Kaku_M._Vvedenie_v_teoriju_superstrun

200 Гл. 4. Конформная теория поля и алгебры Каца - Муди

Другие соображения, вроде того, что поле имеет размерность 5/$

позволяют фиксировать соотношения											'
У(z) Sa(w) ~ У/2 (z-w)2					(ум)о S„(z) +				...,		(4.92> '
ЗД^*) ~	(z		w)	t +						- J y / a ^ W	(4.9.3)
								J2{z~- vv)3/4 ц			'
	+					- ( / * ) £ ¥ " ( * ) ¥ " ( * ) + . . . •
		У2
			(z-w)1'*

Если нам полностью известно поведение спинового поля на коротких расстояниях, мы можем построить вершинную функцию с весом 1. Нам нужен еще один фактор с весом 3/8, происходящий из духового сектора теории:

Sgh = - f d2zdQdQBDC + компл.-сопр. выраж.,	(4.9.4)
к

где

| B(z) = p(z) + 06(z), I C(z) = c(z) + 0y(z).

Духовый сектор можно бозонизировать в соответствии с формулами

р =	(4.9.6)
у = ефЛ.

Это позволяет, наконец, написать вершинную функцию с конформным весом 1 на массовой поверхности:

V-ll2 = uae~il/2)*Saeik х.	(4.9.7)
Ее конформный вес равен
l + 1 + o.'k2.	(4.9.8)

Чтобы выписать амплитуды, которые могли бы сократиться с вершинным оператором с индексом — 1 /2, нам нужна соответствующая вершинная функция с индексом +1 /2, которая дается выражением

Уц2 =	ua(k)eikXleiil2)*(dX* + 1-1к'уГ)(	Уц)а^Р
+	bSJ.	(4.9.9)

Располагая этими двумя вершинными функциями, мы можем теперь построить многофермионные амплитуды рассеяния.

Один из недостатков этого формализма-то, что у нас имеете бесконечно много вакуумных состояний и, следовательно, бесконечЯ0

§ 4.9. Резюме

201

оГО вершинных функций. Эти вакуумные состояния можно построить ^дующим образом:

10 ) = |<7>,	(4.9.10)
вес: \ * q { q + Q).	(4.9.11)

Это позволяет построить бесконечную серию фермионных вершинных функции. Например, любое из выражений

5 V3/2 = IQBRST,
К5/2 = С е в ^ г Д К 3 / 2 ] ,	(4.9.12)

можно взять в качестве приемлемой вершинной функции с весом 1. Такое чрезмерное изобилие смущает. Однако можно показать, что по крайней мере на массовой поверхности все эти функции эквивалентны. Поэтому мы можем выбрать по желанию любую из них и построить фермион-фермионные амплитуды рассеяния.

Одно из крупных преимуществ этого формализма состоит в том, что теперь мы можем построить генератор суперсимметрии, который является просто вершинной функцией, проинтегрированной по переменной z. Фактически мы получаем бесконечно много неэквивалентных операторов суперсимметрии и все они на массовой поверхности эквивалентны:

B - 1 / 2 . . - V

>

( 4 9 1 3 )

61/2,0 = e ( 1 / 2 ) * S V ) p e t c .

Наконец, можно получить последовательную целостную картину конформной теории поля, если рассматривать ее как один из способов вычисления матричных элементов для бесконечномерных алгебр КаЧа~Муди и суперконформной алгебры. Алгебра Каца-Муди обладает коммутационными соотношениями

[П, П] =

Т1я + я + кт

®которых все / суть структурные постоянные конечномерной алгебры Для алгебр уровня 1 с простыми связями можно построить базисное

Представление алгебры КацаМуди. Это базисное представление дается языке вершинных операторов, впервые полученных в теории струн. В указанном формализме спиновые поля Sa и ц/-поля NS-R-модели озкно рассматривать" как спинорное и векторное представления Л^(10)-алгебры Каца-Муди, а различные духовые поля (,Ь, с) и (Р, у) - как ^Личные представления суперконформной алгебры. Корреляционные к UK ~ т о г да можно считать коэффициентами КлебшаГордона для

иМинированной алгебры, включающей 80(10)-алгебру Каца-Муди суперконформную алгебру.

