Kaku_M._Vvedenie_v_teoriju_superstrun

120	Гл. 3. Суперструны

ходимости низших петлевых диаграмм супергравитации. Однако самая обширная из теорий супергравитации, 0(8)-супергравитация, по-видимому, имеет расходимость на уровне седьмой петли, что, скорее всего, исключает супергравитацию в качестве приемлемей квантовой теории поля. Лишь объединив локальную суперсимметрию с конформной инвариантностью теории струн, мы получаем достаточно обширную калибровочную группу, чтобы устранить, возможно, все расходимости квантовой гравитации.

Суперсимметрия как группа преобразований, относительно которых действие инвариантно, была впервые открыта в теории струнгЖерве и Сакита [1] показали, что обобщение обычного бозонного действия обладает симметрией, превращающей бозоны в фермионы. К сожалению, это открытие многие годы оставалось незамеченным, поскольку в то время суперсимметрия струнной модели была двумерной суперсимметрией на мировой поверхности. Лишь сравнительно недавно было окончательно доказано, что эта модель обладает не только двумерной, но и пространственно-временной десятимерной суперсимметрией.

Начнем наше обсуждение с простейшего действия, учитывающего спин,-точечной частицы со спином. Кроме переменной х^, описывающей положение точечной частицы, введем спиноры Дирака QA, где А произвольно, и матрицы Дирака в D-мерном пространстве. В общем случае дираковский спинор в D-мерном пространстве имеет 2D/2 комплексных компонент. Можно записать [2, 3]

S = ^е-1 (*ц - iQA r^A)2dx.

(3.1.1)

Действие точечной частицы инвариантно относительно преобразований

т А =	гА,
I 5л;ц =	izA	,	(3.1.2)
Ье = 0.

Заметим, что комбинация

ГР = х»-1§А Г»ЬА

(3.1.3)

сама по себе инвариантна относительно этого преобразования. Поэтому любое выражение, являющееся функцией этой комбинации, будет инвариантно относительно указанного преобразования. Странное свойство этого действия, однако, состоит в том, что половина компонент фермионного поля сама собой выпадает из действия.

§ 3.1. Суперсимметричные точечные частицы

121

Варьируя поля е, и 0, получим несколько уравнений движения:

П2 = 0, fl^ = О,

Г П 0 = 0.

(3.1.4)

Кроме того, получаем
(Г• П)2 = - П2 = 0.	(3.1.5)

Итак, половина собственных значений матрицы Г • П обращается в нуль. Но поскольку 0 всегда появляется в комбинации О^ПцГ^О"4, то половина компонент спинора Дирака из действия выпадает. Поэтому 0 не является независимым спинором, но удовлетворяет ограничению, вдвое уменьшающему число его компонент.

Причина этого явления-то, что действие инвариантно относительно еще одного локального преобразования [2]:

&вА = 1ГТ1хА,
8х» = м Л г т Л ,	(3.1.6)
Ье = 4еЪАхА.
Кроме того, есть еще одна бозонная симметрия действия:
WA = XQA,
5л:ц = iQAr^6dA,	(3.1.7)
be = 0.

Если попробовать вычислить коммутатор двух суперсимметричных операций, приведенных в (3.1.6), то обнаружим, что алгебра не замыкается без использования уравнений движения:

[б^б^в^ = (2/Гц х^в Г-ПГ^х? + 4/Г-Пх25вХ?) - (1 *-2).

(3.1.8)

(Это на самом деле типично для суперсимметричных действий. Заметим, что число компонент переменных х^ и О"4 не обязательно совпадает вне массовой поверхности, откуда следует, что в общем случае для замыкания алгебры необходимы вспомогательные поля.)

