Kaku_M._Vvedenie_v_teoriju_superstrun

Часть III ФЕНОМЕНОЛОГИЯ И ПОСТРОЕНИЕ МОДЕЛЕЙ

Г л а ва 9 АНОМАЛИИ И ТЕОРЕМА АТЬИ ЗИНГЕРА

§9.1. ФЕНОМЕНОЛОГИЯ ТВО И ВЫХОД ЗА ЕЕ ПРЕДЕЛЫ

Видеале нам бы хотелось, чтобы истинно единая полевая теория всех известных взаимодействий удовлетворяла по крайней мере двум критериям:

(1)Она должна быть основана на простых физических предположениях, выраженных в терминах новой геометрии, которая будет допускать не более одной константы взаимодействия.

(2)Она должна приводить к конечной теории гравитации, соединенной

сминимальной SU (3) х SU (2) х U (1)-моделью взаимодействий частиц.

До сих пор в этой книге мы только начали исследовать первую возможность, показывая, что вторично квантованная теория поля, основанная на этих двух физических принципах, существует. Однако достижения теории струн, которые мы описали, пока были чисто формальными. Если мы не сможем сопоставить теорию с известными экспериментальными данными, то, сколь элегантна бы она ни была, ее придется отбросить. Подлинной проверкой для единой полевой теории является требование, чтобы при низких энергиях она могла воспроиз-

вести известные экспериментальные данные.

Проблема, однако, заключается в том, что размерная редукция

10-мерной теории до 4 измерений может происходить только непертурбативно. Для любого конечного порядка теории возмущений размерность пространства-времени представляется совершенно неизменной. Вообще говоря, полевая теория дает единственный надежный формализм, в котором можно проводить непертурбативные вычисления, поскольку первично квантованный формализм непременно является пертурбативным. К сожалению, мы пока не понимаем, как выполнять непертурбативные вычисления в теории струн-в основном потому, ч т 0 полевая теория струн находится пока в младенческом состоянии. Так, например, физики не в состоянии просчитать устойчивость ни одного из классических вакуумных решений. Поэтому мы не будем касатьс квантовой устойчивости в части III этой книги и с о с р е д о т о ч и м ^ исключительно на классических решениях уравнений движения.

§ 9.1. Феноменология ТВО и выход за ее пределы

411

Удивительно, что при таком серьезном ограничении уже самые первые попытки исследовать экспериментальные следствия классической -теории струн дали очень много новых феноменологических следствий, выводящих нас за рамки ТВО. В части III мы в первую очередь доставили вопрос: согласуется ли теория струн с результатами стан-

дартной ТВО? Особенно нас будет интересовать, может ли она воспро- извести теории Великого объединения с калибровочными группами

SU(5)> ООО) и л и Ев- В этом отношении теория струн сумела достичь определенного успеха. Мы покажем в гл. 11, что, например,

гетеротическая струна Е8 х Е8 может быть легко редуцирована классическими методами к теории с калибровочной группой Е6 , которая имеет решения с киральными фермионами и приемлема с точки зрения феноменологии ТВО.

Но мы должны также потребовать, чтобы теория струн выходила за рамки стандартной феноменологии ТВО. А именно мы должны поставить перед ней следующие вопросы, относящиеся к струнной модели:

(1)Может ли она объяснить три поколения киральных фермионов?

(2)Может ли она объяснить экспериментальные результаты по распаду протонов?

(3)Может ли она объяснить малость массы электрона?

(4)Может ли она объяснить обращение в нуль космологической постоянной после нарушения суперсимметрии?

Хотя еще рано утверждать это категорически, все же есть указания на то, что теория струн достаточно содержательна и что она опирается на математический аппарат, с помощью которого можно получить ответы на поставленные выше вопросы. В частности, существенно используется топология, так что основные феноменологические понятия, такие как число поколений, переформулируются теперь на языке топологии.

Топология есть тот новый математический аппарат, который позволит нам выйти за рамки стандартной феноменологии ТВО.

