Termekh_shpory

Билет №1. Векторный способ задания движения точки. Траектория, скорость, ускорение точки. Эквивалентность пар. Сложение пар. Условие равновесия системы пар сил. 1. Векторная система координат. Положение точки М определено, если радиус-вектор r из центра О выражен функцией времени t r= r(t)  задан способ определения модуля вектора и его направления, если имеется система координат. Скорость и ускорение: tr(t), тогда (t+Δt)r(t+Δt), получаем Δr= r(t+Δt)-r(t)  Vср=Δr/Δt. V=lim(Δr/Δt)=dr/dt. aср=ΔV/Δt. a=lim(Δv/Δt)=dV/dt= d²r(t)/dt². Переход от векторной формы к координатной: r(t)=x(t)i+y(t)j+z(t)k. Обратно: x=r(t)×i, y=r(t)×j, z=r(t)×k. 2. Эквивалентность пар. Сложение пар. Условия равновесия пар сил. Эквивалентность: А) 2 пары, имеющие равные моменты, эквивалентны. Пару сил можно перемещать, поворачивать в плоскости действия, перемещать в параллельную плоскость, менять одновременно силу и плечо. Б) 2 пары, лежащие в одной плоскости, можно заменить на одну пару, лежащую в той же плоскости с моментом, равным сумме моментов этих пар. M=M(R,R’)=BA×R=BA×(F1+F2)=BA×F1+BA×F2. При переносе сил вдоль линии действия момент пары не меняется  BA×F1=M1, BA×F2=M2, M=M1+M2. СЛОЖЕНИЕ. 2 пары, лежащие в пересекающихся плоскостях, эквивалентны 1 паре, момент которой равен сумме моментов двух данных пар. Дано: (F1, F1’), (F2, F2’) Доказательство: Приведем данные силы к плечу АВ – оси пересечения плоскостей. Получим пары: (Q1,Q1’) и (Q2,Q2’). При этом M1=M(Q1,Q1’)=M(F1, F1’), M2=M(Q2,Q2’)=M(F2, F2’). Сложим силы R=Q1+Q2, R’=Q1’+Q2’. Т. к. Q1’= - Q1, Q2’= - Q2  R= -R’. Доказано, что система двух пар эквивалентна системе (R,R’). M(R,R’)=BA×R=BA×(Q1+Q2)= BA×Q1+BA×Q2=M(Q1,Q1’)+ M(Q2,Q2’)=M(F1,F1’)+ M(F2,F2’)  M=M1+M2. УСЛОВИЯ РАВНОВЕСИЯ: Система находится в равновесии, если суммарный момент всех пар сил, действующих на тело, равен нулю. M1+ M2+…+ Mn=0.	Билет №2. Координатный способ задания движения точки (прямоугольная декартова система координат). Траектория, скорость, ускорение точки. Аксиомы статики. 1. Декартова система координат. Вектор r можно разложить по базису I, j, k: r=xi+yj+zk. Движение материальной точки полностью определено, если заданы три непрерывные и однозначные функции от времени t: x=x(t), y=y(t), z=z(t), описывающие изменение координат точки со временем. Эти уравнение называются кинематическими уравнениями движения точки. Радиус-вектор r является функцией переменных x, y, z, которые, в свою очередь, являются функциями времени t. Поэтому производная r׳(t) может быть вычислена по правилу dr/dt=∂r/∂x∙dx/dt+∂r/∂y∙dy/dt+∂r/∂z∙dz/dt. Отсюда вытекает, что v=vxi+vyj+vzk. V=√(vx²+vy²+vz²) Ускорением точки в данный момент времени назовем вектор а, равный производной от вектора скорости v по времени. А=x׳׳(t)I+y׳׳(t)j+z׳׳(t)k. А=√((x׳׳(t))²+(y׳׳(t))²+(z׳׳(t))²) 2. Аксиомы статики. 2 силы, приложенные к абс. твердому телу будут эквивалентны 0 тогда и только тогда, когда они равны по модулю, действуют на одной прямой и направлены в противоположные стороны. Действие данной системы сил на абсолютно твердое тело не изменится, если к ней добавить или отнять систему сил, эквивалентную 0 => точку приложения силы можно переносить вдоль линии её действия. Если к телу приложены 2 силы, исходящие из одной точки, то их можно заменить равнодействующей (любую силу можно разложить на составляющие бесконечное число раз). Силы взаимодействия двух тел равны по модулю и противоположны по направлению. Действие связей можно заменить действием сил – реакций связи.	