Наконец, вычисляя канонически сопряженные переменные, находим

8L

«в = — = / Г ^ П Ж . (3.1.9)

80 ^

Это сулит огромные трудности при ковариантном квантовании. Поскольку канонически сопряженная величина содержит явную зависимость от х, то квантовые уравнения становятся нелинейными и решать

122	Гл. 3. Суперструны

их намного сложнее. Что еще хуже, оказывается, член ГЦПЦ становится оператором проектирования в квантовой теории, а значит, невозможно обратить преобразование и решить уравнения относительно переменной

. Другими словами, непосредственно провести ковариантное квантование точечной частицы со спином, по-видимому, вообще невозможно! Это служит нам предостережением о том, что суперсимметричная теория струн не обещает быть столь же простой, как суперсимметрия ЯнгаМиллса или супергравитация. Поэтому мы сначала обсудим более простую двумерную суперсимметричную модель Невё-Шварца-Ра- мона, а затем более сложную десятимерную пространственно-времен- ную суперсимметричную модель Грина-Шварца.

§ 3.2. ДВУМЕРНАЯ СУПЕРСИММЕТРИЯ

Учитывая трудности, связанные с суперчастицами (такие, как отсутствие ковариантного квантования и алгебры, замыкающейся вне массовой поверхности), временно забудем о пространственно-вре- менной суперсимметрии и обсудим двумерную симметрию на мировой поверхности простейшего из всех возможных действий, включающего свободные струны и свободные фермионы. Это действие мы можем сразу взять в конформной калибровке, но оно выявит все существенные черты двумерной суперсимметрии. В этой формулировке с фиксированной калибровкой мы будем налагать калибровочные связи на фоковское пространство вручную. Впоследствии мы представим полное действие, и тогда мы сможем вывести эти связи, начиная с локально симметричного действия.

В конформной калибровке выполняется [1]

(3.2.1)

где индекс а принимает значения 1 и 2, служа меткой двумерных векторов, а ц-пространственно-временной индекс.

Заметим, что ц/- странный объект: это антикоммутирующий майорановский спинор в двумерном пространстве и вектор в реальном пространстве-времени. Определим

(3.2.2)

{р\рь}=

- 2 Л а Ь .

§ 3.2. Двумерная	суперсимметрия		123
В явном виде выписав лагранжиан через компоненты, получим
- X' -X' + 1>о(Зт + da)v|/0	+	- 3a)Vi).	(3.2.3)
2 я

Хотя в этом действии калибровка фиксирована, оно все еще сохраняет

инвариантность	относительно	глобального	преобразования
8i^ = -ipadaX»e.			(3.2.4)
Итак, временно	отказавшись	от попытки	построить теорию струн

с настоящими пространственно-временными спинорами, мы получили двумерную суперсимметричную теорию, которая весьма проста и включает свободные бозонные и антикоммутирующие поля.

Исторически теория Невё-Шварца-Рамона NS-R [4-6] была первой успешной попыткой ввести спин в дуальную модель. Она также стала первым примером линейного суперсимметричного действия [1], и вскоре/Последовали четырехмерные суперсимметричные действия для точечных частиц [7, 8].

Теперь, после того как мы выписали наше двумерное суперсимметричное действие, проследим шаги, предпринятые нами в предыдущей главе для нахождения решения системы. Следующий шаг-найти токи, связанные с этими симметриями, затем установить, какую алгебру эти токи порождают, и, наконец, наложить эти связи на гильбертово пространство. Последовательность, которой мы будем придерживаться в настоящем разделе, является непосредственным обобщением шагов,

предпринятых в предыдущей главе:
Действие -> Симметрии -> Токи -> Алгебра -> Связи ->
-> Унитарность.	(3.2.5)

Следуя этой стратегии, вычислим теперь суперсимметричный ток, связанный с этой симметрией. Как мы видели в предыдущей главе, существование конформной симметрии достаточно для того, чтобы породить сохраняющийся ток. В (1.9.8) мы видели, что этот сохраняющийся ток можно записать в виде

ra	8L	8ш
	=	( 3 - 2 - 6 >
Подставляя (3.2.4) в (3.2.6), получаем
Jo = \p"p		(3.2.7)

Чтобы проверить сохраняемость этой величины, сначала нужно выпи- с а т ь уравнения движения системы, что особенно легко сделать, по- скольку они описывают свободные струны и частицы:

& +		vg = О,
гд	,	(3-2.8)

124	Гл. 3.	Суперструны
Теперь легко показать, что
	даГ = 0.	(3.2.9)

Будучи записано через компоненты, это выражение (J+ = (J0 ± Jx)/2) эквивалентно:

J- = \vWx-da)X^	(3.2.10)
J+ ={уЪ(дх +	д(У)Х».

