Е. А. Ровба - Высшая математика

260	Глава 5. Теория интегрирования

5.3. Определенный интеграл

5.3.1.Задача о вычислении площади криволинейной трапеции

Пусть на отрезке [a, b] задана непрерывная неотрицательная функция y = f(x) (рис. 5.2).

y								C
f(ξk)					y = f(x)
	D
	A							B
O	a	x1	x2	xk−1	xk	xn−1	b	x
				Рис. 5.2

Рассмотрим фигуру ABCD, ограниченную графиком функции y = f(x), прямыми x = a, x = b и осью Ox. Ее называют криволинейной трапецией. Поставим задачу об определении и вычислении площади данной криволинейной трапеции. С этой целью разобьем отрезок [a, b] на n произвольных частей точками:

a = x0 < x1 < x2 < . . . < xk−1 < xk < . . . < xn = b.

Через точки xk, k = 0, 1, . . . , n, проведем прямые, параллельные оси Oy. Криволинейная трапеция ABCD разобьется на n частичных криволинейных трапеций. Теперь на каждом из отрезков [x0, x1],

[x1, x2], . . . , [xn−1, xn] произвольно выберем по точке ξk, ξk [xk−1, xk], k = 1, 2, . . . , n, и вычислим значения f(ξk), k = 1, 2, . . . , n. Затем каждую частичную криволинейную трапецию заменим прямоугольниками с высотами f(ξ1), f(ξ2), . . . , f(ξn). Тогда можно полагать, что для площади S криволинейной трапеции ABCD справедливо соотношение

n

S ≈ f(ξk)(xk − xk−1).

k=1

5.3. Определенный интеграл	261

Естественно предположить, что это приближенное равенство будет тем точнее, чем меньше

max (xk − xk−1) = λ,

1 k n

поэтому площадь криволинейной трапеции S определяют следующим

образом:

n

lim f(ξk)(xk − xk−1). (5.19)

λ→0

k=1

Число S, равное пределу (5.19), является определенным интегралом от функции f по отрезку [a, b] и обозначается

*b

f(x) dx.

a

Таким образом, задача о вычислении площади криволинейной трапеции приводит к понятию определенного интеграла.

Теперь более строго определим понятие определенного интеграла.

Пусть функция f определена на отрезке [a, b]. Разобьем этот отрезок на n частей точками xk, k = 0, 1, . . . , n:

a = x0 < x1 < x2 < . . . < xk−1 < xk < . . . < xn = b.

Введем следующие обозначения:
xk = xk − xk−1, k = 1, 2, . . . , n, λ =	max	xk.
	1 k n

В каждом из частичных отрезков [xk−1, xk] произвольно выберем по точке ξk, ξk [xk−1, xk], k = 1, 2, . . . , n. Рассмотрим следующую сумму:

n

σ =	f(ξk)Δxk.	(5.20)
	k=1

Сумма (5.20) называется интегральной суммой для функции f на отрезке [a, b].

a

В этом случае функция f(x) называется интегрируемой на отрезке [a, b], а числа a и b — соответственно нижним и верхним пределами интегрирования.

Итак,

k=1

Тогда этот предел называется определенным интегралом от функции f(x) на отрезке [a, b] и обозначается

*b

262	Глава 5. Теория интегрирования

Определение 5.6. Пусть интегральная сумма (5.20) имеет предел A при λ → 0, который не зависит ни от способа разбиения отрезка [a, b], ни от выбора точек ξk, т.е.

n

lim f(ξk)Δxk = A.

λ→0

k=1

Другими словами, для произвольного положительного числа ε можно найти такое число δ, что для любого разбиения отрезка [a, b] точками xk, k = 1, 2, . . . , n, удовлетворяющего условию λ < δ, при любом выборе точек ξk [xk−1, xk] выполняется неравенство

|σ − A| =		n	f(ξk)Δxk − A	< ε.

f(x) dx.

(5.21)

b		n
a
			f(ξ )Δx .
f(x) dx		lim
*	=	λ→0 k=1	k k

Геометрический смысл определенного интеграла состоит в том, что определенный интеграл от неотрицательной функции численно равен площади криволинейной трапеции (рис. 5.3).

Из определения интеграла следует, что значение интеграла (5.21) есть число, зависящее от вида функции f, пределов интегрирования a и b и не зависящее от выбора обозначения переменной интегрирования.

Позже мы установим связи между определенным и неопределенным интегралами функции f.

5.3. Определенный интеграл

263

y

y = f(x)

O	a	b x
		Рис. 5.3

Пример 5.19. Найти определенный интеграл		*ab	1 dx.
Р е ш е н и е. Построим для функции f(x) =		1 на отрезке [a, b]
интегральную сумму
n	n
σ = f(ξk)Δxk =	xk.
k=1	k=1

Учитывая, что xk = xk − xk−1, имеем:

σ= (x1 − x0) + (x2 − x1) + (x3 − x2) + . . . + (xn−1 − xn−2)+

+(xn − xn−1) = b − a.

*b

Слeдовательно, 1 dx = lim σ = b − a.

λ→0

a

5.3.2. Свойства определенного интеграла

При рассмотрении свойств определенных интегралов предполагаем, что интегралы, входящие в доказательства, существуют.

1. По определению полагаем, что

*a f(x) dx = 0,

*a f(x) dx = − *b f(x) dx.

a

b

a

264	Глава 5.	Теория интегрирования
Первое равенство обусловливается тем, что при составлении
интегральных сумм в данном случае каждое из		xk будет равно нулю
и σ = 0.
Второе равенство объясняется тем, что когда разбиение произво-
дится от b к a, то разности	xk = xk − xk−1 будут отличаться знаком

от таких же разностей в случае разбиения отрезка от a к b.

2. Постоянный множитель можно выносить за знак определенного интеграла, т.е.

*b *b

kf(x) dx = k f(x) dx, k = const .

aa

До к а з а т е л ь с т в о. Для функции kf(x) построим интегральную сумму на отрезке [a, b]:

n

δ = kf(ξx)Δxk.

k=1

Очевидно, что

n	n
kf(ξx)Δxk = k	f(ξx)Δxk.
k=1	k=1

Тогда, пользуясь определением определенного интеграла, имеем:

b	n	n
a
			f(ξ )Δx		=
*	f(x) dx = lim	lim k
	λ→0 k=1 kf(ξx)Δxk =	λ→0 k=1	k	k
		n				b
					a
	= k	lim		= k *
		λ→0 k=1 f(ξk)Δxk				f(x) dx.

3. Определенный интеграл от суммы функций равен сумме их интегралов, т.е.

*b (g(x) + f(x)) dx = *b f(x) dx + *b g(x) dx.

(5.22)

a

a

a

5.3. Определенный интеграл	265

Д о к а з а т е л ь с т в о. Действительно, построив интегральную сумму для f + g на отрезке [a, b], имеем:

n	n	n
σf+g = (f(ξk) + g(ξk))Δxk =	f(ξk)Δxk+	g(ξk)Δxk = σf +σg.
k=1	k=1	k=1
После предельного перехода при λ → 0 получим равенство (5.22).
4. Если c (a, b), то
*ab f(x) dx = *ac f(x) dx + *c b f(x) dx.			(5.23)

Д о к а з а т е л ь с т в о. Рассмотрим произвольное разбиение отрезка [a, b] такое, чтобы точка c была точкой разбиения, например c = xm. Будем иметь:

n	m	n
		k=
f(ξk)Δxk =	f(ξk)Δxk +	f(ξk)Δxk.
k=1	k=1	m+1

Переходя в этом равенстве к пределу, получаем соотношение (5.23). Отметим, что равенство (5.23) остается справедливым и в случае

c (a, b). При этом необходимо потребовать существования соответствующих интегралов.

5.3.3.Оценки интегралов. Теорема о среднем значении

Теперь рассмотрим некоторые свойства определенных интегралов, описываемые с помощью неравенств.

1. Если f(x) 0 на отрезке [a, b], то

*b

f(x) dx 0.

a

266	Глава 5. Теория интегрирования
Д о к а з а т е л ь с т в о. Действительно, интегральная сумма
	n
σ =
	f(ξk)Δxk

k=1

такой функции является неотрицательной, так как f(ξk) 0, xk 0, когда k = 1, 2, . . . , n. Следовательно, предел интегральных сумм

*b

при λ → 0, т.е. f(x) dx, также будет неотрицательным.

a

2. Если для функций f и g на отрезке [a, b] справедливо неравенство f(x) g(x), то

*b *b

f(x) dx g(x) dx.

aa

До к а з а т е л ь с т в о. Рассмотрим функцию g(x) − f(x). Очевидно, что g(x) − f(x) 0, x [a, b]. В соответствии с предыдущим

свойством

*b

(g(x) − f(x)) dx 0.

a

Остается применить свойство 3 из п. 5.3.2.
3. Для любой интегрируемой на отрезке [a, b] функции f				имеет
место неравенство			*
*				(5.24)
	b f(x) dx		b |f(x)| dx.

aa

До к а з а т е л ь с т в о. Действительно, для всех x [a, b] выполняется двойное неравенство: −|f(x)| f(x) |f(x)|. Следовательно,

*b *b *b

− |f(x)| dx f(x) dx |f(x)| dx,

a a a

т.е. справедливо неравенство (5.24).

5.3.	Определенный интеграл			267
4.	Если m f(x) M, x [a, b], то
	m(b − a) *ab f(x) dx M(b − a).			(5.25)
	Д о к а з а т е л ь с т в о. Воспользовавшись		свойством 2,	будем
иметь:
	*ab m dx *ab f(x) dx *ab M dx,
или	m *ab	dx *ab f(x) dx M *ab
			dx.

*b

Поскольку dx = b − a, то получим неравенства (5.25).

a

Теорема 5.4 (о среднем значении определенного интеграла). Если функция f непрерывна на отрезке [a, b], то существует точка c [a, b] (рис. 5.4) такая, что

*b

	f(x) dx = f(c)(b − a).			(5.26)
	a
y
f(c)
O	a	c	b	x
		Рис. 5.4

268	Глава 5. Теория интегрирования

Д о к а з а т е л ь с т в о. Так как функция f непрерывна на отрезке [a, b], то, согласно второй теореме Вейерштрасса, она достигает своего наименьшего и наибольшего значений, т.е.

x [a, b] m f(x) M,

где
m = min f(x);			M = max f(x).
x [a,b]			x [a,b]
В соответствии с предыдущим свойством
m(b − a) *ab f(x) dx M(b − a).
Отсюда
		b
1		*a	f(x) dx M.
m
	b − a

Теперь, воспользовавшись второй теоремой Больцано — Коши, получим, что существует точка c [a, b] такая, что

		b
f(c) =	1	*a	f(x) dx,
	b − a

т.е. справедлива формула (5.26).

Выясним геометрический смысл теоремы 5.4. Если предположить, что f(x) 0 x [a, b], то интеграл слева в формуле (5.26) есть площадь криволинейной трапеции, ограниченной графиком функции y = f(x), прямыми x = a, x = b и осью Ox.

В правой части равенства (5.26) стоит площадь прямоугольника с основанием b−a и высотой f(c), т.е. площадь криволинейной трапеции равна площади некоторого прямоугольника (рис. 5.4).

5.3. Определенный интеграл	269

5.3.4.Необходимое условие интегрируемости функции

Теорема 5.5. Если функция f интегрируема на отрезке [a, b], то она ограничена на этом отрезке.

Д о к а з а т е л ь с т в о. Будем доказывать методом от противного. Предположим, что функция f интегрируема на отрезке [a, b], но является неограниченной на этом отрезке. Тогда при любом разбиении отрезка [a, b] точками a = x0 < x1 < . . . < xn = b функция будет неограниченной хотя бы на одном отрезке, например [xj−1, xj ]. Следовательно, можно выбрать точку ξj [xj−1, xj ] и точки

ξk [xk−1, xk], k = 1, 2, . . . , j − 1, j + 1, . . . , n,

так, чтобы величина f(ξj )Δxj , а с ней и вся сума

n

σ = f(ξk)Δxk

k=1

были сколь угодно большими.

Таким образом, не будет существовать конечного предела интегральных сумм, т.е. функция f не является интегрируемой на отрезке [a, b]. Получили противоречие. Следовательно, наше предположение неверно и интегрируемая функция всегда ограничена на отрез-

ке [a, b].
Указанное необходимое условие не является достаточным.
Пример 5.20. Показать, что функция Дирихлe
D(x) =	0,	если x иррациональное,	(5.27)
		если x рациональное,
	1,

ограничена, но не интегрируема на любом отрезке [a, b].

Р е ш е н и е. По определению |D(x)| 1 при любых x, т.е. функция Дирихле ограничена на любом отрезке [a, b]. Покажем, что она не является интегрируемой.