Kaku_M._Vvedenie_v_teoriju_superstrun

380	Гл. 8. Геометрическая полевая	теория струн
В более компактной форме
	=	(8.4.13)
где

Пf = 6(Р - а)(6'(в - р) + «5(0 - а)6'(р - а).

(Важно помнить, что присоединенное представление А, содержащее L является членом струнного представления S веса 2.)

Эти константы есть не что иное, как коэффициенты КлебшаГордона для следующего тензорного произведения:

/ ® P : S ® A - S .

(8.4.14)

Мы можем перемножить два поля различных весов и получить при этом

новое поле, преобразующееся по неприводимому представлению, вес которого равен сумме двух индивидуальных весов перемножаемых полей:

фМуМ = (0Ся + т ] .

(8.4.15)

Более того, после интегрирования по от представление с весом 1 оказывается инвариантом относительно действия группы Diff(S). Это тождество будет положено в основу при построении инвариантных действий:

8|ЖтфС,] = 0.

(8.4.16)

(Отметим, что фстфст = |^/огфстфсу инвариантно, причем фст преобразуется
ковариантно с весом п, а фст преобразуется контравариантно	с весом
1 - п.)
Важный момент также состоит в том, что дельта-функция
8ор	(8.4.17)

не является постоянным тензором группы Diff(S). Следовательно, мы не можем поднимать и опускать индексы этого представления постоянный тензор, но его нельзя использовать для поднятия и опускания индексов). Этот маленький, но важный факт наложит ч р е з в ы ч а й н о жесткие ограничения при построении окончательного действия (й фактически заставит нас отказаться от действия вида F2, а вместо этого использовать действие Черны-Саймонса FF*).

Выполним произвольную репараметризацию струны, обозначаемую £ст. Тогда, согласно правилу дифференцирования сложной функции» скалярное поле преобразуется как

8фРО = е°5а -ф(Х), a — у' 5

Таким образом, для построения действия можно использовать свойств0

§ 8.4. Представления группы USG

381

вариантности интеграла скалярного поля:

b \ D X L ( X ) = \ D X L { X ) = 0.

(8.4.19)

Обобщим это выражение и найдем, как элементы V или S преобразуются дри произвольной репараметризации струны:

V: UyaU-1 = фа (* + 5Х) + Л£фр,

S: l/фа t/"1 = Фа(* + ЬХ) + А&фр.

( 8 А 2 0 )

Здесь матрица Л следующим образом параметризует указанное преобразование:

6g +Ag = <ea |Q|eP>,

Теперь, когда мы умеем обращаться с модулями Верма, обратим внимание на то, что упомянутая ранее калибровочная группа на самом деле может быть обобщена. Свяжем с каждой струной С генераторы La;f, где а-модуль Верма. Тогда алгебра (8.3.10) незначительно изменяется:

[e*La, La,*] = г°да-	LaX	+
z	F	(8.4.22)

т.е. мы расширяем нашу первоначальную калибровочную группу, включая преобразования на модулях Верма. В этом выражении были введены новые коэффициенты КлебшаГордона для тензорного произведения модулей Верма:

/1р-V® V -> V.

(8.4.23)

Замечательно, что эти коэффициенты Клебша-Гордона можно опре- делить единственным образом на основании только теории групп. Пусть

новая вершина, такая что

<ea|<eP|<eY| V ) = f a ^		(8.4.24)
и I У) удовлетворяет уравнению
з
Г]П П	= 0.	(8.4.25)
'=1 ст.

? Частью, действуя генераторами алгебры Вирасоро на эту вершинную ФУНкцию, можно показать, что одного этого условия достаточно для 0йРеделения всех величин f a $ y . Это значит, что (7.4.12) может быть ^лучена как калибровочно-фиксированный вариант при использовершины, определяемой уравнением (8.4.25). Поэтому нам не ^о постулировать форму духовой вершинной функции. Она по-

382	Гл. 8. Геометрическая полевая теория струн
является	автоматически как коэффициент Клебша-Гордона т»
V ® V V.	я

Преимущество этого нового коэффициента КлебшаГордона заклю. чается в том, что он позволяет перемножать поля, имеющие индексу модуля Верма. Например, выражение

Ах В= С	(8.4.26)
в полной записи означает, что
(А х B)v>z = Aa>xBbYfyapfZxr	= Cy,z.