Используя уравнения движения, можно показать, что
(дх + dG)J. = 0,
(dx-dG)J+ = 0.	(3.2.11)

Кроме суперсимметричного тока, у нас есть также тензор энер- гии-импульса, который, как мы видели выше в (1.9.17), можно записать

в виде
= одцФ	(3.2.12)

Это выражение легко приспособить для наших целей. Подставляя (3.2.1) в (3.2.12), находим

ТаЬ = даХ»дьХ» +	+ ^Ръд.У* ~ (След),
даТаЪ = 0,	(3.2.13)

где ТаЬ - бесследовый тензор, так как мы явным образом вычли след. Выпишем компоненты этого тензора:

Гоо =	^"ll
=	+ X'2) - i y 8 ( 3 t - d a ) y w -	+	(3.2.14)
Г01 =	Tl 0
= X • X' + l- (дх - da) Von - £ V? (8X		+ da) Vl(l.

Наша основная стратегия (3.2.5) состоит в том, чтобы использовать эти токи для наложения связей на фоковское пространство с целью устранения всех духов:

<таь> = о,

(3.2.15)

а > = о.

(Мы должны, однако, снова подчеркнуть, что мы просто налагаем на фоковское пространство нужные нам связи. Поскольку рассматриваемое здесь действие не является локально суперсимметричным, мы не можем

§ 3.2. Двумерная суперсимметрия

125

вывести эти связи из основных допущений модели. Ниже, когда мы запишем вполне симметричное действие, мы увидим, что эти связи возникают вследствие локальной симметрии.)

В отличие от случая бозонной струны, у нас фактически есть выбор между двумя различными граничными условиями, которые можно наложить на поля v|/0 и \|/х,- периодическими или антипериодическими. дрИ а = 0 всегда можно выбрать v|/0 = \ j . Однако при а = к можно выбрать одно из двух граничных условий. Если поле периодично, то получаем граничные условия Рамона, а если оно антипериодичнограничные условия Невё-Шварца [9, 10]:

| Рамона (R):	vj/0 (я, т) = \|/х (я, т),	(3 2 16)
\ НевёШварца (NS):	vj/0 (я,т) = - \|/х (я,т).

Получив для нашего спинора два разных типа граничных условий, мы, естественно, получаем два разных способа разложения в ряд Фурье по целы^1 (полуцелым) модам [8, 9]:

R: J	«=-«=		(3.2.17)
yf(ст,т) = 2~1 /2	£
Vq(ct>t) = 2~1/2	£		Ь Ч е ' " ^ ,
NS:	r<=Z+	1/2	(3.2.18)
vj/'J (or,x) = 2~1/2 X			i ^ ' l r ( T + 0).
	rGZ+	1/2

Следующий шаг в нашей стратегии (3.2.5)-нахождение алгебры, которую эти токи порождают. В предыдущей главе мы видели, что симметрии давали тензор энергии-импульса, который в свою очередь порождал алгебру Вирасоро, т.е. конформную алгебру. Для действия Невё-Шварца-Рамона (NS-R) мы обнаружим, что порождается суперконформная алгебра.

При таком разложении полей моменты Ln тока ТаЪ можно теперь

записать в виде
	я
. 1	dcr {е'па(Т00 + Г01) + е-"о(Т00 - Г)}.	(3.2.19)
2kJ

Заметим, что определение конформных генераторов теперь включает вклады от антикоммутирующего сектора.

