
<р(х) = 4 (sin'JI'X - 3 sin3'JI'x). |
Непосредственной подстановкой убеждаемся, что решение (9) най
дено верно.
Требование nолноты системы собственных функций {IPk(ж)} в теоре
ме Пикара является суmественным. Покажем это на следующем nримере.
Пример 2. |
t!p(t) dt = · |
|
!о 1 |
(10) |
Решение. Применяя изложенный в § lO метод отыскания характеристи ческих чисел .lf собственных функций, находим, что характеристическое число данного ядра есть Л = 2, а соответствующая ему собственная функция ф(х) = l .
Ясно, что «система• собственных функций, состоящая из одной только функции ф(х) = 1 , не является полной на [0, l] . Поэтому теорема Пикара
не гарантирует, что решение уравнения (10) будет единственным. Непосредственной nодстановкой убеждаемся, что решениями уравнения (10)
будут, наnример, любые трехчлены вида
У'(х) = х + ах2 + {3х3,
если коэффициенты а и {3 связаны условием Sa + 4(3 == О. |
|
Очевидно, все такие решения принадлежат L2(0, l). |
1> |
§ 22. 11/нтеrральн ые уравнения Фредrольма .t·ro рода
Задачи для самостоятельного решения
Выяснить, какие Изданных интегральн ых уравнений разрешимы:
1(з - 2)t (t) dt = 3 + з - 1 . |
304. |
о |
|
1.. K(ж, t) (t) dt = З sin ж - sin 3ж , |
rде |
о |
|
|
|
|
|
|
1cos < + t) (t) dt = 1r cos . |
о |
{ |
t(1r - ж) |
|
,' j ' |
|
--, О t ж, |
К(ж,t) = |
1Г |
|
|
|
:t:(1Г- t) |
, |
|
|
--. |
ж t . ..- |
|
11' - |
|
Метод проиэводящ/1/Х функций
Функция G(ж, t) называется производящей ДЛя системы функций
|
|
|
|
|
|
go(t), 91 (t), . . . , Un(t), . . . , |
|
|
|
|
|
|
(11) |
если |
- nостоянные. |
|
|
|
00 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
G(:в, t) |
|
L Cn9n(t):вn |
, |
|
|
|
|
|
|
|
( 1 2) |
где |
|
|
|
= n=O |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Пусть имеем интегральное уравнение |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Сп |
|
|
|
ь |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
К(:в, t)p(t)!p(t) dt = f(ж), |
|
|
|
|
|
|
(13) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
jа |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
в котором ядро К(ж, t) является производящей функцией G(ж, t) |
|
неко орой действительной и ортогональной с весом |
p(t) |
|
О |
на интервале |
|
|
т |
ун |
ий |
|
|
и |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
для |
|
|
|
{g ;(t)}, |
|
|
f(:в) аналити |
чна в окрестности |
(а, Ь) системы ф |
кц |
|
|
|
|
|
|
> |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
уравнения |
(13) в виде |
|
|
|
|
точки ж = О. Будем искать решениепусть |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
00 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
( 14) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
i=O |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
где |
ai |
- некоторые неизвестные постоянные. |
|
Подстановка (12) |
и (14) |
в |
|
дает в силу ортоrоналъности {g ;(t)} |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(13) |
|
|
|
00 |
|
9n(t) |
|
ж |
|
= |
|
|
), |
|
|
|
|
|
|
(15) |
|
|
|
|
|
|
2: enanll |
ll2 |
n |
f :в |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n=O |
|
|
|
( |
|
|
|
|
|
|
|
где
ь
llun (t)ll2 = jg (t)p(t) dt.
