Министерство образования и науки РФ

–––––––——————————–––––––

Санкт-Петербургский государственный электротехнический университет «ЛЭТИ»

————————————————————

Матрицы, определители

и системы линейных уравнений

Методические рекомендации к решению задач

Санкт-Петербург

2006

УДК 00000000

Матрицы, определители и системы линейных уравнений: Методические указания к решению задач / Сост.: Е.А. Толкачева, М.Н. Абрамова, А.И. Куприянов. СПб.: Изд-во СПбГЭТУ «ЛЭТИ», 2006. 32 с.

Содержат решения основных типов задач элементарной линейной алгебры. Разобраны различные методы решения этих задач.

Предназначены для студентов-заочников всех специальностей.

Утверждено редакционно-издательским советом университета в качестве методических указаний

 СПбГЭТУ «ЛЭТИ», 2004

Матрицы, определители и системы линейных уравнений

Методические указания предназначены для студентов-заочников младших курсов. При изучении курса высшей математики делается упор на умение решать задачи. Основные методы решения тех или иных задач целиком переносятся на самостоятельную проработку. Программа курса высшей математики включает в себя, наряду с другими разделами, и определители, матрицы, системы линейных уравнений. Студент в своей работе может ориентироваться на любые источники, содержащие сведения по линейной алгебре. В качестве основного источника выбрана книга Писменного [3] – наиболее доступная, с точки зрения авторов. В начале каждого параграфа дается ссылка на этот учебник. Ответы каждого примера либо подчеркнуты, либо, при необходимости выделены отдельно.

Настоящие указания являются составной частью цикла методических разработок кафедры высшей математики №2 СПбГЭТУ «ЛЭТИ», и призванных помочь студентам-заочникам в самостоятельной работе.

Глава 1. Матрицы и определители §1. Алгебра матриц

Основные определения и утверждения по данному разделу можно найти на стр.10-14, ч.1, [3]. Матрицу, по главной диагонали которой стоят единицы, а остальные элементы – нули, называют единичной и обозначают E.

При решении задач в параграфе, будем использовать матрицы:

, ,и. ()

1. Вычислите A+Bдля матриц из ().

Решение:

Суммой матриц будет матрица, элементы которой получены суммированием элементов слагаемых. Складывать и вычитать можно только матрицы одинаковой размерности, причем результат будет той же размерности.

=

.

2. Вычислите 3A+2B для матриц из ().

Решение:

Найдем сначала матрицы 3Aи 2B. При умножении матрицы на число необходимо каждый элемент матрицы умножить на это число.

=.

Для матрицы Bаналогично:.

Сложим результаты: .

3. Вычислите A∙BиB∙A для матриц из ().

Решение:

Перемножить матрицы можно, если количество столбцов первого сомножителя совпадает с количеством строк второго сомножителя. Если умножается матрица порядка m×kна матрицу порядкаk×n, то в результате получится матрица порядкаm×n. Для получения ее-го элемента необходимо элементыi-ой строки левой матрицы умножить на соответствующие элементыj-го столбца правой матрицы и сложить полученные результаты.

==

=

. =. Произведение матриц не коммутативно, то есть для любых матрицAиB:A∙BB∙A, что и показывают полученные результаты.

4. Вычислите A²для матрицы из ().

Возвести матрицу в n-ую степень, значит умножить ее на себяnраз.

==.

5. Вычислите C∙D иD∙Cдля матриц из ().

Решение:

Произведение C∙D не определено, так как число столбцов матрицы, которых три, не совпадает с числом строк матрицы, которых два. Напоминаем, что перемножить матрицы можно, если количество столбцов первого сомножителя совпадает с количеством строк второго сомножителя.

Если умножается матрица порядка 2×2на матрицу порядка2×3, то в результате получится матрица порядка 2×3.

=

.

6. Вычислите C^T∙Dдля матриц из ().

Решение:

При выполнении операций над матрицами в первую очередь выполняется транспонирование, затем умножение матриц. Для того чтобы найти транспонированную матрицу надо строки матрицы записать в столбцы (или наоборот, столбцы в строки).

.

7. Вычислите D∙Eдля матриц из ().

Решение:

На главной диагонали матрицы Eстоят 1, другие элементы равны нулю.

.

Легко проверить, что E∙D=D. Полученные равенства верны для произвольных матриц. Единичная матрицаEпри умножении матриц играет роль числа 1 при умножении чисел.

8. Найти значение многочлена f(x)=x²+x+2для матрицы∙D().

Решение:

Запись f(D)=D²+D+2будет не корректна: выражениеD²+Dесть матрица размера 2×2, к которой нельзя прибавить число 2. А потомуf(D)=D²+D+2E, гдеE- единичная матрица подходящего размера.

==

=== .

9. Вычислите: .

Решение:

При вычислениях следует помнить о последовательности выполнения действий: сначала умножение матриц и умножения матрицы на число, потом сложение матриц.

==

==

.