202 Гл. 4. Конформная теория поля и алгебры Каца - Муди

ЛИТЕРАТУРА

[1]Friedan D. In: Unified String Theories, eds. M. B. Green and D. Gross, World Scientific, Singapore, 1986.

[2]Knizhnik V.G., Zamolodchikov A. B. Nucl. Phys. B247, 83 (1984).

[3]Belavin A. A., Polyakov A. M., Zamolodchikov A. B. Nucl. Phys. B241, 333 (19344

[4] Friedan D., Martinec E., Shenker S. Nucl. Phys. B271, 93 (1986).

*

[5]Friedan D., Martinec E., Shenker S. Phys. Lett. 160B, 55 (1985).

[6]Knizhnik V.G. Phys. Lett. 160B, 403 (1985).

[7]Mandelstam S. Phys. Rev. D l l , 3026 (1975).

[8]Coleman S. Phys. Rev. D l l , 2088 (1975).

[9]Cohn J., Friedan D., Qiu Z., Shenker S. Nucl. Phys. B278, 577 (1986).

[10]Kostelecky V. A., Lechtenfeld O., Lerche W., Samuel S. Nucl. Phys. B288, 173 (1987).

[11]Кац В. Функц. анализ и его прилож. 1, 328 (1967).

[12]Moody R.V.J. Algebra 10, 211 (1968).

[13]Goddard P., Olive D. Int. J. Mod. Phys. Al, 303 (1986).

[14]Goddard P., Nahm W., Olive D. Phys. Lett. 160B, 111 (1985).

[15]Goddard P., Kent A., Olive D. Comm. Math. Phys. 103, 105 (1986).

[16]Lepowsky J., Mandelstam S. In: Vertex Operators in Mathematics and Physics, Springer-Verlag, New York, 1985.

[17]Bardakci K., Halpern M.B. Phys. Rev. D3, 2493 (1971).

[18]Halpern M.B. Phys. Rev. D12, 1684 (1975).

[19]Goddard P., Nahm W., Olive D. Phys. Lett. 160B, 111 (1985).

[20]Goddard P., Kent A., Olive D. Comm. Math. Phys. 103, 105 (1986).

[21]Кас V. Infinite Dimensional Lie Algebras. Birkhauser, Boston, 1983. [Имеется перевод: Кац В. Бесконечномерные алгебры Ли.-М.: Мир, 1993.]

[22]Moody R.V. Bull. Am. Math. Soc. 73, 217 (1974).

Глава 5

^ОГОПЕТЛЕВЫЕ АМПЛИТУДЫ И ПРОСТРАНСТВА ТЕЙХМЮЛЛЕРА

§ 5.1. УНИТАРНОСТЬ

Одна из наиболее привлекательных особенностей теории струн-это возможность создания теории гравитации, которая была бы полностью Дянитной и поэтому независящей от обычной теории перенормировки. Теория струн способна обеспечить такой подход, в рамках которого дервые может быть сформулирована финитная квантовая теория гравитации. Особенный интерес вызывает механизм, с помощью которого достигается устранение всех потенциальных расходимостей, а именно использование топологических соображений для устранения определенных типов расходимостей. Мы снова убеждаемся в огромной мощи симметрии, встроенной в струнную модель. Мы покажем, например, что потенциально расходящиеся диаграммы топологически эквивалентны испусканию эффективного дилатона. Поэтому, устраняя двлатон из теории, мы получаем теорию, свободную от каких-либо явных расходимостей. Итак, механизмы, ответственные за устранение потенциально опасных диаграмм, принципиально новы и никогда прежде не возникали в квантовой теории поля, использующей формализм точечных частиц.

