Е. А. Ровба - Высшая математика

250	Глава 5. Теория интегрирования

Пример 5.8. Найти разложение на простейшие дроби рациональ-

ной функции

x

R(x) = (x + 1)(x − 2)(x2 + 1) .

Р е ш е н и е. Очевидно, что R(x) есть правильная рациональная функция, знаменатель которой имеет вид (5.9), поэтому запишем представление (5.10) с неопределенными коэффициентами для данной рациональной функции:

x			A		B		Mx + N
		=		+		+		.
(x + 1)(x − 2)(x2 + 1)			x + 1		x − 2		x2 + 1

Правую часть равенства приводим в общему знаменателю и сравниваем многочлены, стоящие в числителях левой и правой частей:

x = A(x − 2)(x2 + 1) + B(x + 1)(x2 + 1) + (Mx + N)(x + 1)(x − 2), (5.11)

или

x= (A + B + M)x3 + (−2A + B + N − M)x2+

+(A + B − 2M − N)x − 2A + B − 2N.

Два многочлена равны тогда и только тогда, когда равны коэффициенты при одинаковых степенях x. Приравнивая эти коэффициенты, получаем систему уравнений для определения чисел A, B, M, N:

при x3	:	A + B + M = 0;	(5.12)
при x2	:	−2A + B + N − M = 0;
при x1	:	A + B − 2M − N = 1;
при x0	:	−2A + B − 2N = 0.	(5.13)

Решая систему из этих четырех линейных уравнений, находим неизвестные A, B, M, N.

Вместе с тем, используя тождество (5.11), можно найти искомые коэффициенты несколько проще.

Полагая в формуле (5.11) x = −1, получаем −1 = A(−3) · 2, откуда A = 1/6. Полагая в формуле (5.11) x = 2, получаем 2 = B · 3 · 5, откуда B = 2/15. Тогда из уравнения (5.12) находим:

M = −A − B = − 16 − 152 = −0, 3,

2x + 1

5.2. Интегрирование некоторых классов функций	251

а из уравнения (5.13)

N = B2 − A = 151 − 16 = −0,1.

Таким образом,

x

1

2

− 0,1

3x + 1

=

+

.

(x + 1)(x

−

1)(x2 + 1)

6(x + 1)

15(x

−

2)

x2 + 1

Пример 5.9. Найти разложение на простейшие дроби рациональной функции

(x2 + 5x + 6)(x + 2) .

Р е ш е н и е. Данная дробь представляет собой правильную рациональную функцию. Корнями многочлена x2 +5x+6 являются числа

(−2) и (−3), поэтому (x2 + 5x + 6)(x + 2) = (x + 2)2(x + 3).

Теперь можем записать следующее представление с неопределенными коэффициентами, аналогичное формуле (5.10):

x		A		B			C
	=		+			+		.
2					2
(x + 2) (x + 3) x + 2 (x + 2)							x + 3

Приводя выражение справа к общему знаменателю и сравнивая многочлены, стоящие в числителе, находим:

x = A(x + 2)(x + 3) + B(x + 3) + C(x + 2)2.

Полагая здесь x = −2, находим: −2 = B(−1), B = −2. Если положить x = −3, то имеем: −3 = C(−1)2, C = −3. Наконец, если x = 0, то получаем: 6A + 3B + 4C = 0 и A = −(3B + 4C)/6 = 3. Значит,

x		3		−	2	3
		=				−		.
(x2 + 5x + 6)(x + 2)			x + 2		(x + 2)2		x + 3

5.2.2.Интегрирование иррациональных функций

Простейшие случаи

Через R(u, v) будем обозначать рациональную функцию двух переменных, т.е. функцию, получающуюся из двух переменных u и

252	Глава 5. Теория интегрирования

v и некоторых постоянных, над которыми производятся операции сложения, вычитания, умножения и деления. Например, функция

u2v2 + 3u2v + uv2 + uv + 1

u2v + u2 + 2

есть рациональная функция двух переменных u и v.

Пусть имеем интеграл вида

*

'

ax + b

R x, n

dx,

(5.14)

cx + d

где n N; ad − bc = 0.

