Измерение линейных размеров оптиметром ИКГ Методические указания

Министерство образования и науки Российской Федерации Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего образования «Казанский национальный исследовательский технологический университет»

ИЗМЕРЕНИЕ ЛИНЕЙНЫХ РАЗМЕРОВ ОПТИМЕТРОМ ИКГ

Методические указания

Казань Издательство КНИТУ

2018

1

УДК 531.717.5(07) БКК 22.3197

И37

Печатаются по решению методической комиссии факультета наноматериалов и нанотехнологий

Рецензенты:

канд. хим. наук, проф. С. А. Богданова канд. тех. наук, доц. С. Н. Русанова

	Составители:
	проф. И. А. Старостина
	доц. Н. А. Кузина
	Измерение линейных размеров оптиметром ИКГ :
И37	методические указания / сост. : И. А. Старостина, Н. А. Ку-
	зина; Минобрнауки России, Казан. нац. исслед. технол. ун-т. –
	Казань : Изд-во КНИТУ, 2018. – 16 с.

Приведена методика измерения линейных размеров тел, статистической обработки результатов измерений и оценки точности получаемых значений.

Предназначены для студентов 1 и 2 курсов для всех форм обучения всех направлений.

Подготовлены на кафедре физики.

УДК 531.717.5(07) БКК 22.3197

2

ВВЕДЕНИЕ

При изучении физических закономерностей особое место отводится их экспериментальному исследованию в лаборатории. Лабораторные работы позволяют:

а) проанализировать теоретические положения физики; б) познакомиться с приборами; в) приобрести опыт в проведении экспериментов.

Навыки, получаемые студентами в физической лаборатории, понимание наблюдаемых процессов, пользование измерительными приборами, обработка полученных результатов совершенно необходимы в процессе дальнейшего обучения и самостоятельной работы будущего высококвалифицированного специалиста любого профиля. Поэтому студент обязан подходить творчески к исследовательскому процессу, понимать наблюдаемые явления и правильно применять теорию для их объяснения. Сознательное проведение эксперимента, внимательность и сосредоточенность на процессе измерений, бережное отношение к приборам – необходимые условия успешного выполнения лабораторных работ.

Выполняя лабораторную работу № 102, студенты знакомятся с приемами статистических методов обработки прямых и косвенных измерений.

МЕТОДЫ ОБРАБОТКИ ФИЗИЧЕСКИХ ИЗМЕРЕНИЙ

Измерение физических величин

Физическими величинами называются характеристики свойств тел или процессов, которые могут быть определены количественно при помощи измерений. Измерение представляет собой познавательный процесс, заключающийся в сравнении данной величины опытным путем с некоторым ее значением, условно принятым за единицу измерения.

Различают два типа измерений физических величин: прямые и косвенные.

При прямом измерении определяемая величина сравнивается с единицей измерения непосредственно или же при помощи прибора,

3

отградуированного в требуемых единицах. Например, размеры тела можно непосредственно измерить линейкой, штангенциркулем, микрометром; массу тела можно найти путем прямого измерения – взвешивания на весах; продолжительность какого-либо процесса можно непосредственно измерить секундомером, а силу электрического тока в цепи – амперметром.

При косвенном измерении искомая физическая величина вычисляется из результатов прямых измерений других физических величин, которые связаны с ней функциональной зависимостью. Например, среднюю плотность тела можно вычислить, пользуясь результатами прямых измерений массы и объема этого тела, электрическое сопротивление проводника можно найти из закона Ома, если известны результаты прямых измерений силы тока в проводнике и напряжения на его концах.

Измерение любой физической величины обычно связано с выполнением трех последовательных операций:

а) проверкой и установкой приборов, б) наблюдением и отсчетом их показаний,

в) вычислением искомой величины из результатов измерений и оценки точности окончательного результата.

Измеряя какую-нибудь физическую величину, мы принципиально не можем получить ее истинное значение. Поэтому в задачу измерений входит определение наиболее достоверного значения искомой величины и обоснованная оценка допущенных при этом ошибок. Без оценки ошибок измерений нельзя делать определенные выводы из эксперимента.

Классификация ошибок измерений

Ошибкой или погрешностью называется отклонение результата измерения от истинного значения измеряемой величины. По характеру и происхождению, а также по способам оценки, различают три вида ошибок: промахи, случайные и

систематические ошибки.

Промахи – это грубые ошибки, обусловленные неверными отсчетами, неверными записями показаний прибора или резко изменившимися внешними условиями эксперимента. Обычно результаты, содержащие грубые ошибки, сильно отличаются от

4

других и хорошо заметны на их фоне. Имеются правила, позволяющие исключать промахи из измерений.