Можно повторить это фурье-разложение также для суперсимметрич-

126	Гл. 3.	Суперструны
ного тока. Для сектора R получим
п
Fn = ^-^do{ein°J+	+ e~in(yJ_}.	(3.2.20)
о
Для сектора NS имеем
Gr = ^^do{eir°J +	+e~ir°J}.	(3.2.21)
о

Чтобы найти алгебру из этих моментов токов, нужно построить величины, канонически сопряженные полям. Если определить

5L	(3.2.22)
- ,

то окажется, что фермионное поле является самосопряженным. Поэтому наложим условие

{v|/^(a,x),v|/vB(a',T)} = кЪАВЪ(о -

(3.2.23)

Следовательно, осцилляторы в (3.2.17) и (3.2.18) подчиняются условиям

R:	= Л ^ , . -
NS:	{ Л Р Ж Н л ^ Ч . - , .	(3.2.24)

Важно заметить, что нулевая составляющая R-сектора пропорциональна гамма-матрицам Дирака:

{</&,</&} =Т1'«\

(3.2.25)

Итак, мы видим, что сектор Рамона соответствует фермионному сектору и что NS-сектор, хотя он и содержит антикоммутирующие операторы, все же остается бозонным сектором. То, что граничные условия вроде (3.2.16) играют столь важную роль в развитии фермионного и бозонного секторов теории,- совершенно новая и, видимо, уникальная черта теорий струн. (Этот на первый взгляд необъяснимый факт будет весьма важен при обсуждении многопетлевых амплитуд, определенных на поверхностях с дырками. Тогда эти граничные условия будут определять то, что называется «спиновыми структурами» многообразия.)

После установления коммутационных соотношений можно построить алгебру, порождаемую этими тензорами. Как и ранее, моменты этих токов порождают замкнутую алгебру. Для NS-сектора алгебра будет следующей:

D	,
I = ( т - n)Lm + n + ~(m	-m)5m>_„,

			§ 3.4. Локальная двумерная суперсимметрия					127
[L„,Gr] = []-m-r JGm + r,								(32 26)
{Gr,Gs}			= i гЛ	,2 2L_ riN	+	s	+	[-D^r2-\Jbr^s.
Элементы алгебры можно явно выразить через осцилляторы NS-сек-
тора:		ос		ОС
Lm = [		I	:а_„аи + „: + 1 £		(г + {т):Ь_гЬя + г:,
		п=	оо	Г = - О				(3.2.27)
		00
<?,=		I	Ъ-пК + п-
	п = — 00
Повторяя те же шаги для R-сектора, получим
[L^LJ		=	(m-n)Lm + n	+ ~т3Ьт		_п,

[ L w , F J = l I m - л +

{Fw ,Fn }=2Lw + n + lDm25m,_„.

В явном виде элементы алгебры

00		00
Lm = \ I	:a.„am + „: + i	£
П —	GO	n= - оо
00	a~ndm + n •
Fm= lL

(3.2.28)

выражаются через осцилляторы так:

/\

(и + im )-.d_ndm + n: ,

\/

(3v .2.29)

n = — 00

Мы можем получить гамильтониан прямо из компонент тензора энергии-импульса. В конформной калибровке гамильтониан для NS-сек- тора есть

00	00
Н=£паЧ„ап11+	£ гЬЧгЬ„ + а'рЬ.	(3.2.30)
п= 1	г = 1/2
Для R-сектора он есть
00	00
я= £	£ md4MdMll +а'рЬ .	(3.2.31)
л = 1	m = 1

Заметим, что этот гамильтониан диагонален в фоковском пространстве гармонических осцилляторов. Это чрезвычайно важно, потому что это значит, что мы можем легко сделать переход от формализма континуального интеграла к формализму гармонических осцилляторов. Пропагатор этой теории становится простым интегралом от экспойенты, который легко берется.