В интегралах такого вида целесообразно сделать следующую

замену:

n

ax + b

'

= t.

(5.15)

cx + d

Из этого равенства получаем:

tn =

ax + b

,

x =

b − dtn

,

dx =

m(ad − bc)tn−1

dt.

cx + d

ctn − a

(ctn − a)2

Подставляя соответствующие выражения в интеграл (5.14), име-

ем:

*

'

ax + b

R x, n

dx =

cx + d

b dtn

m(ad bc)tn−1

= *

R

−

, t

−

dt =

* R1(t) dt,

ctn − a

(ctn − a)2

где R1(t) есть некоторая функция переменной t.

Таким образом, интегралы вида (5.14) заменой переменной (5.15) сводятся к интегралам от рациональных функций, методы вычисления которых нам уже известны. В этом случае говорят, что интеграл вида (5.14) рационализируется.

*	√x + 1
Пример 5.10. Найти интеграл	x − 1	dx.

5.2. Интегрирование некоторых классов функций	253

√

Р е ш е н и е. Сделаем замену переменной x + 1 = t. Имеем: x + 1 = t2, x = t2 − 1, dx = 2t dt,

тогда

*

x − 1

dx =

*

t2

1

1

2t dt = 2

− t

−

√x + 1

*

= 2

!

− 2√x + 1

(x3

+ 1)3

			3				− 2t + C =
	(t2 − 2) dt = 2					t
						3
		2	√
	+ C =			x + 1(x − 5) + C.
		3

По аналогии с интегралом (5.14) рассмотрим более общие случаи интегрирования иррациональных функций.

Интеграл вида

*

R x, xr1/s1 , xr2/s2 , . . . , xrk /sk dx

рационализируется заменой x = tm, где m = НОК (s1, s2, . . . , sk)

(НОК — наименьшее общее кратное).

√

*

x

1 +

√x

Пример 5.11. Найти интеграл

3

dx.

Р е ш е н и е. Поскольку

√

x1/2

x

=

,

1 + x1/3

1 + √x

3

то в этом случае m = НОК (2, 3) = 6, поэтому следует сделать замену

x = t6. Тогда

√

= t3,

√

= t2

, dx = 6t5 dt и

x

x

3

*

√

t3

*

t8

x

dx =

6t5 dt = 6

dt.

1 + √x

*

1 + t2

1 + t2

3

Далее воспользуемся методами интегрирования рациональных функций:

*

t8

*

t6 − t4 + t2 − 1 +

1

dt =

dt =

1 + t2

1 + t2

t7

t5

t3

=

−

+

− t + arctg t + C.

7

5

3

254

Глава 5. Теория интегрирования

Возвращаясь к переменной x (t =

√

), окончательно получаем:

x

6

√

√ 7

√ 5

6

6

x

6 6

−

6 6

−

* 1 + √x

7

5

+ 2√x

√x + 6 arctg √x + C.

3

dx =

x

x

6

Интеграл вида

* R x,

ax + b

r1/s1

ax + b

r2/s2

ax + b

rk/sk

,

, . . . ,

dx

cx + d

cx + d

cx + d

рационализируется заменой

ax + b

= tm,

cx + d

где m = НОК (s1, s2, . . . , sk).

√

√

Пример 5.12. Найти интеграл

x + 1 −

3

x + 1

dx.

3

*

√x + 1 + √x + 1

Р е ш е н и е. Поступая так же, как и в примере 5.11, замечаем, что в данном случае следует произвести замену x + 1 = t6. Получим:

*

√

√

3 2

6

5

x + 1 −

3

x + 1

dx =

t − t

6t5 dt = 6

t − t

dt =

√x + 1 +

√x + 1

*

t3 + t2

*

t + 1

3

= 6 * t5 − 2t4 + 2t3

2

dt =

− 2t2 + 2t − 2 +

t + 1

= 6

6

5

4

3

2

− 2t + 2 ln |t + 1| + C =

t

− 2

t

+ 2

t

− 2

t

+ 2

t

6

5

4

3

2

√

!

5

√

!