Поскольку основные поля будут преобразовываться как модули Верма

такой закон умножения окажется наиболее удобным. Другими словами

мы определим символ произведения	х формулой
X = f l v f z x y .	(8.4.27)

(Зафиксировав калибровку таким выбором параметризации, как «калиб-

ровка, склеивающая в средней точке», мы находим, что наше правило умножения сводится к правилу умножения для операции *, введенной в (7.5.1).)

Наконец, мы хотим указать постоянные тензоры для USG. Для обычной группы Лоренца в случае теории точечной частицы, как известно, существует три постоянных тензора: 8*, антисимметричный

тензор	и матрица Дирака (у^)ар:
Постоянные тензоры = 8*;		; (у^)ар.

На самом деле матрица Дирака представляет собой коэффициент Клебша-Гордона, найденный для тензорного произведения спинора и вектора:

(У% = <еа |уЧер >.

(8.4.28)

Здесь < еа | - базисные состояния для четырех спиноров. Как ни странно, USG имеет набор постоянных тензоров, весьма отличных от случая лоренцовской группы, что повлияет на форму конструируемых нами инвариантных действий. Во-первых, дельта-функции 8стр и ст п не являются постоянными тензорами. (В этом можно убедиться, заметив, что ни Ln Ln, ни I„ Ln L_„ не инвариантны относительно Diff(S). Кроме того, хотя и 8™ и 8Р являются постоянными тензорами, но их нельзя использовать для поднятия или опускания индексов.) Такая ситуация сильно усложняет поиск действия. К примеру, мы получаем, что orncyW'

ствует аналог оператора • в теории Клейна-Гордона или F 2 - квадрата

тензора кривизны в	теории ЯнгаМиллса.	-
Однако именно	группа Diff(S) имеет диракоподобный	п о с т о я н н ь

тензор (YCT)ap, у которого греческие буквы обозначают индексы моДУле^ Верма. Как и матрица Дирака, этот постоянный тензор н а х о д и т с я разложения Клебша-Гордона тензорного произведения модуля Вер

§ 8.4. Представления группы USG	383
0 струнного представления S:
(yCF)«p = < ea I Уст I ер >.	(8.4.29)

Простое, но важное*наблюдение теории групп позволяет заключить, что

Действие полевой теории струн будет более походить на уравнение Дира- 0t чем на уравнение КлейнаГордона. Таким образом, д\ не инвариант,

а у°За является таковым. Добавим к этому, что произведение нескольjgx таких матриц также есть постоянный тензор: £стр = уст ур . Итак, действие полевой теории струн будет отлично от действия типа Клейна- р0рдона, поскольку постоянные тензоры для Diff(S) таковы:

Постоянные тензоры: 5Р; (уст)ар; (естр )ар-

§ 8.5. ДУХОВЫЙ СЕКТОР И КАСАТЕЛЬНОЕ ПРОСТРАНСТВО

До сих пор многие из манипуляций с представлениями USG без практического применения к известным струнным полевым теориям могли казаться несколько формальными. Однако единственная цель этого экскурса в теорию групп состоит в том, чтобы объяснить некоторые из довольно загадочных аспектов теории BRST. Поэтому мы сейчас покажем, что теория USG способна ответить на следующие вопросы:

(а)Почему базисное поле BRST равно транкированному полю Ф (АГ, Ъ, с) с духовым числом — 1/21

(б)Каково происхождение «духового сектора» теории?

(в)В чем состоит значение тождества Q2 = О?

(г) Каким образом можно получить свободное действие < Ф | Q | Ф )?

Теория групп дает ответы на все эти вопросы.

Начнем с основного поля BRST:
*шг(Х9 Ь9 с) = Р_1 / 2 X <рШя) {*){b-p}{c-q} I " >.	(8.5.1)

Шя)

Здесь мы суммируем по всем возможным духовым возбуждениям при валичии ограничения, вносимого оператором Р_1 / 2 , который траниирует поле к сектору с духовым числом — 1/2.

Хотя это поле постулировалось в подходе в BRST, в геометрической ^ории оно имеет довольно простое происхождение. Можно показать,

это поле в точности является модулем Верма [1], т.е. что

k a > ~ P _ 1 / 2 { * - p } { c - , } | - > .

(8.5.2)

Доказательство основывается на вычислении «характера» каждого ^остранства. Характер пространства V- это такая функция переменной ** У которой п-й коэффициент разложения в ряд Тейлора представляет

бой число состояний, существующих на п-м уровне V„:
00
chK= £ х" dim Vn.	(8.5.3)

384 Гл. 8. Геометрическая полевая теория струн

Если пространство является неприводимым модулем Верма, то можно показать, что размерность «-го уровня Vn равна числу делителей числа п

(Это можно увидеть, подсчитывая число состояний на п-ы уровней Таким образом, характер неприводимого модуля Верма равен

	00
ch	£ р(п)х" =	П (1 - X")'1 •	(8.5.4)
	я —• 1	п=1

(Отметим, что этот результат просто воспроизводит корреляционную функцию однопетлевой амплитуды.)