Мы начнем эту главу с обсуждения изотопических групп, которые Допустимы в теории струн. Мы найдем, что свойства S-матриц, такие циклическая симметрия и свойство факторизации, дают самые слабые ограничения на калибровочную группу теории. Затем мы покажем, что требование сокращения аномалий в теории струн приводит * сильным ограничениям на допустимые калибровочные группы теории. в частности, калибровочная группа суперсимметричной теории должна ^Держать в точности 496 генераторов, что приводит нас либо к SO (32),

^бо к Es х Е8.

Чтобы понять, как происходит процесс сокращения аномалий, ®®Пезно будет рассмотреть некоторые элементарные свойства характеристических классов. В частности, последние достижения в суперсимТРйи позволили получить доказательство теоремы АтьиЗингера об ексе9 основанное на использовании простого лагранжиана. Раньше ^ательство теоремы Атьи-Зингера было недоступно большинству

412	Гл. 9. Аномалии и теорема Атьи-Зингера

физиков из-за запутанности и сложности математических формулиро. вок. Однако одна из удивительных черт суперсимметрии-способность этой теории дать относительно простое доказательство теорем^ Атьи - Зингера об индексе, которое мы представим в конце этой главы Мы начнем обсуждение феноменологии введением изотопического спина в рассматриваемую модель с помощью факторов Чана-Патона [1]. С самых первых дней теории струн было известно, что изоспиновые факторы могут быть тривиально введены в модель с помощью простых множителей. (В следующей главе мы обсудим более изощренный способ введения калибровочных групп через компактификацию и алгебры

Каца - Муди.)

Метод Чана-Патона дает амплитуду рассеяния Т при помощи

простого умножения члена Венециано-Борна А на след от произведения изоспиновых матриц, причем Тг (A,l9 ..., XN) циклически симметричен относительно перестановки Хг, ..., XN и последующего суммирования по различным перестановкам внешних линий:

Г(1, 2, 3, ..., N) = £ перестановки Т г ^ Х2 Х3 ...

2, 3, N).

(9.1.1)

Поскольку след циклически симметричен для любой изотопической группы, у нас нет ограничений на выбор самой группы. Поэтому мы хотим наложить дополнительные ограничения, которые позволят избежать физически необоснованного выбора калибровочной группы. Сначала мы вставим полный набор промежуточных состояний в амплитуду рассеяния. После этого потребуем:

(1)чтобы амплитуда Г полностью факторизовалась;

(2)чтобы поворот внешних линий имел собственные значения + 1;

(3)чтобы безмассовая янг-миллсовская частица на внешних линиях и во внутреннем факторизованном канале принадлежала присоединен-

ному представлению калибровочной группы.

Начнем с наложения первого условия, заключающегося в полной

факторизации амплитуды. На рис. 9.1 мы делим N внешних частиц на две группы аиЬ. Пусть промежуточная линия обозначает частицу X. На левой части рисунка показано рассеяние частиц группы а в X, а на правой-распад частицы X в частицы группы Ъ. Следуя (5.1.7), находив

Т( 1, 2, ..., N) = —— X	Т(а - X) Т(Ь - X) + ... .	РЛ'2)
s -mi	*

Перепишем теперь эту формулу факторизации в терминах амплитуд Венециано. Каждая из амплитуд удовлетворяет условию

А ( 1 , 2 , ..., N ) = — X	А ( 1 , 2 , ..., X ) А ( X , р , р + 1 , ..., N ) .	( 9 Л ' 3 )
s - m	i x

Отметим, что амплитуды Венециано автоматически факторизуеМ1»1 циклически симметричны, так что коэффициент Т(а X) должен сод

§ 9.1. Феноменология ТВО и выход за ее пределы

413

Рис. 9.1. Ограничения наложены условием унитарности. Изоспин может быть введен в модель умножением амплитуд на изоспиновые факторы Чана-Патона, подчиняющиеся более сильным условиям, возникающим из условия унитарности. Факторизованная амплитуда рассеяния должна состоять из суммы множителей Чана-Патона, в одном из которых внешние линии направлены по часовой, а в другом-против часовой стрелки (X представляет набор факторизованных

состояний).

жать два члена: с циклическим и с антициклическим порядком расположения внешних линий. Поэтому произведение двух таких членов должно содержать в целом 2 x 2 членов. Выпишем эти четыре члена

явно:

Т( 1, 2 , N ) =	1	{Tr^i		Х2 ...	Хр_х	Хр	Хр	...	Xn -	1 ^лг)
	s - m 2 x
х	А{1,	2,	...,р- l,p,		Х)(Х,р		+ 1,	..,	N -	I N	)
			_ 1 ... К2		Хр+ j Хр + 2 •			XN)
х	А{р,	р	—	1,...,	2,	1,	Х)А(Х,р+		l,p	+	2,...,N-l,N)
+ Тг		Х2 ... Хр XN Xn - i				... Хр + 1)
х	А(12,...,р,Х)А(Х,				N , . . . , / 7 + 1 )
+ Тг(А,р		Хр_ i ...		Хх XN	XN - i ..		• Хр + 1)
х	А (р,...,		l,X)A(X,N,...9p+			1)}.					(9.1.4)

Хотелось бы упростить это выражение. Используем для этого наше

в*орое предположение, что оператор поворота соответствует

\ ) N + 1 .

(9.1.5)

^Метим, что если мы применим оператор твиста ко всем внешним

— т о это изменит циклический порядок на антициклический, ^ а с н о предположению, мы рассматриваем только рассеяние безмасвекторных частиц, для которых N = 0. Таким образом, оператор ^Ист;а приобретает множитель (—1) для каждой внешней линии.

к а л и б р о в о ч н

414 Гл. 9. Аномалии и теорема Атьи-Зингера

Поэтому полный вклад в оператор твиста есть
А (1,	2, ..., р, X) = (-	1)' + 1 А (X, р, р -	1, ..., 2, 1).	(9.1,6)
Соберем теперь все члены и сформулируем некоторые выводы
Получаем
Тг	{[Хх	X2...Xp~(-\)pXpXp^...XJ
х	С^р+1 Хр + 2 • • • XN — (— 1)N р XN		XN + i
x	A(l,2,...,X)A(X,p+l,...,N).			(9.1.7)

Вставим полный набор изоспиновых матриц Ха в предыдущее уравнение. Мы всегда можем это сделать, поэтому возьмем

§np =				(9.1.8)
Тогда можно записать
T r { [ X, ...		Х р - ( -	1)" V - - M
х	l\p+i	...XN-(- \)N->XN ...Хр+11}
=	а Zl Tr{lX1		...Хр-(-1 )'*„.•• М М
X Tr		IXp + !	... XN - (- 1)" - •PXN ... Хр + ! ] }.	(9.1.9)

А теперь наложим третье, последнее условие. Это условие требует, чтобы комбинация ^-матриц в скобках была частью алгебры калибровочной группы:

\ = \ 1 . . . ' к р - ( - 1 у Х р . . . Х 1 .

(9.1.10)

Наш вывод заключается в том, что калибровочная группа, для которой множители Чана-Патона сохраняют присоединенное представление безмассовых векторных частиц, должна быть такой, что приведенная выше комбинация генераторов также является генератором алгебры. Это вынуждает нас ограничиться матрицами из Usp (N), SO (N) и U (N). (На самом деле U (N) также отбрасывается, но уже по другим причинам.

Мы не можем последовательно ввести взаимодействие открытых и замкнутых суперструн с калибровочными полями группы U (N), потому что N = 2-супергравитация не может взаимодействовать с N25

=1-мультиплетами материи.)

Ксожалению, этот анализ не дает никаких других ограничений, так что такая модель имеет очень небольшую предсказательную силуВернемся теперь к вопросу об аномалиях, что фиксирует калибровочную группу, которая будет либо SO (32), либо Е8 х Е8 . Как и в

калибровочных теорий, где сокращение аномалий между кварка и лептонами играет центральную роль при построении модели, сокра щение аномалий сыграет важную роль в фиксации группы теории струн.

