Е. А. Ровба - Высшая математика

300	Глава 6. Дифференцирование функций двух переменных

z

1

O

1 y

1

x

Рис. 6.2

Определение 6.3. Линией уровня функции z = f(x, y) называется множество точек M(x, y) плоскости Oxy, удовлетворяющих равенству f(x, y) = c, где c — константа.

Иными словами, линия уровня — это кривая, во всех точках которой функция f принимает одно и то же постоянное значение c. Геометрически линии уровня получаются как проекции на плоскость Oxy линий пересечения графика функции f и горизонтальных плоскостей z = c.

Пример 6.3. Построить семейство линий уровня параболоида вращения z = x2 + y2.

Р е ш е н и е. Придавая постоянной c значения 0, 1, 2, . . . (очевидно, что константа c не может быть отрицательной), получим уравнения некоторых линий уровня. Например:

x2 + y2	= 0	представляет собой точку O(0, 0);
x2 + y2	= 1	является окружностью радиуса R = 1 с центром O(0, 0);
x2 + y2		есть окружность радиуса R = √		с центром O(0, 0).
	= 2		2

Таким образом, линиями уровня функции z = x2 + y2 являются концентрические окружности с центром в начале координат и радиусом c 0, которые получаются в результате пересечения поверхности параболоида z = x2 + y2 с плоскостями z = c (рис. 6.3).

6.1. Функция двух переменных. Дифференциал	301

z

z = x2 + y2

c

z = c	√c
	O	y
	x2 + y2 = c
	x
	Рис. 6.3

Линии уровня используются в картографии. Так, например, на топографических картах рисуют линии равной высоты над уровнем моря, на метеорологических картах изображают линии одинакового давления — изобары.

По линиям уровня, построенным для некоторой рассматриваемой функции с одинаковыми промежутками между значениями c1, c2, c3, . . . , cn, . . . , можно получить представление о графике функции (т.е. о форме поверхности). В тех местах, где линии располагаются «гуще», функция при переходе от одного значения c к другому меняется быстрее, чем там, где линии распределены реже.

6.1.2. Предел функции двух переменных

Напомним, что если на плоскости задана прямоугольная декартова система координат, то расстояние между двумя точками определяется формулой (1.21).

Определение 6.4. Говорят, что последовательность точек плос-

302	Глава 6. Дифференцирование функций двух переменных

кости {Mn(xn, yn)}n N сходится к точке M0(x0, y0), если для любого ε > 0 существует такой номер Nε N, что для всякого n > Nε

!

MnM0 = (xn − x0)2 + (yn − y0)2 < ε.

Определение 6.5. Число A называется пределом функции f

в точке M0, если для любой последовательности точек плоскости {Mn}n N, сходящейся к точке M0 и такой, что Mn = M0, соответствующая последовательность значений функции {f(Mn)}n N сходится к числу A.

Тот факт, что число A является пределом функции двух переменных f(x, y) в точке M0(x0, y0), можно записать одним из следующих способов:

lim f(x, y) = A,	lim	f(x, y) = A, lim f(M) = A.
x→x0	(x,y)→(x0,y0)	M→M0
y→y0

Замечание 6.1. Если для некоторых двух последовательностей точек {Mn}n N и {Mn }n N, сходящихся к M0, пределы соответствующих последовательностей {f(Mn)}n N и {f(Mn )}n N имеют разные значения или хотя бы одного из них не существует, то в точке M0 функция f предела не имеет.

xy

Пример 6.4. Существует ли предел lim ?

x→0 x2 + y2 y→0

Р е ш е н и е. Рассмотрим последовательность точек Mn(1/n, 0), стремящуюся к началу координат по положительной части оси Ox. Для этой последовательности

lim	f(M	) = lim f		1	, 0	= lim	1/n · 0	= lim 0 = 0.
			n
n→∞	n	n→∞				n→∞ 1/n2 + 0		n→∞

Возьмем теперь последовательность Mn (1/n, 1/n), стремящуюся к началу координат по направлению биссектрисы первого координатного угла. Тогда

lim

f(M ) = lim f

1

,

1

= lim

1/n · 1/n

= lim

1

=

1

.

2

n→∞

n

n→∞

n n

n→∞ 1/n2 + 1/n2

n→∞ 2

6.1. Функция двух переменных. Дифференциал	303

Таким образом, двум разным последовательностям точек, стремящимся к началу координат по разным путям, соответствуют две последовательности значений функции, имеющие разные пределы. Значит, данный предел не существует.