Билет №3. Естественный способ задания движения точки. Траектория, скорость, ускорение точки. Алгебраический и векторный момент силы относительно точки. 1. Естественный способ. Если задана траектория движения точки, выбрано начало и положительное направление отсчета и известна S=S(t) зависимость пути от времени, то такой способ задания движения точки называется естественным. V=dr/dt∙dS/dS=S׳(t)∙dr/dS=S׳(t)∙τ= =vτ∙τ. Dr/dS=τ. Τ направлена всегда в «+» направлении отсчета S. A=dv/dt=S׳׳(t)∙τ+S׳(t)∙dτ/dt=S׳׳∙τ+ (S׳)²n/ρ. Aτ=S׳׳-тангенциальное ускорение, an=(S׳)²/ρ-нормальное (центростремительное) ускорение, ρ-радиус кривизны. A=√((aτ)²+(an)²). 2. Векторный и алгебраический момент пары сил. Алгебраический момент M=F∙d (пара). M=dF1=dF2=2SΔABC= Sٱ. Он не меняется при перемещении сил вдоль линии их действия (ни плечо, ни направление вращения не меняются). Векторный момент – вектор M=M(F,F’), направлен перпендикулярно плоскости пары в ту сторону, откуда видно стремление пары повернуть тело против часовой хода стрелки, его модуль равен алгебраическому моменту пары. M(F1,F2)=BAxF1=ABxF2. Моменты относительно точки. Алгебраическим моментом силы F относительно точки О называется взятое со знаком «+» или «-» произведение |F| на её плечо: MO(F)=Fh=2SΔOAB ∙ MO(F). «+» - против часовой стрелки. Характеризует вращательный эффект F. Свойства: А) Не меняется при переносе точки приложения вдоль линии действия силы. (т.к. |F|sinα= const). Б) Ь=0 если т. О лежит на линии действия силы. Плоскость действия M – через F и O. Векторный момент силы F относительно точки О – вектор MO(F)=rxF (r – радиус- вектор из А в О). |MO(F)|=|F|∙|r|∙sinα=Fh. i j k MO(F)= xA yA zA => Fx Fy Fz MOx(F)=yFz-zFy MOy(F)=zFx-xFz MOz(F)=xFy-yFx	Билет №4. Координатный способ задания движения точки (полярная система координат). Траектория, скорость, ускорение точки. Пара сил. Теорема о сумме моментов сил, составляющих пару, относительно произвольной точки. 1. Полярные координаты Ox – полярная ось, φ – полярный угол, r – полярный радиус. Если задан закон r=r(t), φ=φ(t), то задано движение в полярной системе координат. Пусть r=rºr, rº - единичный вектор, pº┴rº - единичный вектор. Тогда v=dr/dt=r׳rº+ rdrº/dt=r׳rº+rφ׳pº=vrrº+vppº. vp и vr – трансверсальная и радиальная составляющая скорости. A=dv/dt=d(r׳rº+rφ׳pº)/ dt=r׳׳rº+r׳drº/dt+r׳φ׳pº+rφ׳׳pº+rφ׳∙ dpº/dt=(r׳׳-(rφ׳)²)rº+(rφ׳׳+2r׳φ׳)pº= ar∙rº+appº. r²=x²+y², φ=arctg(y/x). vr=r׳=(xvx+yvy)/r, vp=rφ׳=(xvy-yvx)/r 2. Т. о приведении произвольной системы сил к силе и паре сил. Теорема Пуассо: Произвольная система сил, действующих на твердое тело, можно привести к какому-либо центру О, заменив все действующие силы главным вектором системы сил R, приложенным к точке О, и главным моментом MO системы сил относительно точки О. Доказательство: Пусть О – центр приведения. Переносим силы F1, F2,…,Fn в точку О: FO= F1 +F2+…+Fn= ∑Fk. При этом получаем каждый раз соответствующую пару сил (F1,F1”)…(Fn,Fn”), Моменты этих пар равны моментам этих сил относительно точки О. M1=M(F1,F1”)=r1xF1=MO(F1). На основании правила приведения систем пар к простейшему виду MO=M1+…+M2=∑MO(Fk)= ∑rkxFk => (F1, F2,…,Fn) ~ (R,MO) (не зависит от выбора точки О).	Билет №5. Определение скорости точки при задании ее движения в криволинейных координатах. Момент силы относительно оси. 1. Скорость точки в криволинейных координатах. V=dr/dt=(∂r/∂q1)∙dq1/dt+(∂r/∂q2)∙dq2/dt+(∂r/∂q3)∙dq3/dt. v=(dq1/dt)H1e1+(dq2/dt)H2e2+(dq3/dt)H3e3. v=√(dq1/dt)²H1²+(dq2/dt)²H2²+(dq3/dt)²H3². vq1=(dq1/dt)H1, vq2=(dq2/dt)H2, vq3=(dq3/dt)H3. Пример: 1) скорость в цилиндрической системе. Т.