Случайными погрешностями (ошибками) называются ошибки, природа и величина которых неизвестна. Случайные ошибки вызываются большим числом различных причин. Эти погрешности изменяются случайным образом при повторных измерениях одной и той же величины.

Случайные погрешности отдельных измерений не могут быть исключены опытным путем. Теория ошибок, как увидим далее, дает два способа уменьшения их влияния на окончательный результат в серии измерений:

1)тщательное проведение отдельных измерений с возможно меньшим разбросом результатов;

2)выполнение большого числа измерений в серии.

Систематическими погрешностями (ошибками) называются

ошибки, которые при повторных измерениях одной и той же величины сохраняются постоянными или изменяются по определенному закону. Обычным источником этих ошибок являются инструментальные погрешности, обусловленные несовершенством изготовления средств измерения, например, неточностью градуировки шкалы прибора, неравноплечностью весов и т.п. Они вызывают смещение, сдвиг x результатов в каком-то направлении от истинного значения. Систематические ошибки часто возникают так же из-за того, что условия эксперимента отличаются от предполагаемых теорией, а поправку на это несоответствие не делают.

Систематические ошибки можно выявить либо путем использования более точных средств измерения, либо изменив сам метод измерения.

Оценка точности измерений

По форме числового выражения различают абсолютные и относительные ошибки.

Абсолютная ошибка измерения xi0 – это ошибка,

выраженная в единицах измеряемой величины. Количественно она определяется разностью между полученным при измерении значением величины xi и ее истинным значением х0 :

xi0 xi x0.

(1)

5

Чем меньше погрешность измерения, тем оно точнее. Отношение абсолютной ошибки измерения к истинному

значению измеряемой величины (если последняя не равна нулю)

называется относительной ошибкой измерения:

	xi0	или	x0 100 %.	(2)
	x0		x0

Она является величиной безразмерной и показывает, какую долю измеряемой величины составляет ошибка и обычно выражается в процентах.

Указание относительных ошибок приобретает особое значение из-за того, что позволяет сравнивать качество измерений различных величин. Например, по относительным погрешностям можно сопоставлять точность измерения массы и длины, размеров микро- и макрообъектов.

Под точностью измерения понимают качество измерения, отражающее близость результата к истинному значению измеряемой величины. Точность измерения количественно характеризуется числом, равным обратному значению относительной погрешности, выраженной в долях измеряемой величины. Например, если

	погрешность измерения					составляет 2 10 5 , то точность этого
	измерения будет		1		1		5 104 .
					2 10 5

Результат измерения можно было бы записать в виде

x0 xi xi0 ,

однако нам неизвестно истинное значение измеряемой величины x0 .

Поэтому обычно производят несколько (n) измерений искомой величины, и в качестве результата наиболее близкого к x0 принимают

среднее арифметическое значение

				1	n
		х			x .						(3)
				n i 1		i
Под истинным значением измеряемой величины подразумевают
						1		n
		x im						x .			(4)
		0		n n i 1						i
Теория ошибок по результатам отдельных измерений позволяет
	интервалы х
вычислить		вблизи						x , внутри которых может
находиться	х0 – с любой	заданной						вероятностью			δ. Результат

6

измерения представляют в форме
x		x, x 100%,		при	..., n ....	(5)
	х
0			х
Эта запись означает, что истинное значение x0 с вероятностью
находится внутри доверительного					интервала	(х x, х x) .

Вероятность называется доверительной вероятностью.

Методы учета инструментальных погрешностей

Наиболее распространенными систематическими ошибками являются инструментальные (приборные) погрешности. Количественно они характеризуются предельной допустимой основной погрешностью пр – практически наибольшей по

абсолютной величине возможной разностью между показанием прибора и истинным значением измеряемой величины. В большинстве случаев пр определяется классом точности прибора или указывается

в инструкции по его применению.

Например, у электроизмерительных приборов класс точности равен отношению погрешности пр к номинальному (наибольшему)

значению шкалы (приведенная погрешность) и обозначается одним из чисел, в %: 0,05; 0,2; 0,5; 1,0; 1,5; 2,5; 4. В данном случае, зная класс точности прибора и номинальное значение шкалы, можно определить погрешность пр , которую мы вынуждены считать постоянной по

всей шкале прибора. Так, миллиамперметр класса 0,5 с полной шкалой на 150 мА измеряет пропускаемый ток с ошибкой, не превышающей

150м 0,5% 0,75мА.