Состояния теории, как и в бозонном секторе, представляются фо-

128	Гл. 3. Суперструны

Рис. 3.1. Реджевские траектории для NS^R-модели открытых струн. Бозонные состояния соответствуют фоковскому пространству, порожденному всеми возможными произведениями гармонических осцилляторов и Ь+, действующими на вакуум. Фермионные состояния соответствуют фоковскому пространству, порожденному всеми возможными произведениями гармонических осцилляторов а+ и d+, действующими на вакуум; они являются пространственно-временными спинорами, а не скалярами. На левом рисунке безмассовая частица со спином 1 соответствует полям Максвелла или Янга-Миллса (все тахионные состояния, включая вакуумное, можно устранить применением GSO-проекции). На правом рисунке безмассовый фермион со спином 1/2 является суперсимметричным

партнером безмассового векторного поля.

ковским пространством произведений этих осцилляторов:

Собственные	состояния	сектора	NS:		10 ),	(3.2.32)
Собственные	состояния	сектора	R:	f] {я„+,ц}	|0>иа .	(3.2.33)

Здесь иа соответствует произвольному спинору, на который пока не наложено никаких связей. Ниже приведены некоторые низшие состояния обоих этих секторов (см. рис. 3.1):

Вакуум:		|0>; к2 = 2,
Тахион:		к ^ 1 / 2 \ 0 ) ; к 2 = 1,	(3.2.34)
Безмассовый	вектор:	at х 10 ),
Фермион со	спином	1/2: |0 >ма,
Фермион со	спином	3/2: ^ i | 0 ) M a ,	(3.2.35)
Фермион со спином 3/2: аУ~ 110 У иа.
Итак, мы обнаружили замечательное сходство			между моделью

NS-R и первоначальной бозонной струной. В обоих случаях мы начинаем с действия, находим его симметрии, порождаем токи, отвечающие этим симметриям, по токам строим алгебру и затем налагаем связи на гильбертово пространство. Основное отличие состоит в добавлений супертоков, которое порождает супералгебру (3.2.26) и (3.2.28).

§ 3.3. Деревья

129

Последний шаг в нашей стратегии поэтому состоит в применении этой суперконформной алгебры к гильбертову пространству модели tfS-R- Условия, устраняющие духи, суть

Fj(p> = 0 или Gr|<p> = О

для положительных п и г. Однако для того, чтобы найти условия массовой поверхности, нам придется теперь исследовать древесные амплитуды модели NS-R.

§ 3.3. ДЕРЕВЬЯ

Снова нашей исходной точкой при построении теории взаимодействующих струн будет функциональный интеграл. К сожалению, нам нечем руководствоваться при построении такой теории, кроме интуиции. Наудачу попробуем умножить обычный вертекс V0 на фактор |/ц

вточке, в которой частица со спином нуль входит в диаграмму. Тогда резо1рю предположить, что N-точечная амплитуда рассеяния для этой скалярной частицы является обобщением формулы (2.5.2) и выражается

ввиде

				N
Л(1,2,3,... ,N) =		£	\d\aDXDyY\	=
		топологии		i = 1
- I				(3.3.1)
т о п о л о г и и	i = 1

где

(I ст.т

Здесь проводится функциональное интегрирование по бесконечной последовательности грассмановых переменных (см. Приложение).

Как и для бозонного функционального интеграла, мы можем устранить функциональные интегралы во всех промежуточных точках на струнной поверхности, поскольку в этом пространстве гамильтониан Диагонален. Так, используя

l = |X>|y)jDXDv|/<i|/|<Z|

(3.3.3)

в каждой промежуточной точке, можно устранить все функциональные интегралы и оставить только гармонические осцилляторы. Итак, снова Функциональное интегрирование позволяет вывести формализм гармонических осцилляторов, который мы рассматриваем лишь как одно из возможных представлений функционального интеграла.

Выраженный через осцилляторы, вертекс для испускания скалярной Частицы с импульсом кц принимает вид

(3.3.4) Выбор этой формы мотивируется правилом, согласно которому кон-

9-787