к. x=ρcosφ, y=ρsinφ, z=z, то H1=1, H2=ρ, H3=1. vρ=dρ/dt, vφ=ρdφ/dt, vz=dz/dt. 2) Движение по винтовой. ρ=R=const, φ=kt, z=ut. vρ=0, vφ=kR, vz=u. 2. Момент силы относительно оси. Момент силы относительно оси – алгебраический момент проекции этой силы на ось, перпендикулярную оси z, взятого относительно точки A пересечения оси с этой плоскостью. Характеризует вращательный эффект относительно оси. Mz(F)=2SΔABC=F┴∙h. Если Mz(F)=0, то сила F либо параллельна оси z, либо линия её действия пересекает ось z.	Билет №6. Понятие о криволинейных координатах. Координатные линии и координатные оси. Основные виды связей и их реакции. 1. Криволинейные координаты. Устанавливают закон выбора 3 чисел q1, q2, q3. q1, q2, q3 – криволинейные координаты. Функция координат: r=r(q1,q2,q3) (из точки О). Возьмем точку М0 с координатами q1,q10,q20. X=X(q1,q20,q30); Y=Y(q1,q20,q30); Z=Z(q1,q20,q30); Определяют кривую (переменная только q1). Кривая – координатная линия, соответствующая изменению q1 (аналогично q2 и q3). Касательные к координатным линиям, проведенные в точке M0 в сторону возрастания соответствующих координат – координатные оси: [q1], [q2], [q3]. H1= Коэффициент Ламе. e1=(∂r/∂q1)/H1. Аналогично Н2, Н3, е2, е3. 2. Виды связей и их реакции. Связи – ограничения, накладываемые на свободное твердое тело (занимает произвольное положение в пространстве). Реакция связи направлена в сторону, противоположную той, куда связь не дает перемещаться телу. Гладкая поверхность – по общей нормали. Нить – вдоль к точке закрепления. Сферический шарнир – по любому радиусу. Сферический шарнир – по любому радиусу. Подпятник, подшипник – любое направление. Дополнительно: А) Скользящий; Б) Внутренний.
Билет №7. Число степеней свободы твердого тела в общем и частных случаях его движения. Лемма о параллельном переносе силы. 1. Число степеней свободы твердого тела n=3N-k, где n-число степеней свободы, N-число точек, к-число связей. n =6-для свободного тв.тела Для тела, кот-е совершает сферич.дв-е достаточно 3 коор-ты, поскольку оно имеет 3 степени свободы. 2. Лемма о параллельном переносе силы. Сила, приложенная к какой-либо точке твердого тела, эквивалентна такой же силе, приложенной к любой другой точке тела, и паре сил, момент которой равен моменту данной силы относительно новой точки приложения. Доказательство: пусть дана сила F. Приложим к какой-либо точке В систему F’ и F”. |F|=|F’|=|F”|. F~(F,F’,F”), т.к. (F’,F”) ~ 0, то F ~ (F,F’,F”) ~ (F,F’,F”) ~ (F’,M(F,F”)). Но M(F,F”)=BAxF=MB(F). Получаем: F ~ (F’,M(F,F”)) Ч. т. д.	Билет №8. Поступательное движение твердого тела. Число степеней свободы, уравнения движения. Скорости и ускорения точек тела. Связь векторного момента силы относительно точки с моментом силы относительно оси, проходящей через эту точку. 1. Поступательное движение. Существует 5 видов движения – поступательное, вращательное вокруг неподвижной оси, плоское (плоскопараллельное), сферическое, общий случай. Поступательное движение твердого тела – движение, при котором любая прямая этого тела при движении остается параллельной самой себе. Траектории любой точки тела, совершающего поступательное движение, одинаковы. Радиус – вектор любой точки движущегося поступательно тела равен rB=rA+AB, AB=const. drB/dt=drA/dt+ dAB/dt=drA/dt => vB=vA, aB=aA 2. Связь между моментом относительно оси и относительно точки. Момент силы F относительно оси z равен проекции на эту ось вектора момента силы F относительно произвольной точки О на этой оси. Доказательство: Пусть О – произвольная точка на оси z. Момент силы F относительно точки О перпендикулярен плоскости ОАВ MO(F)┴(OAB). Пусть угол между MO(F) и осью z равен α. Тогда ПрzMO(F)=2SΔO’A’B’= 2SΔOAB∙cosα => Mz(F) = |MO(F)|cosα. Ч.