До сих пор мы разрабатывали только первично квантованную теорию взаимодействия струн без петель. Этим способом, конечно, нельзя получить унитарную теорию. Бета-функция Эйлера, как мы показали выше, имеет полюсы в ^-плоскости на вещественной оси без мнимых частей или разрезов, и поэтому такая теория описывает лишь Древесные диаграммы. Прежде делались попытки модифицировать исходную бета-функцию, добавив мнимую часть к массе резонансов:

j s - Mj + iTj

Фшако при этом неизбежно разрушались замечательные свойства "^-функции.

Правильный способ сделать модель унитарной в конце концов Ч^Дложили Киккава, Сакита и Вирасоро [1] в 1969 г.: добавить петли, Рассматривая бета-функцию как борновский член пертурбативного ®^ДХода к определению S-матрицы. Фактические многопетлевые амплиvflbi вычислили Каку, Яу, Лавлейс и Алессандрини [2-8].

с Чтобы понять, ка!Г строятся ряды теории возмущений, начнем оператора временной эволюции С/, который преобразует начальное ^стояние с t = — оо в конечное состояние с t = оо. S-матрица пред-

а н а матричным элементом оператора U:

S * = < / | £ / ( - o o , оо)|/>.

(5.1.2)

204 Гл. 5. Многопетлевые амплитуды и пространства Тейхмюллера

Поскольку оператор временной эволюции унитарен, то сама S-матриц тоже унитарна:

SfS = SSf =\.	(5.1.3)
В матричной форме это записывается как
	(5.1.4)

где разные п суть полный набор промежуточных состояний. Если

выделить состояние, соответствующее отсутствию рассеяния, мы получим ^матрицу:

S = \ - iT.	(5.1.5)
Тогда
i(T- Т*) = ТТК	(5.1.6)

Если взять матричные элементы для рассеяния многочастичного начального состояния </|, превращающегося в конечное многочастичное состояние |у), то мы получим

1 т 7 Ь = - £ < / | Г | | » > < 1 » | Г | у >

(5.1.7)

(см. рис. 5.1). Если представить амплитуду рассеяния четырех струн как < /| Т\ к ), то ясно, что мы должны сочетать различные четырехточечные функции, чтобы получить следующий порядок теории возмущений. Поскольку струны могут перекручиваться, заметая двумерную поверхность, то набор фейнмановских диаграмм для петель шире, чем для простых плоских диаграмм. Фактически, как показывает рис. 5.2, существуют три типа диаграмм, которые можно построить с использованием оптической теоремы.

Для открытой струны взаимодействия заметают мировую поверхность, топологически эквивалентную диску с отверстиями. Кроме того,

V	/
lm	= 2

Рис. 5.1. Унитарность S-матрицы. Мнимая часть амплитуды рассеяния пропор* циональна квадрату ее абсолютной величины. Этим способом мы можем построить диаграммы высших петель из древесных диаграмм более низкого порядка. Именно этим способом стремились обеспечить унитарность Киккава, Сакита и Вирасоро.

§ 5.1. Унитарность

205

Рис. 5.2. Планарные, непланарные и неориентируемые однопетлевые диаграммы для открытых струн. Унитарность вынуждает нас сшивать графы этих трех типов. (Знак х на струне соответствует твистованной линии.) Неориентируемая диаграмма соответствует листу Мёбиуса. Непланарная диаграмма соответствует помещению нескольких внешних тахионных линий на границу внутренней петли.

диск может содержать «твисты». (Твист получается, если сделать разрез по линии, соединяющей два отверстия, а затем заклеить разрез, обратив ориентацию точек вдоль разреза.) Упомянутые выше три типа открытых струнных диаграмм следующие.

(1) Плоские диаграммы. Они топологически эквивалентны диску с N отверстиями, проделанными в его внутренности, а внешние линии прикрепляются к его внешнему краю.

(2)Неплоские ориентируемые диаграммы. Здесь внешние линии могут прикрепляться как к внешнему краю, так и к некоторым внутренним отверстиям или же отверстия могут перекрываться.