Можно показать, что характер неприводимого модуля Верма и характер транкированного по духовому числу — 1/2 духового спектра совпадают на всех уровнях:

ch(|ea >) = ch(P_1/2 Tl{b_p}

|0 >).

После того как мы убедились, что модуль Верма и пространство BRST имеют одинаковое число состояний, последний шаг тривиален: нужно показать, что два модуля Верма имеют одни и те же величины [А, с].

Итак, BRST-поле Ф (AT, Ъ, с) является приводимым представлением группы USG. Смысл транкирования по духовому числу — 1/2 поля BRST в том, что оно дает неприводимое представление. Следовательно, мы имеем простую интерпретацию операции транкирования, которая всегда должна выполняться в подходе BRST. Она соответствует переходу от приводимого к неприводимому представлению группы USG.

В последнем разделе, посвященном формализму BRST, мы видели, что прием транкирования для замкнутых струн и суперструн с несколькими взаимоисключающими выборами вызвал большое замешательство. В геометрическом подходе существует только одно транкирование- неприводимое.

Далее мы покажем, что весь духовой сектор соответствует касательному пространству USG. Рассмотрим, например, обычное четырехкомпонентное поле Дирака \j/a. При глобальном преобразовании Лоренца лоренцевский генератор имеет две части, радиальную (зависящую от I) и орбитальную (спинорную):

M,v = X V " * V +

(8'5'5)

где сг^-спинорное представление лоренцевских генераторов. Аналогично, глобальные репараметризации струны естественным

образом разбиваются на радиальную (зависящую от X) и орбитальную (модуль Верма) части:

LL,

(*-5-6)

где второй оператор действует только на модули Верма.

Коммутирова-

ние полного генератора с самим собой дает [Ма, Мр ] = / 2 р MM + (D- 26)... .

(Полный генератор репараметризации, который является сумм

§ 8.5. Духовый сектор и касательное пространство

385

иальных и орбитальных мод, имеет правильные коммутационные ^отношения только при D = 26. Отсюда в геометрической теории возникает 26-мерное пространство.)

Однако при рассмотрении локальных преобразований ситуация становится более сложной как для частицы Дирака, так и для струны. В частности, необходимо касательное пространство, потому что никаKtix конечномерных спинорных представлений группы GL(4) не существует. Вот почему мы вынуждены вводить касательное пространство для спиноров в общей теории относительности. У нас просто нет выбора. Иными словами, спинорные и радиальные компоненты моды дираковского спинора преобразуются под действием двух совершенно различ-

ных локальных групп:
0(3,	1): 5v|/a = s,v(^v)apv|/PW,
GL(4): 5i|/a (jc) = s^ д» v|/a (x).		(8'5'8)
Здесь	параметризует локальные преобразования Лоренца,	а г^-
общие координатные преобразования.

Сходная ситуация сохраняется и в теории струн. Ранее мы видели, ш> Ln генерируют группу Diff(S), в то время как четные генераторы

Ln- L_n генерируют только подгруппу Diff(S)_ :
L„:Diff(S),
L„-L_„:Diff(S)_.	(8.5.9)

Суть дела в том, что Xц (а) не может содержать все диффеоморфизмы струны, т.е. представление Diff(S) на одном струнном поле не существует. При сг-репараметризации поле ср(АТ) преобразуется только под Действием подгруппы, генерируемой LN — L_„:

8ф (X) = J das (a) X'p (a) —	Ф (X)
ь х № )	(8.5.10)
= ea 5a q>(X).

^сюда мы видим, что радиальные и орбитальные части поля фа(АГ) Должны преобразовываться под действием двух различных групп. Модуль Верма может преобразовываться под действием полной группы тогда как радиальная часть-нет. Итак, при локальных прерываниях радиальная и орбитальная части преобразуются под

Действием двух различных групп:

Diff(S): 5Ф*(X) = e ° f b v * ( X ) 9

8ф а (Х) = sCTdCT Фа(ЛГ).

( 8 5 Л 1 )

^^етим, что у каждой струнной координаты X существует отдельное ^образование Diff(S), действующее на модуль Верма. В результате n(S) является группой симметрии касательного пространства, но не

™*ой преобразования переменных, зависящих от X.