2 √

√

12

6

3

= x −

3

5

(x + 1) + 3 (x + 1) − 4 x + 1 + 6

x + 1−

− 12

6

6

x + 1 + 12 ln(

x + 1 + 1) + C.

Более сложные случаи

1. Тригонометрическая подстановка. Интегралы вида

* !

R x, a2 − x2 dx

5.2. Интегрирование некоторых классов функций				255
находятся с помощью замены x = a sin t или x = cos t.
При вычислении интегралов вида
	!
* R x,		a2 + x2	dx
можно воспользоваться подстановкой x = a tg t.
Для нахождения интегралов вида
	!
* R x,		x2 − a2	dx

применяется замена x = a/ sin t.

Пример 5.13. Найти интеграл * √4 − x2 dx. x2

Р е ш е н и е. Сделаем замену x = 2 sin t. Тогда

!

!

dx = 2 cos t dt,

4 − x2 =

4 − 4 sin2 t = 2 cos t.

Получим:

*

√

2

2 cos t

4 − x

dx =

2 cos t dt =

ctg2 t dt =

x2

1

*

4 sin2 t

1

*

= *

− 1 dt =

*

dt

− *

dt = − ctg t − t + C =

sin2 t

sin2 t

x

x

= − ctg arcsin

− arcsin

+ C.

2

2

2. Подстановки Эйлера. Интегралы вида

* !

R x, ax2 + bx + c dx

находятся с помощью так называемых подстановок Эйлера. Если a > 0, то полагают

! √ ax2 + bx + c = ±x a ± t

(комбинация знаков произвольная).

256 Глава 5. Теория интегрирования

Если c > 0, то полагают

! √

ax2 + bx + c = ± c ± xt

(комбинация знаков произвольная).

Если же a < 0 и c < 0 (в этом случае b2 −4ac > 0, т.е. квадратный трехчлен ax2 + bx + c имеет два корня), то применяют подстановку

!

ax2 + bx + c = t(x − x1),

где x1 — один из корней трехчлена ax2 + bx + c.

*

Пример 5.14. Найти интеграл √ 1 dx. x + x2 + x + 1

Р е ш е н и е. Так как a > 0, то воспользуемся первой подстанов-

√

кой Эйлера x2 + x + 1 = x − t. Тогда

		x =	t2 − 1	,	dx =		2t2 + 2t + 2		dt.
			2t + 1
							(2t + 1)2
Значит,	*					dx = *		2t2 + 2t + 2
		1
		x + √								dt.
								t(2t + 1)2
			x2 + x + 1

Это интеграл от рациональной функции. Применив метод неопределенных коэффициентов, несложно получить

2t2 + 2t + 2

2

3

3

=

−

−

.

t(2t + 1)2

t

2t + 1

(2t + 1)2

Следовательно,

*

t2 + 2t + 2

3

3

2

dt = 2 ln

|t| −

ln |2t + 1| +

+ C.

t(2t + 1)2

2

2(2t + 1)

√

Осталось произвести обратную замену, т.е. t = x −

2

x + x + 1.

3. Интегрирование дифференциального бинома.

Определение 5.5. Выражение xm(a + bxn)p dx (a = 0, b = 0) называется дифференциальным биномом.

5.2. Интегрирование некоторых классов функций	257

Для того чтобы рационализировать интеграл

*

xm(a + bxn)p dx,

применяются следующие подстановки:

1)если p Z, то x = tk, где k — наименьшее общее кратное знаменателей дробей m и n;

2)если m + 1 Z, то a + bxn = ts, где s — знаменатель дроби p; n

3) если	m + 1	+ p Z, то a + bxn = xnts, где s — знаменатель
	n
дроби p.

Во всех остальных случаях интегралы от дифференциального бинома не выражаются через элементарные функции, т.е. не берутся.

3

4

Пример 5.15. Найти интеграл *

!

√x + 1

√

dx.

x

Р е ш е н и е. Имеем:

3

4

1

1

1

*

!