т.д.	Билет №9. Вращение твердого тела вокруг неподвижной оси. Векторные и скалярные формулы для скоростей и ускорений точек тела. Теорема о приведении произвольной системы сил к силе и паре – основная теорема статики. 1. Вращение вокруг неподв. оси. φ=φ(t) – угол поворота, n=1 степень свободы. Для задания вращения вокруг неподвижной оси необходимо выбрать ось, начало отсчета угла поворота и его положительное направление и задать зависимость угла поворота от времени. ω=dφ/dt – угловая скорость. ε=dω/dt= d²φ/dt² - угловое ускорение. Скорость любой точки тела, не лежащей на оси v=ωxr, ускорение a=dv/dt=(dω/dt)xr+ ωxdr/dt=εxr+ωx(ωxr), где aτ=εxr Частные случаи: 1) ω=const – равномерное вращение (φ=φº+ωt ). 2) ε=const – равноускоренное вращение (ω=ωº+εt, φ=φº+ωt+ εt²/2) 2. Основная теорема статики (теор. Пуансо): При приведении системы сил к заданому центру возникает главный вектор R равный сумме всех сил и главный момент Мо, равный сумме моментов всех сил относительно центра приведения. R=Fk Lo=Mo(Fk)	Билет №10. Плоское движение твердого тела. Уравнения плоского движения. Разложение плоского движения на поступательное движение вместе с полюсом и вращательное вокруг оси, проходящей через полюс. Инварианты системы сил. Частные случаи приведения системы сил к простейшему виду. 2. Инварианты системы сил. Частные случаи приведения. Инвариант системы сил – векторные и скалярные величины, не зависящие от точки приведения системы сил. Главный вектор R=∑Fi=const. Скалярное произведение главного вектора и главного момента LOR=const=FxMx+ FyMy+FzMz. Доказательство: Умножим обе части выражения (1) на R: MO1R= MOR+(O1OxR)R  ПрR(LO1)= ПрR(LO)= LO1R∙ ∙cos(LO1^R)= LO2Rcos(LO2^R). LO1xRx+ LO1yRy +LO1zRz =LO2xRx +LO2yRy +LO2zRz Приведение к простейшему виду: MO=0, R0  к равнодействующей, равной R, проходящей через О. R=0, MO0  к паре с моментом MO (независимо от О). R0, MO0, MO┴ R  к равнодействующей, равной R, проходящей через О1: ОО1=d= |MO| / |R|. Доказательство: R и пара сил с моментом MO лежат в одной плоскости   силы R и R” уравновешиваются, систему можно заменить равнодействующей R’. MOR0, R0, MO0, R не перпендикулярна MO – приводится к динаме. Доказательство: Разложим MO на 2 составляющих: M1 и M2. M2 представим в виде пары сил R’ и R”. Силы R и R” уравновешиваются, а M1 перенесем в точку O1 (свободы). В результате получили винт R’, M1, проходящий через точку О1. Прямая, проходящая через точку О1 – ось динамы.	Билет №11. Соотношение между ускорениями двух точек плоской фигуры при плоском движении твердого тела. Равновесие тела с учетом трения скольжения. Законы Кулона. 1. Соотн. между уск. 2-х точек при плоском движении. vB=vA+ωxAB. aB=dvB/dt=dvA/dt+(dω/dt)xAB+ ωx(dAB/dt)=aA+εxAB+ωx(ωx AB). Считая, что εхАВ=(aBA)^τ; (aBA)^n=ω²∙AB, окончательно получим: aB=aA+(aBA)^τ+(aBA)^n aA – ускорение полюса; aBA – ускорение движения вокруг полюса. 2. Сила трения скольжения. Законы Кулона для Fтр.