Лекция №13 Нечеткая логика. Обработка нечетких данных

В сочетании слов "нечеткий" и "логика" есть что-то необычное. Логика в обычном смысле слова есть представление механизмов мышления, то, что никогда не может быть нечетким, но всегда строгим и формальным. Однако математики, исследовавшие эти механизмы мышления, заметили, что в действительности существует не одна логика (например, булева), а столько, сколько мы пожелаем, потому что все определяется выбором соответствующей системы аксиом. Конечно, как только аксиомы выбраны, все утверждения, построенные на их основе, должны быть строго, без противоречий увязаны друг с другом согласно правилам, установленным в этой системе аксиом.

Человеческое мышление – это совмещение интуиции и строгости, которое, с одной стороны, рассматривает мир в целом или по аналогии, а с другой стороны – логически и последовательно и, значит, представляет собой нечеткий механизм. Законы мышления, которые мы захотели бы включить в программы компьютеров, должны быть обязательно формальными; законы мышления, проявляемые в диалоге человека с человеком – нечеткие. Можем ли мы поэтому утверждать, что нечеткая логика может быть хорошо приспособлена к человеческому диалогу? Да – если математическое обеспечение, разработанное с учетом нечеткой логики, станет операционным и сможет быть технически реализовано, то человеко-машинное общение станет намного более удобным, быстрым и лучше приспособленным к решению проблем.

Термин "нечеткая логика" используется обычно в двух различных значениях. В узком смысле, нечеткая логика – это логическое исчисление, являющееся расширением многозначной логики. В ее широком смысле, который сегодня является преобладающим в использовании, нечеткая логика равнозначна теории нечетких множеств. С этой точки зрения, нечеткая логика в узком смысле является разделом нечеткой логики в широком смысле.

Определение. Любая нечеткая переменная характеризуется тройкой

где – название переменной,– универсальное множество,– нечеткое подмножество множества, представляющее собой нечеткое ограничение на значение переменной, обусловленное.

Используя аналогию с саквояжем, нечеткую переменную можно уподобить саквояжу с ярлыком, имеющим "мягкие" стенки. Тогда – надпись на ярлыке (название саквояжа),– список предметов, которые в принципе можно поместить в саквояж, а– часть этого списка, где для каждого предметауказано число, характеризующее степень легкости, с которой предмет можно поместить в саквояж.

Рассмотрим теперь различные подходы к определению основных операций над нечеткими переменными, а именно конъюнкции, дизъюнкции и отрицания. Данные операции являются основными для нечеткой логики в том смысле, что все ее конструкции основываются на этих операциях. В настоящее время в нечеткой логике в качестве операций конъюнкции и дизъюнкции широко используют -нормы и-конормы, пришедшие внечеткую логику из теории вероятностных метрических пространств. Они достаточно хорошо изучены и лежат в основе многих формальных построений нечеткой логики. В то же время расширение области приложений нечеткой логики и возможностей нечеткого моделирования вызывает необходимость обобщения этих операций. Одно направление связано с ослаблением их аксиоматики с целью расширения инструментария нечеткого моделирования. Другое направление обобщения операций конъюнкции и дизъюнкции нечеткой логики связано с заменой множества значений принадлежности на линейно или частично упорядоченное множество лингвистических оценок правдоподобности. Эти обобщения основных операцийнечеткой логики, с одной стороны, вызываются необходимостью разработки экспертных систем, в которых значения истинности фактов и правил описываются экспертом или пользователем непосредственно в лингвистической шкале и носят качественный характер. С другой стороны, такие обобщения вызываются смещением направления активного развития нечеткой логики от моделирования количественных процессов, поддающихся измерению, к моделированию процессов мышления человека, где восприятие мира и принятие решений происходит на основе гранулирования информации и вычисления словами.

Естественным обобщением иволютивных операций отрицания нечеткой логики являются неиволютивные отрицания. Они представляют самостоятельный интерес и рассматриваются в нечеткой и других неклассических логиках. Необходимость исследования подобных операций отрицания вызывается также введением в рассмотрение обобщенных операций конъюнкции и дизъюнкции, связанных друг с другом с помощью операции отрицания.

Операции отрицания

Пусть множество значений функций принадлежности является линейно упорядоченным множеством с наименьшим0 и наибольшим 1 элементами. Примером может служить интервал вещественных чисел, шкала лингвистических оценок (например, L={"неправдоподобно", "малоправдоподобно", "средняя правдоподобность", "большая правдоподобность", "наверняка"}, шкала балльных оценок и др.