386	Гл. 8. Геометрическая полевая теория струн

Назовем представление Diff(S) конформным (следовательно, Моду^ Верма конформный). Тогда наш основной результат таков: необходимо

введение касательного пространства, поскольку конформного представ ния Diff(S)_ не существует. Этот результат объясняет происхождение духового сектора. Итак:

Духовый сектор -> Касательное пространство.

Аналогичным образом, исходя из соображений теории групп, можно также объяснить, почему Q2 = 0. В обычной теории точечной частицы d2 = 0, где d = dx^dp следует из того факта, что плоское пространствовремя инвариантно при параллельных перемещениях, т.е.

IA, dv] = 0 - < / 2 = 0.

(8.5.12)

Для того чтобы доказать подобное утверждение для теории струн, найдем аналог оператора дифференцирования. Сначала вспомним, что наш первый принцип требует глобальной инвариантности теории относительно полной группы Diff(S), а не только относительно ее подгруппы Diff(S)_ . Однако мы замечаем, что производная

^ = gjps

(8-5.13)

не подходит, поскольку она преобразуется только под действием Diff(S)_ , а не полной группы Diff(S). Таким образом, дцсу не удовлетворяет первому принципу. Оператор дифференцирования с правильными свойствами имеет вид

- i d ^ + X'p,.

(8.5.14)

При преобразованиях, генерируемых Ln + L_„, дцсу превращается в Х'р и наоборот. Определим теперь ковариантную относительно глобальных преобразований производную

<5* = W .

(8.5.15)

(Здесь фурье-компоненты dG включают полный набор генераторов £„•) Остановимся на наиболее общей производной веса 2, которая

представляет собой сумму радиальной и орбитальной частей:

Va = da + oLa,

(8-5-l6)

где а произвольно. Вычислим коммутатор [VCT, Vp]. Для этого ну*00 определить действие VCT на смешанный тензор:

VCT^ = даА*р + bfl^Al + с/1аАрр.

Требуя обращения в нуль коммутатора

[ V e . v p ] = 0, <**Л

находим, что следует выбрать либо а = — с = — 26 = 1 , либо а = " ъ*^ = с = 1/2. Если мы хотим устранить аномальные члены, то

§ 8.5. Духовый сектор и касательное пространство

387

„убор исключается, а второй сохраняется с точностью до слагаемых, ^рашающихся в нуль при свертке с уст. Примем первую из этих возможностей. Тогда легко показать, что

y°V<, = Q

(8.5.19)

g Y^VCT-* нильпотентная комбинация.

Таким образом, нильпотентность оператора Q означает в обращение в нуль коммутатора двух ковариантных производных [Va, Vp], т.е. цщеет то же самое происхождение, что и нильпотентность комбинации Jos dx*1которая является следствием обращения в нуль коммутатора

ковариантных Тфоизводных [дц dv].

Наконец, объясним, откуда берется < Ф | б | Ф ) . Так как 5стр не есть постоянный тензор, то действия типа Клейна-Гордона, содержащие •, не существуют. (Возможны только действия типа Дирака, включающие у°7а) В частности, неприемлемы следующие действия:

Шо ~ 1]Ф; дцаФдцаФ; даФ0аФ.

(8.5.20)

Их веса суть 2, 2 и 4 соответственно, тогда как инвариант должен иметь вес 1. Фактически легко видеть, что построить действие из одних скалярных струнных полей невозможно. В течение ряда лет предпринималось множество попыток, но только сейчас теория групп показала их тщетность.

Иногда задается вопрос: действительно ли необходим в ковариантной струнной полевой теории духовый сектор? Ответ, который мы теперь получаем из теории групп,- да. Касательное пространство абсолютно необходимо, потому что 5стр не является постоянным тензором, а действия типа Клейна-Гордона неинвариантны.

Хотя скалярные поля должны быть исключены из рассмотрения, но инвариантное действие с вышими тензорными полями фа и Л% написать

Можно:
<<PlyCTVCT|(p>, ( ^ a l s ^ V p l ^ ) .	(8.5.21)
Эти действия, в свою очередь, инвариантны при преобразованиях
^ IФ ) = Уст VCT | А ) ,
8UCT> = V a | A > .	<8-5-22>

№ожно также показать, что первое действие, включающее фа, является ** самом деле вариантом второго действия с фиксированной калибров-

причем А% инвариантно при преобразованиях
5 K > = |SCT>; yCT|ICT> = 0.	(8.5.23)

означает возможность устранения всей зависимости о т а в ^ , т . е . ^еаы | Аа ) на | ф ), так что первое действие получается при фиксации ^Ибровки второго.