ск.: 1)Сила трения скольжения лежит в интервале 0 Fтр Fмах; 2) Сила трения скольжения не зависит от площади соприкасающихся тел, а зависит лишь от силы давления этого тела на поверхность 3)Сила тр.скольжения опр-ся по ф-ле: Fтр=fN, N-сила реакции опоры =Р, f-коэф-т трения скольжения 4)Коэф-т трения скольжения завис.от шероховатостей пов-тей трущихся тел, от температуры, от физич.состояния материала.	Билет №12. Мгновенный центр скоростей, способы нахождения МЦС. Равновесие тела с учетом трения качения. Коэффициент трения качения. 1. МЦС. Способы нахождения. При плоском движении твердого тела в каждый момент времени существует точка, скорость которой равна нулю. vP=vO+vPO=0, vO=ω∙OP=>OP= vO/ω. Способы нахождения: на основе физического условия задачи. На основе предваритель-ного определения скорости двух точек. 2. Трение качения. Коэффициент трения качения. Круглое тело вдавливается в опорную поверхность (дуга CD). Трение качения – сопротивление, возникающее при качении одного тела по поверхности другого. Полная реакция N’ опорной поверхности препятствует качению. Нам нужен момент сопротивления качению => заменим N’ и представим в виде Fтр. и N, приложенных в точке В, смещенной от центра на δ. Условия равновесия: N=P, F=Q. QmaxR=δN. Mтр.max=δ∙N. Момент сопротивления качению 0<Mк<Mк.max (не зависит от радиуса). Коэффициент трения качения δ при предельном состоянии равновесия (при Qmax) N (сила нормального давления) отстает на δ от вертикального радиуса. δ не зависит от материала, из которого сделано тело. Определяется экспериментально.
Билет №13. Вращение твердого тела вокруг неподвижной точки. Число степеней свободы, углы Эйлера. Условия равновесия произвольной системы сил в векторной и аналитической формах. Частные случаи. 1. Вращение твердого тела вокруг неподвижной точки. Углы Эйлера. Движение твердого тела, у которого одна точка неподвижна, называется сферическим. Количество степеней свободы n=3. (XA, YA, ZA). Положение тела определяется с помощью углов Эйлера. Определение: свяжем с телом подвижную систему координат Oxyz. Плоскость xOy пересекает неподвижную плоскость x1Oy1 по прямой ОК – линии узлов. Ψ – угол прецессии; φ – угол собственного вращения θ – угол нутации. Все углы против часовой стрелке. Если заданы функции Ψ=f1(t); φ=f2(t); θ=f3(t) то движение полностью определено. 2. Условия равновесия для произвольной простр.системы сил, а также следствия из этих уравнений. R=0 и Lo=0 –ур-я равновесия. Им соотв-ют 6 скалярных алгебраических ур-1 равновесия для простр.системы сил: Fkх=0 Fkу=0 Fkz=0 Мх(Fk)=0 Му(Fk)=0 Мz(Fk)=0 – аналитическое условие равновесия для произвольной системы сил. Пусть все силы  пл-ти хоу, тогда: Fkх=0 Fkу=0 Мо(Fk)=0 условие равновесия для произвольной плоской системы сил. Условие равновесия для плоской системы параллельных сил. Пустьсилы  оси оу, тогда Fkх=0 Мо(Fk)=0 Условие равновесия для пространственной системы параллельных сил. F1, F2, F3,…,Fn  оси оz, тогда: Fkz=0 Мх(Fk)=0 Му(Fk)=0 Вторая форма условия равновесия для пороизвольной плоской системы сил: МА(Fk)=0 МВ(Fk)=0 МС(Fk)=0 – причем т.А, т,В, т.С  одной прямой. - Докажем необходимость этих условий: Допустим, система сил нах-ся в равновесии. Тогда очевидно, что  моментов всех сил относительно любой точки пл-ти=0, т.е. выполняются эти 3 условия. - Докажем достаточность этих условий: Доказать достоточность – это значит доказать, что при выполнении этих усл-й система нах-ся в равновесии. Доказывать будем методом от противного, поэтому предположим, что эти усл-я выполняются, но система не нах-ся в равновесии, т.