(3)Неориентируемые диаграммы. У таких диаграмм поверхность диска содержит нечетное число твистов. Примером неориентируемой Диаграммы служит лист Мебиуса.

Для замкнутой струны древесная диаграмма, заметаемая взаимодействующей струной, топологически эквивалентна сфере. Существует Два типа петлевых диаграмм, которые можно построить из замкнутой ^Уны. Прорежем 2N отверстий на поверхности сферы и тщательно Пометим ориентацию тозек вдоль окружности, представляющей край

***Дого отверстия. Затем соединим N пар отверстий, чтобы получить Ч^РУ с N ручками. Эти два типа диаграмм следующие.

С) Плоские диаграммы. В них ориентация кромок каждой пары от-

206 Гл. 5. Многопетлевые амплитуды и пространства Тейхмюллера

ВС D

Рис. 5.3. Бутылка Клейна. Отождествляя противолежащие стороны прямоугольника, можно получить либо тор, либо (если обратить ориентации сторон) бутылку Клейна, изображенную на нижнем рисунке. Это двумерная замкнутая поверхность, у которой имеется только одна сторона.

верстий сохраняется при повторном сшивании диаграммы (приклеивании ручек). Бублик, например, - это плоская о д н о п е т л е в а я диаграмма.

(2)Неориентируемые диаграммы. Пары точек, лежащие на замкнутых кромках отверстий, соединяются с обращением ориентации отвер* стий. Бутылка Клейна, например, является неориентируемой диаграммой (на рис. 5.3 показано, как можно склеить бутылку Клейна из плоской двумерной поверхности отождествлением отрезков & границы). (Заметим, что бутылки Клейна встречаются в ряда* теории возмущений только для струн типа I. Струны типа И обладают собственной ориентацией и не могут порождать бутылкя Клейна.)

§ 5.2. Однопетлевые амплитуды

207

В функциональном формализме мы показали выше, что все древние диаграммы строятся вычислением функции Неймана для диска сферы [9-11]. Простейший способ вычисления этой функции Неймана состоял в конформном отображении диска или сферы на ясрхнюю полуплоскость или на всю комплексную плоскость. Мы тогда ^^пользовались методом, разработанным в электростатике, а именно

методом изображений, чтобы выписать функцию Неймана

G(z,z) = ln\z-z'\ + l n | z - ? | .	(5.1.8)
Теперь мы обобщим эти рассуждения на	римановы поверхности

с отверстиями. К счастью, математики давно вычислили функцию Неймана для диска и сферы с N отверстиями. На самом деле Бернсайд решил эту задачу еще в 1891 году! Решения этой классической задачи выражены через автоморфные функции, которые мы сейчас проанализируем.

§ 5.2. ОДНОПЕТЛЕВЫЕ АМПЛИТУДЫ

Сначала выпишем континуальный интеграл для однопетлевой диаграммы

		N
	А = \DXd\ieiS	П eiki*i,		(5.2.1)
	s	i = 1
в	котором интегрирование проводится		по горизонтальной	полосе
в	комплексной	плоскости (см. рис. 5.4),	имеющей конечную	длину,

и отождествим ее левую и правую границы. Тем самым мы построим поверхность, топологически эквивалентную диску с отверстием. Этот континуальный интеграл, разумеется, можно вычислить в явном виде, что даст фактор

«Ф I ^ N f e z } ) ^ ,

(5.2.2)

где N- функция Неймана.

Теперь топологически деформируем горизонтальную полоску в следующую поверхность. Рассмотрим кольцо, определенное как область в верхней полуплоскости с внешним радиусом гъ и внутренним радиусом гм> причем отношение радиусов обозначим w = гь/ га.