пр	100%

Для приборов, отградуированных по образцовым мерам, базой для определения систематической погрешности является оценка ошибки отсчета, которая возможна для данной шкалы измерительного средства. Исследованиями установлено:

а) высокую точность имеют отсчеты, когда стрелка прибора показывает целое деление или половину деления шкалы,

б) за погрешность отсчета может быть принята половина цены наименьшего деления шкалы.

7

Так, например, секундомер имеет наименьшее деление шкалы 0,2 с; точный отсчет десятых долей этого деления невозможен из-за конечной толщины стрелки; систематическую погрешность можно принять равной 0,1 с.

В лабораторной практике часто встречаются систематические погрешности, обусловленные свойствами измеряемого объекта, например, отклонениями от формы поверхности (неплоскостность, некруглость и т.д.) измеряемой детали, неоднородностью материала и т.п. Они могут быть переведены в случайные погрешности путем многократных измерений в различающихся условиях (в различных местах, сечениях). Такой прием превращения систематической ошибки в случайную называется рандомизацией. Метод позволяет практически исключить многие неизвестные систематические погрешности и широко используется на практике. Отметим, что никогда не следует ограничиваться однократным измерением. Всегда нужно проводить повторное контрольное измерение. Если результаты совпадают, на этом можно остановиться и за ошибку принять приборную погрешность пр , а когда она неизвестна – половину цены

наименьшего деления шкалы. При ответственных измерениях необходимо предварительно отградуировать прибор.

Если результаты измерений различаются, то следует предпринять целую серию повторных измерений с тем, чтобы вклад случайных погрешностей в общую ошибку стал меньше той ошибки, которую дает прибор.

Ошибка среднего арифметического

На практике обычно выполняется некоторый ряд из n измерений

х1, х2 , х3 ,..., хп .	(6)
В качестве приближенного значения х0	целесообразно принять

среднее арифметическое из результатов измерений:

			1	n
x х
				x .	(7)
0				i
			n i 1

Основной задачей теории ошибок является оценка точности приближенного равенства (7).

Среднее арифметическое х случайных величин является также случайной величиной.

8

Разность xi xi х называют остаточной ошибкой отдельного

измерения.

Величина Sn – средняя квадратичная ошибка отдельного измерения, вычисляется по формуле:

		n
	Sn	(xi х)2
		i 1			(8)
		n 1

Эта формула называется формулой Бесселя.

Средняя квадратичная ошибка среднего арифметического S x определяется по формуле:

				n
				(xi x)2
S				i 1		.	(9)
	x
					n(n 1)

Доверительный интервал и доверительная вероятность

Как было сказано, доверительным называют интервал ( х x, х x ), который с заданной доверительной вероятностью δ содержит истинное значение х0 искомой величина; ( х x) и ( х x )

являются доверительными границами интервала. При этом обычно задаются стандартными значениями доверительной вероятности 0,9; 0,95; 0,99; 0,999.

Доверительной вероятностью называют вероятность δ того,

что истинное значение х0 измеряемой величины содержится внутри заданного доверительного интервала ( х x, х x ). При этом δ

выражают либо в долях единицы (доверительная вероятность), либо в процентах (надежность).

Для нахождения границ доверительного интервала заданной доверительной вероятности применяют так называемые коэффициенты Стьюдента t (п)

t		х х0				.	(10)
(п)			Sх

9

Распределение случайной величины t (п) получил английский

химик и математик В.С. Госсет, публиковавший свои работы под псевдонимом "Стьюдент" (студент).

Для коэффициентов Стьюдента составлены подробные таблицы. Далее приводится небольшая часть из них.

Таблица 1

Значения коэффициентов Стьюдента

n	δ	0,9	0,95	0,99	0,999
1		2	3	4	5
2		6,31	12,71	63,66	636,62
3		2,92	4,30	9,92	31,60
4		2,35	3,18	5,84	12,84
5		2,13	2,78	4,60	8,61
6		2,02	2,57	4,03	6,86
7		1,94	2,45	3,71	5,96
8		1,90	2,36	3,50	5,40
9		1,86	2,31	3,36	5,04
10		1,83	2,26	3,25	4,78
∞		1,65	1,96	2,58	3,29

Например, задавая доверительную вероятность 0,95, при числе проведенных измерений п 5 по таблице 1 можно найти

t 2,78 . Тогда, определив предварительно

S

по формуле (8), мы

x

(п)

можем найти случайную ошибку x

по формуле:

x

t

S

;

х

(п)

За систематическую ошибку принимается x

t

, где

( ) 3

(или пр ) – приборная погрешность.

Совместный учет случайных x и

систематических x

ошибок дает общую погрешность

t 2

2

t 2

( )2 .

x

x2

x2

S

(11)

(n)

x

( )

3

10