Как и для функций одной переменной, можно доказать, что данное нами определение предела функции на языке последовательностей эквивалентно приводимому ниже определению на языке ε — δ.

Определение 6.6. Число A называется пределом функции f(x, y) в точке M0(x0, y0), если для любого числа ε > 0 существует такое положительное число δ, зависящее от ε, что для всех точек M(x, y), удовлетворяющих условию

!

0 < (x − x0)2 + (y − y0)2 < δ,

выполняется неравенство |f(x, y) − A| < ε.

Иными словами, число A называется пределом функции f в

точке M0, если

ε > 0 δ > 0 M, 0 < MM0 < δ, |f(M) − A| < ε.

Определение 6.7. Внутренность круга с центром в точке M0 и радиусом ε, т.е. множество

U(M0, ε) = (x, y) (x − x0)2 + (y − y0)2 < ε2 ,

называется ε-окрестностью или просто окрестностью точки M0

(рис. 6.4).

y
	ε
y0		M0
O	x0	x
	Рис. 6.4

304	Глава 6. Дифференцирование функций двух переменных

«Переведем» определение предела функции двух переменных на «язык окрестностей».

Определение 6.8. Число A называется пределом функции f(M)

в точке M0, если для любой ε-окрестности точки A найдется такая

δ-окрестность точки M0, что для всех точек M = M0 из этой δ-окрестности соответствующие значения функции f(M) лежат в ε-окрестности точки A.

Определение 6.8 выражает геометрический смысл предела функции двух переменных (рис. 6.5).

y			z
	δ		A + ε
y0	M0	M
			A
			f(M)
			A − ε
O	x0		x
			Рис. 6.5

Все положения теории пределов функции одной переменной можно перенести на функцию двух переменных.

Свойства предела функции двух переменных

1.Если функция f(M) имеет предел при M → M0, то этот предел единственный.

2.Если функция f(M) имеет в точке M0 предел, то существует окрестность этой точки, в которой функция f(M) ограничена.

3. Если lim f(M) = A,	lim g(M) = B, то:
M→M0	M→M0

1) M→M0		f(M)	±		±	B;
lim				g(M) = A

2)lim f(M)g(M) = AB;

M→M0

6.1. Функция двух переменных. Дифференциал							305
3) M→M0	g(M)			B
lim	f(M)	=		A	при условии, что B = 0.
4 (о пределе			промежуточной			функции). Пусть	функции

f(M), g(M) и ϕ(M) определены в некоторой окрестности точки M0, кроме, быть может, самой точки M0, и удовлетворяют в этой окрестности неравенствам f(M) ϕ(M) g(M). Если

lim f(M) =	lim		g(M) = A,
M→M0	M→M0
то предел функции ϕ(M) в точке M0 существует и тоже равен A.
Пример 6.5. Существует ли предел lim							x2y			?
							2	+ y	2
				y→0 x
				x→0
		x2	+ y2
Р е ш е н и е. Поскольку |xy|					, то
			2

	2
x2x+yy2

Очевидно, что

|x|

x2

+ y2

x2y

2

x

x

x

=

| |

,

−

|

|

|

|

.

x2 + y2

2

2

x2 + y2

2

lim

|x|

= 0,

x→0

2

y→0

поэтому по свойству 4 предела промежуточной функции искомый предел существует и равен нулю.

6.1.3.Непрерывность функции двух переменных

Определение 6.9. Функция z = f(x, y), определенная в некоторой окрестности точки M0(x0, y0), называется непрерывной в точке M0, если в этой точке существует предел функции f(x, y), равный значению функции в этой точке:

lim f(x, y) = f(x0, y0).

x→x0 y→y0

306 Глава 6. Дифференцирование функций двух переменных

Другими словами, достаточно малые изменения независимых переменных x и y обеспечивают сколь угодно малые изменения значений функции. Геометрически это означает, что достаточно малые сдвиги точек на плоскости Oxy ведут к сколь угодно малым изменениям аппликаты точек поверхности, представляющей собой график функции z = f(x, y).

По аналогии с функциями одной переменной можно доказать, что арифметические действия над непрерывными функциями и построение сложных функций из непрерывных функций приводят к непрерывным же функциям. При этом для непрерывности частного, как всегда, требуется, чтобы делитель не обращался в нуль.

Определение 6.10. Функция, непрерывная в каждой точке множества, называется непрерывной на этом множестве.

Пример 6.6. Функция

			2
		x y		при x2 + y2 = 0,
z =		x2 + y2
				в точке O(0, 0)
	0

непрерывна в начале координат (см. пример 6.5). В других точках она непрерывна как элементарная функция. Таким образом, эта функция непрерывна во всей плоскости R2.