Теперь потребуем отождествления внешнего периметра с внутренЭто значит, что точка z на внешнем периметре должна быть отождествлена с точкой на внутреннем периметре, имеющей тот же

п°лярный угол:

Z~*WZ.	(5.2.3)
отождествление создаст полукруговую трубку в верхней ПО-
ЛУПЛОСКОСТИ. Конформное отображение	горизонтальной полоски в
jjjJ0 трубку есть просто экспонента.

^Ч?Убку в свою очередь можно отобразить на диск с отверстием, ^^Тянув один ее конец в окружность большого радиуса и затем стянув

208 Гл. 5. Многопетлевые амплитуды и пространства Тейхмюллера

-In w

—в \

(/ VА

Рис. 5.4. Конформная поверхность однопетлевой диаграммы для открытой струны. В плоскости р эта поверхность соответствует прямоугольнику с шириной я и с произвольной длиной, концы которого отождествлены. Прямоугольники

спостоянной шириной и меняющейся длиной конформно эквивалентны, так что

вконтинуальном интеграле мы должны интегрировать по всем длинам. Волнистые линии соответствуют струнам «нулевой ширины», или тахионам, которые могут прикрепляться к поверхности как на верхней, так и на нижней границах. В плоскости z эта поверхность соответствует узкой трубке, согнутой в полуколь-

цо, из обоих концов которой выходят внешние линии.

другой ее конец. При построении функций Неймана на этом кольце нас, очевидно, будут интересовать функции, обладающие свойством

\|/(z) = vj/(wz).

(5.2.4)

Если взять произвольные степени w, это отождествление ф а к т и ч е с к и разобьет верхнюю полуплоскость на бесконечное число к о н ц е н т р и ч е с к и х полуколец. Каждая из этих концентрических окружностей имеет раДйУс и>\ Отождествляя внешний периметр одного из колец с его в н у т р е н н и м периметром, можно создать бесконечную последовательность трубой

Таким образом, вся верхняя полуплоскость может быть разбита на

бесконечную последовательность этих трубок, но нас интересует лии*ь одна из них.

§ 5.2. Однопетлевые амплитуды

209

jjxaK, мы разбили верхнюю полуплоскость, отождествляя концентяческие окружности, порожденные умножением на число w. Это число Р тем самым параметризует диск с отверстием. Оно называется ILnaMernpoM Тейхмюллера однопетлевой диаграммы. Такие параметры «оттекают естественное обобщение на поверхности с N отверстиями.

В общем случае мы можем также разбить верхнюю полуплоскость, яеяользуя произвольное проективное преобразование, которое, как мы 0идели выше, отображает вещественную ось на себя. (В общем случае окружности переходят в окружности при проективных преобразоваggjix.) Определим автоморфную функцию как функцию, обладающую свойством

y(z) = V(z%	(5.2.5)
где мы сделали проективное преобразование группы
{, _az + Ъ
* ~ cz + d'	(5.2.6)
ad — be = 1

для вещественных (,а, b, с) и d. (Фазы могут иногда входить в свойства

периодичности этих функций.) К счастью, математики вычислили эту функцию. Функция Неймана равна

N(z, z') = In | V|/(z7z, w)\ +ln|i|/ (?/z, w) |,

(5.2.7)

где мы требуем, с точностью до фазового множителя, чтобы эта функция была периодической:

w) = \jf(wz, w).		(5.2.8)
В явном виде эта периодическая функция равна
	\п2 х
w) = ln(l - х) - ]-2\пх -h	21nw +
00
+ X [ln(l - w2x) -h ln(l -	wn/x) - 2In(1 - w")].	(5.2.9)
n= 1

^Метим, что эта функция явным образом обладает требуемым ^ойством периодичности, упомянутым выше. Поэтому при взятии Экспоненты от функции Неймана (см. (5.2.2)) окажется, что импульсный ^ т о р подынтегрального выражения содержит множители вида

N
П п	(	z	,	-	(	5	.	2	.	1	0	)
й i<j

^ТУ функцию можно также выразить через тэта-функции Якоби:

¥(*, w) = - i n i c x p m V x ) ©I(0|T)

(5.2.11)

'«-787