е. существует R*0 эквив.данной сист.сил. Рассмотрим усл-е первое и 2-е: для того, чтобы они выполнялись необходимо, чтобы R* проходил через т.А и т.В. Согласно третьему условию hR=0. Поскольку т.С  прямой АВ это может выполняться только в случае R*=0, т.е. наше предположение не верно и система действительно нах-ся в равновесии. Третья форма усл-я равновесия для произвольной плоской системы сил. Fkz=0 МА(Fk)=0 МВ(Fk)=0 – причем ось ох не перпендикулярна АВ. - Необходимость этого усл-я очевидна, т.к.если система нах-ся в равновесии, то главный вектор и главный момент =0 относительно любой точки. - Докажем достаточность этих условий: Предположим, что система не нах-ся в равновесии и сущ-ет, т.е. сущ-ет R* и R* 0 является равнодействующей данной системы сил. Для того, чтобы выполнялось усл-е 2 и 3 необходимо, чтобы R* проходил через АВ. Потребуем выполнения усл-я R*cos=0, поскольку х не перпендикулярна АВ , то R* должно быть равно 0, т.о. мы доказали, что эти усл-я достаточны для того чтобы система находилась в равновесии. На основании двух изложенных форм ур-й равновесия для плоской системы параллельных сил можно записать еще один вид ур-я равновесия для плоской системы параллельных сил: МА(Fk)=0 МВ(Fk)=0, АВ не параллельна F1, F2, F3,…,Fn	Билет №14. Определение скоростей точек плоской фигуры с помощью МЦС. Теорема Вариньона о моменте равнодействующей силы. Пример применения: распределенные силы. 1. Опред. v 2-х точек с пом. МЦС. Зная положение МЦС и скорость какой-либо точки фигуры, можно найти скорости всех точек плоской фигуры. Пусть P – МЦС и известна скорость какой-либо точки фигуры vА, тогда ω= vА/AP. vB= vАPB/PA. Соединив конец вектора vB с точкой Р, получим распределение скоростей вдоль отрезка РВ. 2. Теорема Вариньона. Если данная система сил имеет равнодействующую, то момент равнодействующей относительно произвольной точки О равен сумме моментов относительно той же точки. Пусть система сил (F1, F2,…,Fn) приводит к равнодействующей R, проходящей через точку С пересечения линий действия сил. Возьмем произвольную точку О, тогда: MO(R)=rxR=rx∑Fi=∑(rxFi)= ∑MOi(Fi). Ч. т. д..	Билет №15. Мгновенный центр ускорений. Частные случаи. Лемма о параллельном переносе силы. 1. МЦУ. Способы нахождения. МЦУ – точка плоской фигуры, ускорение которой в данный момент времени равно нулю. aQ=aA+aAQ=0. Угол между aQA и QA tgα=aBA^τ/aBA^n=ε/ω², aAQ=√aAQ^τ+aAQ^n=AQ√ ε²+ω^4  1 способ нахождения МЦУ: Отложить от точки А под углом α=arctg(ε/ω²) к aA отрезок AQ=aA/√(ε²+ω^4 в направлении круговой стрелки ε. 2 способ нахождении МЦУ основан на условии задачи – если ускорение какой-либо точки по условию задачи равно нулю, то эта точка является МЦУ. 2. Лемма о параллельном переносе силы. Сила, приложенная к какой-либо точке твердого тела, эквивалентна такой же силе, приложенной к любой другой точке тела, и паре сил, момент которой равен моменту данной силы относительно новой точки приложения. Доказательство: пусть дана сила F. Приложим к какой-либо точке В систему F’ и F”. |F|=|F’|=|F”|. F~(F,F’,F”), т.к. (F’,F”) ~ 0, то F ~ (F,F’,F”) ~ (F,F’,F”) ~ (F’,M(F,F”)). Но M(F,F”)=BAxF=MB(F). Получаем: F ~ (F’,M(F,F”)) Ч. т. д.	Билет №16. Векторные и скалярные формулы для скоростей и ускорений точек тела при его вращении вокруг неподвижной точки. Аналитическое выражение для моментов силы относительно осей координат. 