Определение 6.11. Точка, в которой функция не определена или определена, но не является непрерывной, называется точкой разрыва функции.

Пример 6.7. Для функции

1

z = 9x2 − 4y2

точки разрыва образуют множество точек плоскости Oxy, определяемое равенством 9x2 − 4y2 = 0, т.е. две прямые y = ±3x/2.

Приведенное выше определение описывает непрерывность функции f по совокупности переменных. Зафиксировав переменную y = y0, получим функцию ϕ(x) = f(x, y0) одной переменной x.

6.1. Функция двух переменных. Дифференциал	307

Определение 6.12. Если функция ϕ(x) = f(x, y0) непрерывна в точке x0, то говорят, что функция f(x, y) непрерывна в точке (x0, y0)

по переменной x. Аналогично вводится понятие непрерывности функции f в точке (x0, y0) по переменной y.

Будем придавать переменным x и y такие приращения x и y, чтобы точка M(x0 + x, y0 + y) принадлежала области определения функции z = f(x, y).

Определение 6.13. Частными приращениями функции z = = f(x, y) по переменным x и y в точке M0(x0, y0) называются соответственно величины

xz = f(x0 + x, y0) − f(x0, y0), yz = f(x0, y0 + y) − f(x0, y0).

Определение 6.14. Полным приращением функции z = f(x, y)

в точке M0(x0, y0) называется выражение

z = f(x0 + x, y0 + y) − f(x0, y0).

Перефразируем определение непрерывности функции на «языке приращений».

Определение 6.15. Функция z = f(x, y) называется непрерывной в точке M0(x0, y0), если ее полное приращение есть величина бесконечно малая, когда приращения независимых переменных стремятся к нулю, т.е.

lim z = 0.

x→0 y→0

Непрерывность функции f(x, y) по одной из переменных (x или y) в точке M0(x0, y0) означает справедливость одного из следующих равенств:

lim	xz = 0,	lim	yz = 0.
x→0		y→0

Замечание 6.2. Из непрерывности функции z = f(x, y) в точке M0(x0, y0) следует ее непрерывность по каждой из переменных x и y

308 Глава 6. Дифференцирование функций двух переменных

в этой точке. Обратное утверждение, вообще говоря, неверно. В этом несложно убедиться на примере функции

		xy	при x2 + y2 = 0,
z =
		x2 + y2
	0		в точке O(0, 0)
(см. пример 6.4).

6.1.4. Частные производные

Определение 6.16. Рассмотрим функцию двух переменных z = f(x, y), определенную в некоторой окрестности точки M0(x0, y0). Зафиксировав переменную y = y0, получим функцию одной переменной ϕ(x) = f(x, y0). Если функция ϕ(x) дифференцируема в точке x = x0, т.е. существует конечный предел

lim	ϕ(x0 +	x) − ϕ(x0)	=
		x
x→0
		= lim		xz	=	lim	f(x0 +	x, y0) − f(x0, y0)	,
				x				x
			x→0			x→0

то этот предел называется частной производной функции z = f(x, y) по переменной x в точке M0(x0, y0) и обозначается:

∂x∂z (x0, y0), ∂f∂x (x0, y0), zx(x0, y0), fx(x0, y0),

или короче:

∂x∂z (M0), ∂f∂x (M0), zx(M0), fx(M0).

Аналогично определяется частная производная по переменной y:

∂y∂z (x0, y0) = ∂f∂y (x0, y0) = zy(x0, y0) = fy(x0, y0) =

= lim	yz	=	lim	f(x0, y0 +	y) − f(x0, y0)	.
	y
y→0			y→0		y

6.1. Функция двух переменных. Дифференциал	309

Замечание 6.3. Из определения следует, что частную производную функции двух переменных следует вычислять как обычную производную функции одной переменной, считая вторую переменную постоянной.

Пример 6.8. Найти частные производные функции

z= x3y2 + 2x ln y + xy.

Ре ш е н и е. При нахождении частной производной функции z по x считаем переменную y постоянной:

∂x∂z = 3x2y2 + 2 ln y + yxy−1.

Вычисляя производную z по y, считаем постоянной переменную x:

∂y∂z = 2x3y + 2 xy + xy ln x.

На поверхности, являющейся графиком функции z = f(x, y), выберем точку P0(x0, y0, z0) (рис. 6.6).

z

z0 z = f(x, y)

P0

Oy0

y

x0

α

x

Рис. 6.6