Свойства

1 линейно зависимо

2M линейно независимо M' линейно независимо для всех 

3M линейно зависимо M' линейно зависимо для всех 

 12) Сме́шанное произведе́ние

 векторов —скалярное произведение вектора навекторное произведение векторов и:

.

Иногда его называют тройным скалярным произведением векторов, по всей видимости из-за того, что результатом является скаляр (точнее — псевдоскаляр).

Геометрический смысл: Модуль смешанного произведения численно равен объёму параллелепипеда, образованного векторами 

Свойства

Смешанное произведение кососимметрично по отношению ко всем своим аргументам:

т. е. перестановка любых двух сомножителей меняет знак произведения. Отсюда следует, что

2 Смешанное произведение в правой декартовой системе координат (в ортонормированном базисе) равно определителю матрицы, составленной из векторов и:

В частности,

3 Если три вектора линейно зависимы (т. е. компланарны, лежат в одной плоскости), то их смешанное произведение равно нулю

4 Геометрический смысл — Смешанное произведение по абсолютному значению равно объёму параллелепипеда (см. рисунок), образованного векторами и ; знак зависит от того, является ли эта тройка векторов правой или левой

• 5 Смешанное произведение удобно записывается с помощью символа (тензора) Леви-Чивита:

(в последней формуле в ортонормированном базисе все индексы можно писать нижними; в этом случае эта формула совершенно прямо повторяет формулу с определителем, правда, при этом автоматически получается множитель (-1) для левых базисов).

16) рямая в пространстве может быть задана как линия пересечения двух плоскостей. Так как точка прямой прнадлежит каждой из плоскостей, то ее координаты обязаны удовлетворять уравнениям обеих плоскостей, то есть удовлетворять системе из двух уравнений.

Итак, если уравнения двух непараллельных плоскостей -- и , то прямая, являющаяся их линией пересечения, задается системой уравнений

(11.11)

И наоборот, точки, удовлетворяющие такой системе уравнений, образуют прямую, являющуюся линией пересечения плоскостей, чьи уравнения образуют эту систему.

Уравнения (11.11) называют общими уравнениями прямой в пространстве.

        Замечание 11.2   Любые попытки с помощью преобразований уравнений системы (11.11) получить одно (линейное) уравнение, задающее прямую, обречены на неудачу. Одно уравнение -- это уравнение плоскости.  Общие уравнения прямой "неудобны" для получения информации о положении прямой.

Например, чтобы найти координаты какой-нибудь точки на прямой, нужно провести довольно сложные вычисления. А именно, задать произвольно какую-нибудь координату, подставить ее в систему (11.11) и из получившейся системы двух уравнений с двумя неизвестными найти две остальные координаты. Причем может оказаться, что полученная система не имеет решений. Тогда нужно произвольно задать другую координату и из системы найти две оставшиеся координаты.

18)  НЕРАВЕНСТВО КОШИ-БУНЯКОВСКОГО

Для любых векторов x и y евклидова пространства E со скалярным призведением (x, y)  справедливо неравенство:

|(x, y)|² ≤ (x, x)·(y, y).

20Ортогональный (ортонормированный) базис — ортогональная (ортонормированная) система элементов линейного пространства со скалярным произведением, обладающая свойством полноты.

Ортогональный базис — система попарно ортогональных элементов гильбертова пространства такая, что любой элемент однозначно представим в виде сходящегося по норме ряда

называемым рядом Фурье элемента по системе . Обычно базис выбирается так, что , и тогда он называется ортонормированным базисом. В этом случае числа , называются коэффициентами Фурье элемента по ортонормированному базису , имеют вид

.

Необходимым и достаточным условием того, чтобы ортонормированная система была базисом, является равенство Парсеваля

для любого . Гильбертово пространство, имеющее ортонормированный базис, являетсясепарабельным, и обратно, во всяком сепарабельном гильбертовом пространстве существует ортонормированный базис.

Если задана произвольная система чисел такая, что , то в случае гильбертова пространства с ортонормированным базисом ряд - сходится по норме к некоторому элементу . Этим устанавливается изоморфизм любого сепарабельного гильбертова пространства пространству (теорема Рисса — Фишера).

 Коэффициенты Фурье функции f периода 

либо