5. Описание случайных погрешностей с помощью функций распределения. Моменты случайных погрешностей.

МОМЕНТЫ СЛУЧАЙНЫХ ПОГРЕШНОСТЕЙ (2ая ЧАСТЬ ВОПРОСА):

6. Нормальный закон распределения вероятности случайной составляющей погрешности.

Интегральный закон нормального распределения выражается следующим уравнением:

Широкое применение закона нормального распределения объясняется центральной предельной теоремой. Из этой теоремы следует, что если случайная величина X представляет сумму очень большого числа взаимно независимых случайных величин 1 x , 2 x ... n x , влияние каждой из которых на всю сумму незначительно, то независимо от того, каким законам расселения подчиняются слагаемые 1 x , 2 x ... n x , сама величина X имеет распределение вероятностей, близкое к нормальному, и тем точнее, чем больше число слагаемых. 43 2. Равномерное распределение Это распределение случайной величины, когда она с одинаковой вероятностью может принимать любое значение в заданных пределах. Плотность вероятности равномерного распределения имеет вид:

где a и b – параметры закона, определяющие пределы измерения случайной величины X. Интегральная функция F(x) равномерного распределения имеет вид:

Закону равномерного распределения подчиняются погрешности от трения в опорах приборов, неисключенные остатки систематических погрешностей, погрешности дискретности в цифровых приборах, погрешности параметров изделий, отобранных в более узких пределах, по сравнению с технологическим допуском, погрешности, возникающие за счет округления величин, полученных при измерении на приборах.

3. Треугольный закон распределения (закон Симпсона) Плотность вероятности этого закона имеет вид:

где a и b – параметры закона, определяющие пределы измерения случайной величины X. Интегральная функция F(x) треугольного распределения имеет вид:

4. Арксинусоидальный закон распределения Плотность вероятности этого закона имеет вид:

где a – параметр распределения. Интегральная функция F(x) арксинусоидального распределения 45 выражается следующим уравнением

7. Оценка числовых характеристик нормального закона распределения.

2.6 Нормальное распределение и его числовые характеристики

Самым распространенным в природе, в экономике, социологии и других науках является нормальное распределение непрерывной случайной величины. С помощью нормального распределения можно описать плотность вероятности непрерывных случайных величин в тех случаях, когда отклонения от средней случайной величины появляются за счет различных явлений, воздействующих независимо одно от другого, но примерно в одинаковой степени, причем, чем больше суммируется таких случайных величин, тем результат точнее. Все эти явления не зависят друг от друга, но, воздействуя на процесс изготовления примерно с одинаковой силой, обуславливают то, что закон, по которому изменяется непрерывная случайная величина (размер конкретной детали), описывается нормальным распределением.

Самое точное изготовление детали с заданными размерами – “эталон” – будет соответствовать математическому ожиданию m, разброс фактических значений случайной величины размера детали будет соответствовать понятию дисперсии (точнее – среднеквадратическому отклонению).

Случайная величина с нормальным распределением существует в интервале (-; ) и описывается законами:

– плотности вероятности f(x), называемой «кривая Гаусса» (рис. 15а)

, (2.29)

где  и m – параметры нормального распределения, причем  >0,

– функцией распределения F(x) (рис. 15б):

. (2.30)

Подстановкой  интеграл приводится к виду:

.

Поэтому для удобства вводится нечетная функция  , называемая функцией Лапласа. Функцию Лапласа называют также “интегралом вероятности” или “функцией ошибок”. Очевидно, что Ф(0)=0, Ф(+)=1/2, Ф(– x)= – Ф(x).

а) б)

Рис. 15

Математическое ожидание МХ случайной величины X, распределенной нормально, равно

, (2.31)

а дисперсия равна

, (2.32)

поэтому параметр  – есть среднеквадратическое отклонение.

Случайную величину X, распределенную нормально с параметрами  и m, обозначают XN(m,).

На практике для вычисления значений функции Лапласа используются специально составленные таблицы, которые приводятся в справочной литературе (Таблица 3 Приложений).

Вероятность попадания в интервал НСВ, распределенной по формульному закону, можно найти с помощью функции Лапласа  по формуле:

Величины параметров нормального распределения СВ X непосредственно влияют на форму кривой  : при она принимает свое максимальное значение, равное . Поэтому с максимальная ордината и кривая становится более пологой, приближаясь к осиОх.

Величина математического ожидания m влияет на расположение кривой  относительно оси ординат: при m кривая смещается  .

Поэтому с помощью подстановки  можно получить функцию плотности вероятности, график которой симметричен относительно осиОу. Такая кривая соответствует нормированному закону нормального распределения с параметрами  и , т.е.N(0,1). Его график имеет вид:

Величину XN(0,1) иногда называют стандартно нормальной. Ее функция распределения имеет вид  (интеграл Лапласа, табл. 3 Приложений).