ЛЕКЦИЯ 12. ПРИБЛИЖЕНИЕ ФУНКЦИЙ СПЛАЙНАМИ.
ЛИТЕРАТУРА. Учебник [1] §§11.11
§12.1 Кубические сплайны.
Потребность в наличии аппроксимирующих функций, которые сочетали бы в себе локальную простоту многочлена невысокой степени и глобальную на всем отрезке [a,b] гладкость, привела к появлению в 1946 году так называемых сплайн-функций или сплайнов. Получив в 60-х годах 20 века распространение как средство интерполяции сложных кривых, к настоящему времени стали важной составной частью самых различных вычислительных методов и нашли широчайшее применение в решении разнообразных научно-технических и инженерных задач.
ОПРЕДЕЛЕНИЕ, Сплайном степени m называется функция обладающая следующими свойствами:
1) Функция непрерывна на [a,b] вместе со своими производными , ,…, до некоторого порядка p.
2) На каждом отрезке функция совпадает с некоторым алгебраическим многочленом степени m.
3) , i=0,1,…n.
ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Разность m-p между степенью сплайна и наивысшим порядком непрерывной на [a,b] производной называется дефектом сплайна.
Простейший пример сплайна дает кусочно-линейная функция, являющаяся сплайном первой степени (линейным сплайном) с дефектом, равным 1.
Наиболее широкое распространение получили сплайны третьей степени с дефектом равным 1 или 2.
Термин сплайн происходит от английского слова «spline» (гибкая линейка).
Примером кубического сплайна является интерполяционный многочлен Эрмита.
Так как он строился из условия
, , i=0,1,…n.
То есть это кубический сплайн дефекта 2. Его также называют локальным сплайном.
ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Значение производной в точках называют наклоном сплайна в точке и обозначают .
Построим кубический сплайн дефекта 1.
Заметим, что на отрезке интерполяции кубический сплайн однозначно определяется заданием значений , , , . Запишем многочлен Эрмита, в котором заменим известные значения и неизвестными наклонами и .
Построение многочлена эрмита
Рассмотрим отрезок интерполяции . Будем считать, что длина отрезка , и в концах отрезка известны не только значения функции и , но и значения производных: и , то есть оба узла кратности 2.
Построим многочлен , удовлетворяющий условиям:
, , , (11.10)
Окончательно, полином запишется так:
(11.11)
Полученный полином называется полиномом Эрмита.
Теперь в полиноме Эрмита заменим известные значения и неизвестными наклонами и .
Очевидно, что выполнены следующие равенства:
,
,
Запишем формулу для сплайна на следующем отрезке.
Очевидно, что:
- известное значение ,
- неизвестное значение.
Теперь выберем значения наклонов таким образом, чтобы выполнялось равенство и для вторых производных:
Для этого найдем вторые производные от и .
Для второй производной получим следующее соотношение:
Окончательно,
Аналогично найдем вторую производную от :
Теперь приравняем значения производных в точке :
Собирая коэффициенты, получим систему линейных алгебраических уравнений для определения наклонов сплайна:
Окончательно, система примет следующий вид:
Заметим, что в этой системе (n+1) неизвестное, и (n-1) уравнение.
…….
Поставим дополнительные условия:
1. Фундаментальный кубический сплайн.
Известны значения производной в концах отрезка : и .
Тогда дополнительные условия выглядят так: , .
2.Сплайн с известными значениями второй производной в концах отрезка:
, .
Тогда дополнительные условия выглядят так: (берем вторые производные в концах отрезка)
Или:
Аналогично для точки :
3. Естественный кубический сплайн: ,
4. Если нет дополнительной информации, то применяют условие «отсутствия узла»:
Выбор наклонов производят таким образом, чтобы для получаемого сплайна выполнялись условия: и .
Потребуем для этого совпадения третьих производных в соответствующих точках:
и .
Тогда получим следующие соотношения:
Погрешность приближения функции кубическими сплайнами.
ТЕОРЕМА. Пусть функция f имеет на отрезке [a,b] непрерывную производную четвертого порядка и . Тогда для интерполяционного кубического сплайна , удовлетворяющего граничным условиям 1,2,4 справедлива следующая оценка погрешности: