Федеральное агентство железнодорожного транспорта
Федеральное государственное образовательное учреждение
высшего профессионального образования
«ПЕТЕРБУРГСКИЙ
ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ПУТЕЙ СООБЩЕНИЯ»
В. В. Гарбарук, Ю. Ю. Пупышева
Математическая статистика Учебное пособие
Рекомендовано Научно-методическим советом по математике
вузов Северо-Запада РФ в качестве учебного пособия
для студентов технических вузов
Санкт-Петербург
ПГУПС
2
УДК
ББК
Б46
Р е ц е н з е н т ы:
канд. физ.-мат. наук, доцент кафедры высшей математики
Санкт-Петербургского государственного
электротехнического университета
Т. К. Виноградова;
д-р физ.-мат. наук, профессор кафедры высшей математики
Петербургского государственного университета путей сообщения
В. Н. Фоменко
Гарбарук В. В.
Б46 Математическая статистика/ В. В. Гарбарук, Ю. Ю. Пупышева. – СПб. : Петербургский государственный университет путей сообщения, 2011. – 54 с.
ISBN 978-S-7641-0260-3
Рассмотрены основные вопросы по разделу «Математическая статистика». Подробно рассмотрены решения типовых примеров по данному разделу.
Пособие предназначено для студентов всех специальностей Университета.
УДК
ББК
© В. В. Гарбарук, Ю. Ю. Пупышева 2011
© Петербургский государственный
I
SBN
978-S-7641-0260-3
университет путей сообщения, 2011
Введение
С обработкой результатов наблюдений имеют дело специалисты во всех отраслях практической деятельности – технике, экономике, социологии, медицине и т.д. Статистика – это наука о том, как обрабатывать данные, и методы ее основаны на вероятностных моделях. Математическая статистика как наука начинается с работ по анализу астрономических данных знаменитого немецкого математика Карла Фридриха Гаусса (1777-1855). Именем Гаусса часто называют самое распространенное распределение вероятностей – нормальное. Крупный вклад в математическую статистику внесли английские и американские исследователи, прежде всего, К.Пирсон (1857-1936) и Р.Фишер (1890-1962). В частности, Пирсон разработал критерий "хи-квадрат" проверки статистических гипотез, а Фишер – дисперсионный анализ, теорию планирования эксперимента, метод максимального правдоподобия оценки параметров. Среди русских ученых следует отметить одного из основателей современной теории вероятностей Андрея Николаевича Колмогорова (1903 – 1987).
К основным задачам математической статистики можно отнести:
1. Указание способов сбора, группировки и наглядного представления статистических сведений, полученных в результате наблюдений или в результате специально поставленных экспериментов.
2. Анализ статистических данных, включающий оценку параметров изучаемых объектов и проверку различных статистических гипотез.
1. Описательная статистика
1.1. Выборка
Генеральной совокупностью называется множество изучаемых объектов. Выборкой называется набор объектов, случайно отобранных из этого множества. Выборкой также считаются результаты опытов или наблюдений, предпринятых для изучения некоторой количественной характеристики объекта. Тогда генеральная совокупность – множество всех возможных значений этой характеристики. Количество отобранных объектов (или проведенных опытов) называется объемом выборки. Репрезентативной (представительной) выборка является тогда, когда по данным выборки можно получить объективные выводы о генеральной совокупности.
Простым называется отбор объектов, при котором они случайно извлекаются по одному из всей генеральной совокупности. Если выбранный объект не возвращается в генеральную совокупность, то выборка называется бесповторной.
Типическим называется отбор, при котором объекты отбираются не из всей генеральной совокупности, а из каждой ее «типической» части. Например, если детали изготовляют на нескольких станках, то отбор производится не из всей продукции, выпущенной станками, а из деталей каждого станка в отдельности. Механическим называется отбор, при котором генеральную совокупность «механически» делят на группы, а затем из каждой группы в выборку попадает только один объект, занимающий, как правило, определенное место в группе. Например, при контроле качества продукции может проверяться каждое десятое изделие, сходящее с конвейера. Следует указать, что не всегда механический отбор обеспечивает репрезентативность выборки. Серийным называется отбор, при котором объекты отбираются из генеральной совокупности не по одному, а «сериями», которые подвергаются сплошному обследованию. Например, если изделия изготовляются большой группой станков-автоматов, то подвергают сплошному обследованию продукцию только нескольких станков. Также на практике часто применяется комбинированный отбор, при котором сочетаются указанные выше способы.