25*

388 Гл. 8. Геометрическая полевая теория струн

§ 8.6. СВЯЗНОСТИ И КОВАРИАНТНЫЕ ПРОИЗВОДНЫЕ

Определив представления USG и следуя основной стратегии (8.1 п мы теперь должны построить поля и ковариантные производные. Снова

мы начинаем рассмотрение по точной аналогии с калибровочной теорией точечной частицы.

В теории Янга-Миллса и общей теории относительности для локализации калибровочной группы SU(N) и группы Лоренца нам необходимы поля связности А^ и со^. В теории струн для того, чтобы сделать локальной как струнную группу, так и Diff(S), требуются калибровочные поля А% и со^а . Соответствие между связностями точечной частицы и связностями струны имеет следующий вид:

jSU(N): 4 } Л S G :

Наконец, нам также понадобится струнная тетрада, аналог	найден-
ной в общей теории относительности, которая позволит	умножать

и интегрировать поля, сохраняя локальную инвариантность относительно Diff(S). Так как основная струнная переменная имеет два сорта индексов, А^(сг) = АТЦСТ, струнная тетрада должна обязательно содержать четыре индекса:

(8.6.1)

В итоге минимальный набор, необходимый для локализации теории Янга-Миллса и общей теории относительности, состоит из трех полей:

А°, cojf,	минимальный набор полей, необходимых для локализации
полевой теории струн, также содержит три поля: А%, со^а,

Теперь, определив основные поля, согласно стратегии (8.1.1), построим из и VCT ковариантные производные. Прежде всего заметим, что ни та ни другая производная не ковариантны относительно струнной группы. Например, действие опаратора производной VCT на произведение двух модулей Верма определяется формулой

Va\_A х К] = VaA	+	+	(8.6.2)
где правило умножения дается (8.4.27) и
у ° Е а = 0.
Следовательно, оператор VCT действует дистрибутивно как			дифференци-

рование по модулю членов, обращающихся в нуль при свертке с у • t
общем случае ZCT будет содержать члены типа yaQ — fcVCT, где k-coo
венное значение устуст.)	^

Перейдем к анализу трансформационных свойств производи^ относительно струнной группы. В общем случае под действием стрУ110

группыU ^ Uполе- 1	а
	=фф преобразуетсяЧ [ ф х А - А хкакф]а.

§ 8.6. Связности и ковариантные производные

389

jjgjgHo осознать, что производная поля фа преобразуется под действием ^•рунной группы неправильно, что делает необходимым введение поля связности. Действительно, находим

VVoVU-1 = VaCt/фС/-1] + q> X VC T A- VCTA X ф + 1ст,

(8.6.5)

ихо не соответствует (8.6.4). (Индексы К опущены.)

Введем поле связности А%, аналог поля Янга-Миллса, которое поглотит нежелательные локальные факторы. Для него определим

ЬА% = [VCT Л +		X Л - Л X А«Т,	(8.6.6)
где мы для ясности опустили все индексы V. Это позволяет написать
производную
=	+		(8.6.7)
которая преобразуется правильным образом:
Ш^фС/"1 = Daф + Daф х Л - Л х DCTф + 1ст.			(8.6.8)
Мы получили то		уравнение, которое хотели.	Оно показывает, что

с добавлением поля связности можно построить производные, ковариантные относительно действия полной группы USG.

Следует подчеркнуть, что предыдущие уравнения были записаны в компактных обозначениях. Например, в теории Янга-Миллса ковариантные производные в развернутой форме имеют вид

= d,8eb + 4 ( i ' U .

(8.6.9)

В геометрической теории мы также должны подставить групповую матрицу, определенную в (8.4.27). Таким образом, ковариантная производная, выписанная со всеми ее индексами, равна

Vc + Аа = VaXb%Yx + A l z { 4 z t Y x ,

(8.6.10)

где

K z t l - f l f f i r .

До сих пор мы занимались построением ковариантной производной *и струнной группы. Теперь мы должны сконструировать ковариантную производную V^cy, связанную с локальными репараметризациями группу Wf(S) и л и с универсальной ковариантностью. Чтобы ввести локаль-

*** МГ(£)-инвариантность, последуем примеру общей теории относигГ^Ности и введем струнные тетрады и струнные поля связности. Неделим, как д^ и д Х ^ преобразуются под действием группы

		д
^	dX	(8.6.11)
дГР	d X	'