Определение. Операцией отрицания на называется функция, удовлетворяющая следующим условиям:

(О1) ;

(O2) .

В зависимости от выполнения на дополнительных условий, рассматриваются следующие типы отрицаний:

• Строгое отрицание: ;

• Квазистрогое отрицание: ;

• Инволюция: ;

• Обычное отрицание: ;

• Слабое отрицание: .

Слабое отрицание называется также интуиционистским отрицанием. Элемент избудет называться иволютивным элементом, если, в противном случае он будет называться неиволютивным. Отрицание будет называться неиволютивным, еслисодержит неиволютивные по этому отрицанию элементы.

Элемент , удовлетворяющий условию, называется фиксированной точкой. Этот элемент будет центральным элементом (фокусом). Очевидно, что если фиксированная точка существует, то она единственна.

Отрицание называется сжимающим в точке, если выполнено условие

Отрицание называется сжимающим на , если оно сжимающее в каждой точке множества.

Отрицание называется разжимающим в точке, если выполнено условие

Отрицание называется разжимающим на , если оно является разжимающим в каждой точке множества.

Теорема Для любого отрицания любая точкаявляется либо сжимающей, либо разжимающей.

Доказательство Пусть , тогда из условия (О2) получим, откуда следует либо, либо. Аналогично, изполучаем, и, следовательно, либо, либо

Следствие Элемент является иволютивным тогда и только тогда, если он одновременно сжимающий и разжимающий.

Используя математические методы, можно доказать, что элементы, порождаемые сжимающими и разжимающими отрицаниями в точках, представляют собой спирали, соответственно "закручиваемые внутрь" или "раскручиваемые наружу". Эти спирали либо бесконечные, либо в конечном случае имеют петлю на конце, состоящую из двух элементов, которые для сжимающих отрицаний могут совпадать, образуя неподвижную точку отрицания. Спирали, порождаемые разными элементами, либо вложены друг в друга, либо совпадают, начиная с некоторого элемента.

На рис. 8.1 даны примеры сжимающего и разжимающего в точке отрицания. Элементыпредставлены вершинами соответствующего графа и упорядочены снизу вверх, в частности,. Элементы y порождаются элементамитак, чтодлярис. 8.1(А) и длярис. 8.1(Б).

Рис. 8.1. 

Рассмотрим простейшие примеры отрицаний. Во всех примерах предполагается, что содержит элементы, отличные от0 и 1.

Пример. "Все, что не истина и не ложь, является неопределенностью".

Рис. 8.2. 

где – некоторый элемент изтакой, что. Это отрицание является сжимающим, ни обычным, ни слабым, с фиксированной точкой.

Пример. "Все, что не истина, есть ложь".

Рис. 8.3. 

Это отрицание является обычным, разжимающим, квазистрогим, без фиксированной точки.

Пример. "Все, что не ложь, есть истина".

Рис. 8.4. 

Это отрицание является слабым, разжимающим, квазистрогим, без фиксированной точки.

Пример. "Все или истина, или ложь".

Рис. 8.5. 

где – некоторый элемент изтакой, что.

Это отрицание является разжимающим, ни обычным, ни слабым, без фиксированной точки. Некоторые подходы к формализации нечеткой логики, основанные на подобной интерпретации, сводят ее к двузначной, используя .

Пример. Пусть , где.

Рис. 8.6. 

Это отрицание является иволютивным. При нечетном фиксированной точкой отрицания является элемент. Мера нечеткости на этом элементе принимает максимальное значение. При четномфиксированная точка отрицания отсутствует, фокус состоит из множества, имеющих максимальную нечеткость.

Пример. "Все, что не истина, есть ложь".

Рис. 8.3. 

Это отрицание является обычным, разжимающим, квазистрогим, без фиксированной точки.

Пример. "Все, что не ложь, есть истина".

Рис. 8.4. 

Это отрицание является слабым, разжимающим, квазистрогим, без фиксированной точки.

Пример. "Все или истина, или ложь".

Рис. 8.5. 

где – некоторый элемент изтакой, что.

Это отрицание является разжимающим, ни обычным, ни слабым, без фиксированной точки. Некоторые подходы к формализации нечеткой логики, основанные на подобной интерпретации, сводят ее к двузначной, используя .

Пример. Пусть , где.

Рис. 8.6. 

Это отрицание является иволютивным. При нечетном фиксированной точкой отрицания является элемент. Мера нечеткости на этом элементе принимает максимальное значение. При четномфиксированная точка отрицания отсутствует, фокус состоит из множества, имеющих максимальную нечеткость.