§ 9.2. Аномалии и фейнмановские диаграммы

415

§ 9.2. АНОМАЛИИ И ФЕЙНМАНОВСКИЕ ДИАГРАММЫ

Аномалии имеют очень глубокое происхождение [2-4]. Они проливают свет на динамику квантовой теории поля.

Аномалии возникают в том случае, когда симметрии классического действия не сохраняются на квантовом уровне. Классические симметрии

не сохраняются, вообще говоря, после процедуры регуляризации квантовой теории. Существует два типа аномалий: глобальные и локальные.

Глобальные аномалии в калибровочных теориях на самом деле желательны. Например, глобальная аномалия масштабной инвариантности в КХД с безмассовыми кварками может порождать кварковые массы. Поэтому нарушение глобальной масштабной инвариантности из-за аномалий может быть причиной возникновения кварковых масс. Другая глобальная аномалия может быть ответственна за нарушение U(N)R х U (N)^инвариантности кварковых моделей КХД до SU(N) х х SU(iV), которая желательна с точки зрения феноменологии. Для модели суперструн глобальные аномалии, напротив, нежелательны. Например, если глобальные аномалии нарушают модулярную инвариантность многопетлевых амплитуд, это может иметь катастрофические последствия для внутренней согласованности и конечности теории. К счастью, можно показать, что глобальные аномалии, нарушающие модулярную инвариантность, отсутствуют в теории струн [5].

Локальные же аномалии и в калибровочной теории, и в теории суперструн должны быть устранены любой ценой, в противном случае эти теории не имеют смысла. Например, устранение киральных аномалий является одним из основных способов построения новых моделей кварков и лептонов. В стандартной модели кварки и лептоны имеют как раз такие киральности, которые необходимы для сокращения киральной аномалии. В теории суперструн локальные аномалии конформной инвариантности и киральной симметрии также должны быть устранены. Условие сокращения конформной аномалии фиксирует размерность пространства-времени, а также набор фермионов теории, тогда как требование сокращения киральных аномалий зафиксирует Калибровочную группу теории.

Мы начнем обслуживание с исследования простейшей локальной ^омалии, киральной аномалии, которая появляется вследствие того, ^о процесс регуляризации (такой, как регуляризация ПаулиВилларса ** размерная регуляризация) не сохраняет киральной инвариантности.

^ именно, если мы имеем теорию с инвариантностью вида
V - e ' ^ v j / ,	(9.2.1)

т° из (1.9.8) следует ожидать сохранения на классическом уровне Трального тока

^ • 5	= M V Y 5 Y » 4 ) = 0.	(9.2.2)
^Днако	вследствие квантования возникают осложнения.	Метод

416	Гл. 9. Аномалии и теорема Атьи-Зингера

Паули-Вилларса, например, вводит мнимую массивную частицу в теорию для того, чтобы сделать все фейнмановские диаграммы сходящимися:

	1	1	1		М2-т2		(9.2.3)
	р2 + т2	р2 + т2	р2 + М2	(р2	+ т2)(р2	+ М2)

Пропагаторы, которые обычно сходятся как р~2, теперь сходятся как /?~4, что делает все расходящиеся фейнмановские диаграммы сходящимися. Раз мы получили конечную S-матрицу, то мы полагаем, что масса М мнимой частицы стремится к бесконечности. Однако массовые члены явно нарушают киральную инвариантность:

5 (ij/ v|/)#0.

(9.2.4)

Таким образом, метод регуляризации Паули-Вилларса не сохраняет этой симметрии, и мы ожидаем, что дивергенция аксиального тока отлична от нуля. Мы не можем обеспечить сохранение тока и регуляризацию фейнмановских амплитуд одновременно. Но поскольку регуляризация теории более важна (иначе теории просто нет), это означает, что мы должны пожертвовать сохранением тока.

Аналогично, размерная регуляризация делает невозможным сохранение киральной инвариантности. Размерная регуляризация предполагает, что можно аналитически продолжить фейнмановские диаграммы на пространство комплексной размерности заменой

зD - 1

Z pI-	I	А,
|i = О	А = о
	dD р.	(9.2.5)

Нетрудно обобщить след дираковских матриц для взаимодействия векторных частиц, но это нарушает вид взаимодействия аксиальных векторов, так как в пространстве комплексной размерности нет аналога

матрицы у5:

Y s > r B + 1 .

(9-2.6)

Метод размерной регуляризации не работает для киральных фермионов,

потому что в этой регуляризации невозможно обобщить матрицу У 5 на комплексную размерность.

Мы ожидаем поэтому, что дивергенция аксиального тока не сохра- няется. Действительно, диаграмма «вектор-вектор-аксиальный вектор»

(ВВА) нарушает сохранение аксиального тока. Треугольная д и а г р а м м а требует аккуратной регуляризации, так как каждая внутренняя ФеР^ мионная линия, циркулирующая внутри треугольной диаграммы, дится только как /?- 1 , что недостаточно для того, чтобы дать н сходящийся граф, и , следовательно, приводит к н е о д н о з н а ч н о е

§ 9.2. Аномалии и фейнмановские диаграммы

417

Тщательно регуляризуя треугольную диаграмму, мы получаем в итоге

- 1
8, ^ 5 = T 7 Z 2 e"Y5p	Tr(F,v F5p),	(9.2.7)
1 6 ^

qro представляет собой топологический член или полную производную тока, заданного формулой

2	е ^ Т г ( А а dp Ay + - Аа АрАу ).	(9.2.8)
4 7 Г	з

Этот результат для треугольной диаграммы получается в четырех измерениях. Однако вывод аномалии может также быть обобщен на

Р-мерные киральные теории, в которых треугольный граф заменяется многоугольным графом. Начнем с записи фейнмановских правил для внешних векторных и аксиально-векторных частиц, взаимодействующих сфермионом спина 1/2. Возьмем N- 1 внешнюю векторную частицу, одну аксиально-векторную частицу с внешним импульсом kf, поляризацией (к) и изотопическими индексами а, Ъ, с, взаимодействую-

щую с фермионом, имеющим внешний импульс р?. Фейнмановские правила заключаются в сопоставлении

пропагатор г — о а Ь ,
вершина (вектор) -> Г 't>Xa,
вершина (аксиальный вектор)-» TD + х	(9.2.9)

Мы предполагаем, что внешние частицы находятся на массовой поверхности, что векторы поляризации обращаются в нуль при свертке с внешними импульсами и что сумма внешних импульсов равна нулю, tax что

fcu	= о,
*«•£,(*,) = о,
N
I	= 0.	(9.2.10)
^°гда фейнмановские правила для многоугольного графа дают
		Г ' ^ Г С ' ; П + гр + 1 ]}.
		(9.2.11)
наиболее		сильно расходящуюся часть этой диаграммы.

^ "метим, что след по членам, содержащим Г() | ,, может быть вычислен

^Чом виде:
ТГ (ГЦ1 ГЦ2 . . . Г „ Г0 + 1 ) ~ е ц „ ..„..	(9.2.12)

ф а к т о р а м •

418	Гл. 9. Аномалии и теорема Атьи-Зингера

Заметим, что антисимметричная матрица возникает только тогда, когда мы берем след от DT-матриц, умноженных на TD + l. Перегруппируй различные содержащие импульсы множители, которые теперь должны быть свернуты в антисимметричную матрицу. Заметим, что сохранение импульса редуцирует число независимых импульсных коэффициентов д0 одного. В общем случае остаются только члены вида

G~\d°p Tr(Xai...KN) П	(9.2.13)
	i = 1 Pi

Теперь мы имеем прямую корреляцию между числом внешних линий и числом измерений пространства - времени, так как антисимметричный тензор имеет ранг D. Таким образом, для ведущего расходящегося члена

должно выполняться соотношение

D = 2N - 2 .

