1 Случайные величины

1.1 Определение случайной величины. Функция распределения случайной величины

Пусть построено вероятностное пространство , – элементарное событие.

Случайной величиной называется числовая функция, заданная на пространстве элементарных событий , такая, что для любого действительного числа все множества вида являются событиями, т.е. множества где – алгебра событий.

Случайные величины принято обозначать прописными буквами латинского алфавита , а их возможные значения соответствующими строчными буквами. Для простоты записи в дальнейшем будем обозначать случайные величины , … , а события , – соответственно через .

Определение. Функцией распределения (или интегральной функцией распределения) случайной величины называется вещественная функция вещественного аргумента , равная вероятности события , состоящего в том, что случайная величина принимает какое-либо из своих значений, меньших данного числа :

(1.1)

Свойства функции распределения

1. Функция распределения определена для любых .

2. Из определения (1) следует, что областью изменения функции распределения является отрезок [0, 1]: .

3. .

4. Функция распределения является неубывающей, т.е. для любых значений аргументов имеет место неравенство: .

5. Вероятность попадания в интервал равна разности значений функции распределения на концах интервала

. (1.2)

6. Функция распределения непрерывна слева и может иметь не более чем счетное число точек разрыва первого рода.

В зависимости от вида множества возможных значений и свойств функции распределения случайные величины подразделяются на случайные величины дискретного типа (случайные величины с дискретным распределением, или дискретные случайные величины), непрерывного типа (случайные величины с непрерывным распределением, или непрерывные случайные величины), смешанного типа (последние в работе не рассматриваются).

1.2 Случайные величины с дискретным распределением

Случайная величина называется дискретной, если множество ее возможных значений конечно или счетно, а сумма вероятностей этих значений равна единице.

Набор возможных значений случайной величины и соответствующие этим значениям вероятности называются законом распределения дискретной случайной величины .

Если возможные значения расположены в порядке возрастания, то полученный закон распределения называется рядом распределения. Ряд распределения представляют в виде таблицы, где в первой строке располагают возможные значения случайной величины, во второй – соответствующие этим значениям вероятности (см. табл.1).

Таблица 1

			...
			…

Ряд распределения изображают графически. В прямоугольной системе координат наносят точки , которые соединяют отрезками прямых. Полученный график называется многоугольником распределения.

Случайные величины всех типов полностью характеризует функция распределения. Зная ряд распределения, можно по формуле (1.1) построить функцию распределения. Для дискретной случайной величины формула (1.1) примет вид:

(1.3)

Здесь индекс означает суммирование по всем , меньшим .

Н а рис. 1 представлен многоугольник распределения случайной величины .

Функция распределения для случайной величины, заданной рядом распределения, представленным в табл.1, имеет вид

Графиком функции распределения является ступенчатая линия.

Распределения биномиальное, геометрическое, Пуассона, которые рассмотрены ниже, являются примерами случайных величин с дискретным распределением.

Операции над дискретными случайными величинами

Пусть дискретные случайные величины: принимает значения , с вероятностями ; принимает значения , с вероятностями .

Введем определения.

1. Произведением дискретной случайной величины на постоянную называется дискретная случайная величина , принимающая возможные значения с теми же вероятностями .

2. Суммой (разностью, произведением) дискретных случайных величин и называется дискретная случайная величина (соответственно , принимающая значения , с вероятностями .

Если некоторые значения полученных сумм (разностей, произведений) совпадают, то следует сложить их вероятности.

Две случайные величины и называются независимыми, если для любых выполняется соотношение

, т.е. . (1.4)

Пример 1.1

Даны две дискретные независимые случайные величины и . Ряды их распределений приведены в таблицах 2 и 3.

Таблица 2 Таблица 3

	1	2			0	1	2
	0,6	0,4			0,2	0,1	0,7

Построить ряды распределений случайных величин

1) , 2) , 3) ,

4) найти функцию распределения случайной величины и вероятность события .

Решение

1) Случайная величина принимает возможные значения с теми же вероятностями, что и случайная величина : . Следовательно, ряд распределения случайной величины имеет вид (табл. 4):

Таблица 4

	2	4
	0,6	0,4

2) Используем правило построения ряда распределения суммы двух дискретных случайных величин. Тогда случайная величина принимает значения: 1+ 0 =1; 1+1=2; 1+2=3; 2+0=2; 2+1=3; 2+2=4.

По условию случайные величины и независимы. Вероятности событий вычисляем по формуле (1.4). Так как возможные значения и повторяются, то вероятности равных значений складываем. Итак, имеем:

;

.

Ряд распределения случайной величины имеет вид:

Таблица 5

	1	2	3	4
	0,12	0,14	0,46	0,28

Контроль: 0,12 + 0,14 + 0,46 + 0,28 = 1.

3) Случайная величина принимает значения: ; ; .

Вероятности этих значений:

Ряд распределения случайной величины имеет вид:

Таблица 6

	0	1	2	4
	0,20	0,06	0,46	0,28

Контроль: 0,20 + 0,06 + 0,46 + 0,28 = 1.

4) Ряд распределения случайной величины представлен в таблице 5. Найдем ее функцию распределения по формуле (1.3):

График функции распределения случайной величины изображен на рис.2:

Вероятность попадания в интервал находим по формуле (1.2):

Контроль:

Ответ: 1) табл.4; 2) табл.5; 3) табл.6; 4) 0,26.

Пример 1.2

В коробке 10 деталей, из них 3 нестандартных. Для проверки наудачу извлечены 3 детали. Найти ряд распределения случайной величины – число нестандартных деталей в контрольной партии, функцию распределения случайной величины вероятность события .

Решение

Возможные значения случайной величины : 0, 1, 2, 3. По классической схеме находим вероятности событий:

Ряд распределения случайной величины имеет вид:

Таблица 7

	0	1	2	3
	7/24	63/120	21/120	1/120

Функцию распределения находим по формуле (1.3):

Вероятность попадания в заданный интервал находим по формуле (1.2):

Контроль:

Ответ: