fizika2 / Колеб
.pdfIX. Колебания и волны
1. Колебанияминазывается точное или приближенное повторение какого-либо процесса с течением времени (обычно повторение бывает многократным).
В зависимости от физической природы повторяющегося процесса различают: а) Механические колебания — повторяющийся процесс представляет собой механическое
движение:
б) Электромагнитные колебания — повторяющийся процесс представляет собой изменение силы тока, напряжения, заряда конденсатора в электрической цепи, вектора E (напряженности
электрического поля), вектора B (индукции магнитного поля).
в) Другие колебания — повторяться могут и другие процессы, например, изменение температуры и пр.
Колеблющимися величинами называются физические величины, описывающие процесс, повторяющийся при колебаниях, (или систему, с которой этот процесс происходит) и сами испытывающие повторяющиеся изменения.
В механических колебаниях колеблющимися величинами могут быть: координата, скорость, ускорение и другие величины, описывающие механическое движение.
В электромагнитных колебаниях колеблющимися величинами могут быть: сила тока, напряжение, заряд конденсатора,
E , B и другие величины, описывающие электрический ток и электромагнитное
поле.
Периодическими называются колебания, при которых происходит точное повторение процесса через равные промежутки времени.
Периодом периодических колебаний называется минимальное время, через которое система возвращается в первоначальное
|
|
состояние и начинается повторение процесса. |
x — колеблющаяся величина (например, сила тока в цепи, |
||||
Процесс, происходящий за один период колебаний, |
|
или координата точки) |
|||||
называется «одно полное колебание». |
|
t — время |
|||||
Частотой периодических колебаний называется число полных |
|
||||||
колебаний за единицу времени (1 секунду) — это может |
|
|
|||||
быть не целое число. |
|
|
|||||
Т — период колебаний |
|||||||
|
|
|
|
|
|||
|
ν = |
1 |
|
Период — время одного полного колебания. |
|||
|
|
|
|
||||
|
|
|
Чтобы вычислить частоту ν, надо разделить 1 секунду на время Т одного колебания (в секундах) |
||||
|
T |
||||||
|
|
и получится число колебаний за 1 секунду. |
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
2. Гармоническими колебанияминазываются колебания, в которых колеблющиеся величины зависят от времени
|
|
|
|
Колеблющаяся величина |
|
по закону синуса, или косинуса. |
Начальная фаза — значение фазы ϕ в |
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
(координата точки, сила |
|
x = A cos(ωt + ϕ0) |
|
|
|
|
|
момент t = 0. |
||||||||||
|
|
|
|
тока, напряженность поля, |
|
|
Изменяя значение ϕ0 , можно получать |
|||||||||||||||
|
|
|
|
или иная величина) |
|
|
|
|
различные значения x в момент t = 0. |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
Амплитуда колебаний — максимальное отклонение |
Фаза колебаний — аргумент функции синус или косинус |
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
в уравнении зависимости колеблющейся |
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
колеблющейся величины от |
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
величины от времени. |
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
среднего за период значения. |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
ϕ = ωt + ϕ0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
Если среднее за период значение колеблющейся величины |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
равно 0, то амплитуда равна максимальному значению |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
колеблющейся величины: А = хm |
|
|
Циклическая частота колебаний — скорость изменения |
|||||||||||||||||
|
|
|
x — колеблющаяся величина |
|
|
ω= ∆ϕ |
|
фазы с течением времени. |
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Изменение фазы, произошедшее за |
||||||||||
|
|
А |
|
|
|
|
t — время |
∆t |
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
время ∆t. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
-А |
|
|
|
|
|
|
Если время ∆t равно периоду колебаний Т, то изменение фазы ∆ϕ за это время (Т) |
|||||||||||||
Значение |
х в |
|
|
|
|
|
должно быть равно 2π (т. к. функции sin и cos повторяют свои значения при |
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
Т — период колебаний |
|
изменении аргумента (ϕ) на 2π, а через время T значение колеблющейся величины |
|||||||||||||||||||
момент t = 0 |
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
как раз должно повториться). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
определяется |
|
|
|
|
|
2π |
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
Таким образом, при ∆t = Т будет ∆ϕ = 2π ω= ∆ϕ = |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
величиной ϕ0. |
|
|
|
|
ω= |
2π |
= 2πν |
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∆t |
|
T |
|
T |
|
|||||
Если колебания гармонические, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
т. е. колеблющаяся величина x равна x = A cos(ωt + ϕ0), |
|
|
|
|
|
|
подставлено 1/Т = ν |
|||||||||||||||
то вторая производная колеблющейся величины по времени x′′ |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
Если x — координата точки, движущейся вдоль оси ОХ , то: |
||||||||||||||||||||||
будет пропорциональна самой колеблющейся величине (x): |
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
x′(t) = −ωA sin(ωt + ϕ0) |
x′(t) = vx — проекция скорости |
vmax = ωA |
— максимальная |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
скорость. |
|||
|
x′′(t) = −ω2 x |
x′′(t) = −ω2A cos(ωt + ϕ0) = −ω2 x |
x′′(t) = ax — проекция ускорения |
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
amax = ω2A |
- максимальное |
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ускорение. |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Это уравнение называется дифференциальным уравнением гармонических колебаний. Если какая-либо физическая величина х подчиняется уравнению такого вида, то можно утверждать, что она зависит от времени по гармоническому закону (sin и cos), а процесс, который описывает величина х, представляет собой гармонические колебания.
3. Простейшие колебательные системы |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
k |
|
|
|
|
|
Пружинный маятник |
Математический маятник |
|
|
Колебательный контур |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
m |
|
|
|
|
|
m |
|
|
|
|
k |
|
|
|
|
|
|
l |
|
|
|
l |
|
|
T = 2π |
LC |
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
T |
|
= 2π |
|
|
|
|
|
|
|
T = 2π |
Длина |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
k |
Масса |
|
|
|
|
|
Период свободных |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
колеблю- |
m |
Период |
|
|
|
|
g |
нити |
|
|
|
электромагнитных |
С |
|
|
|
|
L |
|||||||||||
Период |
|
|
|
|
Жесткость |
щегося |
|
свободных |
|
Ускорение свободного |
|
|
колебаний |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
свободных |
|
пружины |
груза |
|
|
колебаний |
|
|
|
Индуктивность |
Электроемкость |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
колебаний |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
падения — ускорение, создаваемое |
qmax2 |
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
в отсутствие трения |
|
|
|
|
силой тяжести. |
|
|
|
катушки |
|
конденсатора |
|
|||||||||||||||||
kx |
2 |
|
mv |
2 |
|
|
|
kA |
2 |
|
|
2 |
Если кроме силы тяжести на маятник действуют |
Wкондэл |
+Wкатмагн =const |
|
|
2C |
|
|
||||||||||||||||||
|
+ |
|
= const = |
|
= |
mvmax |
другие постоянные активные силы, то вместо g в |
CU |
|
|
LI 2 |
|
|
|
|
LImax2 |
||||||||||||||||||||||
2 |
|
|
2 |
|
2 |
|
|
2 |
формулу подставляют модуль ускорения, |
2 |
+ |
= const = |
CUmax2 |
= |
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
создаваемого суммой всех активных сил: |
|
2 |
|
2 |
|
2 |
|
|
2 |
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
x = ∆l — удлинение пружины |
|
|
|
r |
= |
∑Fакт |
(активными называются |
q |
2 |
U- напряжение на конденсаторе q- его заряд |
||||||||||||||||||||||||||||
А = xmax = ∆lmax — амплитуда колебаний |
aакт |
|
m |
|
|
I – сила тока в катушке, |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
(максимальное удлинение пружины) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2C |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
силы, имеющие ненулевой |
|
|
|
qmax, Umax и Imax – максимальные (ампли- |
|||||||||||||||||||||||||||||||||
vmax — максимальная скорость груза |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
вращающий момент |
|
T = 2π |
l |
|
|
тудные) значения заряда, напряжения и силы |
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
тока. |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
vx = x′(t) = xmω sinωt |
относительно точки |
|
aакт |
|
|
|
|
I = −q′(t) = qmω sinωt |
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
x ω = v |
max |
|
|
T |
3T |
|
|
|
подвеса маятника) |
|
|
|
|
|
|
qmω= Imax |
T |
3T |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
m |
|
|
|
|
T |
|
t |
|
|
|
Маятник в лифте: |
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
4 |
T |
|
t |
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
T |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
−vmax |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
−Imax |
T |
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
arлифта |
|
|
|
|
arлифта |
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
x = xm cosωt |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
q = qm cosωt |
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
A = xmax |
|
|
|
|
|
|
|
t |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
qmax |
T |
|
|
|
|
t |
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
T = 2π |
|
|
l |
|
|
|
|
|
l |
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
T |
T 3T |
|
T |
|
|
|
|
|
T = |
2π |
|
|
|
|
|
|
3T T |
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
g +aлиф |
|
g |
−aлиф |
|
|
|
−qmax |
T |
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
−x |
max |
|
4 |
2 |
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
4 |
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
если aлифта - вверх |
|
если aлифта - вниз |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
v = vmax в момент, когда x = 0 |
|
|
|
I = ±I max в момент, когда q = 0 |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
x = ±А в момент, когда v = 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
q = ±qmax в момент, когда I = 0 |
|
|
||||||||||||||||||||
4. Волна— распространение колебательного процесса в пространстве с течением времени. (Если в какой-то области |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
пространства происходит колебательный процесс, то это может породить аналогичные колебания в соседних областях пространства. |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
Например, если какая-либо точка упругой среды совершает механические колебания, то при этом она, как правило, заставляет колебаться |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Пример: на гладкой горизонтальной поверхности лежит шнур |
|
|
|
соседние, прилегающие к ней точки среды. Те, в свою очередь, |
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
передают колебательное движение следующим точкам и т. д. |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
и в некоторый момент его крайнюю точку a начинают двигать |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
Таким образом, в колебательный процесс вовлекаются все |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
вдоль оси ОХ по закону x = Asinωt |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
новые и новые области пространства. Другой пример – |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
X |
|
r |
|
|
|
|
|
ВИД СВЕРХУ: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
электромагнитные колебания. Если в какой-то точке |
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
Точка а начинает двигаться, |
|
пространства (эту точку назовем источником) происходят |
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
vm |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
О |
a |
|
b |
|
|
c |
|
|
|
e |
|
t = 0 |
при этом ее скорость меняется |
колебания индукции магнитного поля B , то это порождает в |
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
d |
|
|
|
|
по закону vx = x′= Aωcosωt , |
окружающем пространстве колебания напряженности |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
X |
v = 0 |
|
|
vrm |
|
|
|
|
|
|
так что в момент t = 0 скорость |
электрического поля E , которые, в свою очередь, порождают |
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
максимальна vm = Aω. |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
А |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
T |
К моменту t = Т/4 точка а сме- |
новые колебания B и т. д. |
Электромагнитные колебания |
|
|
|||||||||||||||||||
О |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
t = |
щается в положение х = А. Со- |
распространяются от источника, т. е. начинают происходить во |
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
vволн |
|
4 |
||||||||||||||||||||||||||
X |
|
|
|
|
|
|
|
vrm |
|
|
|
седние точки шнура движутся |
все новых и новых областях пространства) |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
v = 0 |
|
|
|
|
|
|
за ней, повторяют ее движение, |
Фронт волны — поверхность отделяющая область |
|
|
|||||||||||||||||||||||||
А |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
T |
заставляя двигаться следующие |
пространства, в которой уже начались колебания, от |
|
|
||||||||||||||||||||
О |
|
−vm |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
t = |
точки. В момент t = Т/4 волна |
области, где колебания еще не происходят. Фронт волны |
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
дошла до точки b и она начала |
перемещается по мере распространения волны. (В |
|
|
|
||||||||||||||||||||||
X |
|
|
|
|
|
|
|
v = 0 |
|
r |
|
|
|
|
двигаться (ее состояние в мо- |
рассмотренном примере со шнуром фронтом волны в момент |
||||||||||||||||||||||
А |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
vm |
|
|
|
t = 3T |
мент t = Т/4 совпадает с состоя- |
t = Т/4 является точка b, в момент t = Т/2 – точка с, и т. д.) |
|
|
||||||||||||||||||||
О |
|
|
|
|
|
−vrm |
|
|
|
|
|
нием точки а в момент t = 0) В |
|
|
||||||||||||||||||||||||
−А |
v = 0 |
|
|
|
|
|
|
|
4 |
дальнейшем все новые и новые |
Скорость распространения волны ( vволн ) — скорость |
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
vrm |
|
|
|
|
|
v = 0 |
|
vrm |
|
точки будут вовлекаться в ко- |
движения волнового фронта, а также любой другой |
|
|
|||||||||||||||||||||||
А |
|
|
|
|
|
|
|
|
лебательное движение, анало- |
поверхности постоянной фазы (любого «горба» волны, |
||||||||||||||||||||||||||||
О |
|
|
|
|
|
|
|
−vrm |
|
|
|
|
t = T |
гичное движению источника – |
или «впадины»). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
−А |
|
|
|
v = 0 |
|
|
|
|
|
|
точки a. |
|
|
|
|
|
|
Механическая волна называется поперечной, если |
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
направление движения колеблющихся точек в ней |
|
|
|
|
|||||||||||
перпендикулярно направлению vrволн . Если же колеблющиеся точки движутся параллельно vволн , то волна называется продольной. |
|
|
(Рассмотренная в примере волна в шнуре – поперечная, а звук – продольная волна.) Электромагнитные волны являются поперечными, т. к. |
|||||||||||
направление колеблющихся векторов E и Br |
в этих волнах перпенди- |
|
|
|
|
||||||
Длина волны (λ) — минимальное расстояние между точка- |
|||||||||||
х |
λ |
|
vволн |
кулярно vволн . |
ми, колебания в которых происходят с разностью фаз 2π. |
||||||
колеблющаяся |
|
|
|
|
|
|
r – расстояние до |
(При такой разности фаз колеблющиеся величины в этих точках |
|||
|
|
|
|
|
|
имеют одно и то же значение, так что λ — расстояние между |
|||||
величина |
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
источника |
соседними «горбами», или соседними «впадинами» волны) |
|||
|
|
|
λ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x(r, t) = A cos(ωt − (2π/λ)r + ϕ0) |
|
λ = vволн Т = vволн / ν |
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|