√x + 1

dx = *

3

√

x− 2 1 + x4

dx.

x

В этом случае m = −1/2, n = 1/4, p = 1/3. Поскольку

m + 1

=

− 21 + 1

= 2,

n

1

4

1

то сделаем замену 1 + x4 = t3. При этом

x = (t3 − 1)4,

dx = 12t2(t3 − 1)3 dt,

t =

"

1 + √x.

3

4

Тогда

1

−

*

x− 2

1 + x 4

3 dx =

*

(t3

t 1)2 12t2(t3 −1)3 dt = 12 * (t6 −t3) dx =

1

1

12

7

4

12

√

3

√

3

t

−

(1 +

4

7

− 3(1 +

4

4

=

3t

+ C =

x)

x)

+ C.

7

7

dx

2 + cos x.

258 Глава 5. Теория интегрирования

5.2.3. Тригонометрические интегралы

Пусть имеем интеграл вида
*	(5.16)
R(sin x, cos x) dx,

где R(u, v) — рациональная функция двух переменных u и v. В этом случае функцию R(sin x, cos x) называют тригонометрической рациональной функцией.

Интеграл вида (5.16) рационализируется с помощью замены переменной

t = tg

x

.

(5.17)

2

Действительно,

sin x =

2 tg x2

=

2t

,

cos x =

1 − tg2 x2

=

1 − t2

,

1 + tg2 x

1 + t2

1 + tg2 x

1 + t2

(5.18)

2

2dt

2

x = 2 arctg t,

dx =

1 + t2

и

R(sin x, cos x) dx =

R

2t

,

1 − t2

2

dt =

R

(t) dt,

1 + t2

1 + t2

1 + t2

*

*

*

1

где R1(t) — рациональная функция переменной t.

*

Пример 5.16. Вычислить интеграл

Р е ш е н и е. Положим t = tg x . Тогда, воспользовавшись форму-

лами (5.18), имеем:

2

*

dx

=

1

2

dt = 2

dt

=

2 + cos x

1−t2

1 + t

2

2

) + 1

− t

2

*

2 + 1+t2

*

2(1 + t

*

dt

2

t

2

tg x

2

= 2

=

√

arctg

√

+ C =

√

arctg

√

+ C.

t2 + 3

3

3

3

3

5.2. Интегрирование некоторых классов функций	259

На практике замена переменной (5.17) часто приводит к громоздким выкладкам. При определенных условиях более удобны другие замены переменной:

a) если R(− sin x, cos x) = −R(sin x, cos x), то полагают t = cos x; б) если R(sin x, − cos x) = −R(sin x, cos x), то полагают t = sin x; в) если R(− sin x, − cos x) = −R(sin x, cos x), то полагают t = tg x.

В частности, рассмотрим вычисление интеграла вида

*

sinm x cosn x dx, m, n Z.

Возможны следующие случаи:

1)если n — нечетное число, то применяется замена sin x = t;

2)если m — нечетное число, то применяется замена cos x = t;

3)если m и n — четные числа, то применяются формулы понижения степени:

sin2 x =	1 − cos 2x	,	cos2 x =	1 + cos 2x	,	sin x cos x =	1	sin 2x;
2			2			2
4) если m + n — четное отрицательное число, то применяется
замена tg x = t.
Пример 5.17. Вычислить интеграл *						sin2 x cos3 x dx.
Р е ш е н и е. В этом случае m = 2, n = 3. Сделаем замену

sin x = t. Тогда cos x dx = dt. Учитывая то, что cos2 x = 1 − sin2 x, получаем:

*

sin2 x cos3 x dx = *

sin2 x cos2 x cos x dx =

*

t2(1 − t2) dt =

1

1

1

1

= * (t2 − t4) dt =

t3 −

t5 + C =

sin3 x −

sin5 x + C.

3

5

3

5

Пример 5.18. Вычислить интеграл *

sin2 x

dx.

cos4 x

Р е ш е н и е. В этом2

случае m = 2, n = −4. Сделаем замену

tg x = t. При этом dx/ cos

x = dt. Значит,

sin2 x

dx

1

1

*

dx = *

tg2 x

= *

t2 dt =

t3 + C =

tg3 x + C.

cos4 x

cos2 x

3

3