(9.2.14)

В четырех измерениях это означает, что треугольная диаграмма расходится. В 10 измерениях это означает, что шестиугольный граф расходится. Отметим также, что (9.2.14) дает явное выражение для аномальных членов. Внешние импульсы kitVL могут быть заменены

производными дц, тензор поляризации	может быть заменен полем
Атак что можно заменить свертки с	k{VL £v] сверткой с тензором

Янга-Миллса F[lv. Следовательно, после преобразования Фурье мы получим соответствие:

/c^ • дц,
			(9-2.15)
Собирая все множители, получаем [6-8]
d p J^5 =	;(l/2)D	Т г Ч " •	(9.2.16)
	2 я-1я (1/2 ) D ( I d ) |

Аналогично, в теории гравитации, взаимодействующей с киральнымй

фермионами, также существует аномалия, которая по-прежнему пропорциональна полной производной или топологическому члену. Если мы присоединим внешние гравитонные линии к распространяющимся в

внутренней области однопетлевого графа киральным фермионам, то М* можем повторить наш предыдущий анализ, использующии . новские диаграммы. Главное отличие определяется тремя

(1)Теперь мы должны включить взаимодействие ФеРмиоН°^к^

тензором энергии - импульса, а не с киральным током. действие гравитонов с фермионами происходит через теТ^1вд- (поскольку GL (АГ) не имеет конечномерных спинорных ™ ставлений; см. приложение).

§ 9.2. Аномалии и фейнмановские диаграммы

419

0 Внешний вектор поляризации ^ заменяется при этом на внешний тензор поляризации

(3) Вертексные функции содержат теперь тензорные компоненты более высокой степени.

Однако главная расходящаяся часть диаграммы по-прежнему содер-

зкит тензор	2..,iiD, свернутый с внешними импульсами kt и внешними
тензорами поляризации		Как и прежде, нетрудно перегруппировать

все множители и показать, что ведущая расходимость в х-пространстве может быть собрана в тензоры кривизны. Например, для взаимодействия аксиального вектора и двух тензоров энергии-импульса в четырех измерениях получаем

= - ЧЯГг £MV"P R •	(9-2.17)
/Оо Я

В теории гравитации в двух и четырех измерениях имеются два хорошо известных выражения, являющиеся полными производными. Возьмем знаменитое тождество Гаусса-Бонне

Х(Л#) = ^-\d2xJ~g R = 2-2g,	(9.2.18)
4 К
которое мы докажем ниже.	Здесь %(М)~ эйлерова характеристика
двумерного многообразия М,	R- свернутый тензор кривизны и д- род

замкнутого многообразия1) (т.е. число дырок или ручек). Это тождество возможно в силу того, что скалярная кривизна в двух измерениях является полной производной.

В четырех измерениях при некоторых определенных значениях чисел

й, b и с мы имеем следующее тождество:
Tr(V RaV-ay/i Л^р	+ b^fg R^ + Cy/g	R2
= полная	производная.	(9.2.19)

Обычно интеграл от полной производной равен нулю. Однако это Неверно, если многообразие имеет границу или нетривиальную тополо- Гйк>. В этом случае интеграл от полной производной зависит от границы 11 топологии. Так, интеграл от свернутого тензора кривизны двумерного замкнутого многообразия является линейной функцией рода поверхности, т.е. числа дырок на поверхности, являющегося топологическим '•слом. В этом и заключается связь между аномалиями, полными Производными и топологическими числами.

Как калибровочные, так и гравитационные аномалии могут быть из фейнмановских диаграмм. Однако для более высоких ^Мерностей это становится крайне затруднительным. Для более высо- ]^Размерностей число индексов очень быстро растет. Вместо того

дф-1* Точнее будет сказать - род римановой поверхности. В (9.2.18) одной буквой

°°значен детерминант метрики и род римановой поверхности. - Прим. перев.

2>