1. Скорости и ускорения точек тела при его вращении вокруг неподвижной точки. VA=ω×rA. Пусть точка М лежит на мгновенной оси вращения. i j k VM=ω×rM= ωx ωy ωz XM YM ZM X/ωx=Y/ωy=Z/ωz – мгновенная ось вращения. aA=dv/dt=dω/dt×rA+ω×drA/dt=ε×rA+ω×vA=aA^вр+aA^ос. aA^вр= ε×rA – вращательное ускорение точки. aA^ос= ω×vA – осестремительное ускорение точки. Формула Ривальса: aA^oc=ωvAsin(ω, vA). aвр направлен перпендикулярно плоскости (ε,r) в сторону, откуда переход от ε к r виден против часовой стрелки. aвр направлен по перпендикуляру к плоскости (ω,v). 2. Аналитические выражения для моментов силы относительно осей координат. i j k MO(F)= xA yA zA => Fx Fy Fz MOx(F)=yFz-zFy MOy(F)=zFx-xFz MOz(F)=xFy-yFx	Билет №17. Свободное движение твердого тела. Скорости и ускорения его точек. Связь векторного момента силы относительно точки с моментом силы относительно оси, проходящей через эту точку. 1. Скорости и ускорения точек тела при его свободном движении. Разложение общего вида движения на поступательное, связанное с точкой О и вращательное относительно О. Поступательное: X1o=f1(t); Y1o=f2(t); Z1o=f3(t). Вращательное: Ψ=f4(t); φ=f5(t); θ=f6(t). Таким образом, число степеней свободы при свободном движении твердого тела равно 6. ρA=ρо+rvA=dρ/dt+dr/dt=vo+ω×r. aA=dvA/dt=dvo/dt+dω/dt×r+ω×dr/dt=ao+ε×r+ω²r= ao+aA^вр+aA^ос. 2. Связь между моментом относительно оси и относительно точки. Момент силы F относительно оси z равен проекции на эту ось вектора момента силы F относительно произвольной точки О на этой оси. Доказательство: Пусть О – произвольная точка на оси z. Момент силы F относительно точки О перпендикулярен плоскости ОАВ MO(F)┴(OAB). Пусть угол между MO(F) и осью z равен α. Тогда ПрzMO(F)=2SΔO’A’B’= 2SΔOAB∙cosα => Mz(F) = |MO(F)|cosα. Ч.т.д.	Билет №18. Сложное движение точки. Основные понятия и определения. Примеры. Центр системы параллельных сил. Формулы для радиуса-вектора и координат центра системы параллельных сил. 1. Сложное движение точки. Основные понятия. Сложное движение – движение по отношению к системе координат, выбранной за основную (абсолютную). Относительное движение – движение точки по отношению к подвижной системе координат. Переносное движение – движение подвижной системы координат относительно неподвижной. Установление связи между этими движениями позволяет решать различные задачи. 2. Центр системы параллельных сил. Формула для радиус-вектора и координат центра системы параллельных сил. Дано : F1 || F2 . R=F1+F2. MC(R)=MC(F1)+MC(F2)=0  F1∙CA1=F2∙CA2. Повернем F1 и F2 на угол α, при этом R повернется тоже на угол α. С – центр параллельных сил. То же самое, если сил несколько и не по одной прямой. R=∑Fi, R||Fi (точка С принадлежит R) MO(R)=∑MO(Fi), rC×R=∑(ri×Fi). Введем единичный вектор e Fk=Fk∙e R=∑Fk∙e. rC×∑Fi∙e=∑ri×(Fi∙e). ∑FirC×e=∑Firi×e. (∑FirC-∑Firi)×e=0 rC=∑Firi/∑Fi. Координаты центра системы параллельных сил: XC=∑Fixi/R; YC=∑Fiyi/R; ZC=∑Fizi/r
Билет №19. Сложное движение точки. Теорема о сложении скоростей. Примеры. Центр тяжести тела. Методы нахождения центра тяжести. 1. Сложное движение точки. Основные понятия. Сложное движение – движение по отношению к системе координат, выбранной за основную (абсолютную). Относительное движение – движение точки по отношению к подвижной системе координат. Переносное движение – движение подвижной системы координат относительно неподвижной. Установление связи между этими движениями позволяет решать различные задачи. Центр тяжести тела. Методы нахождения центра тяжести. Центр тяжести – центр системы параллельных сил тяжести частиц тела. Его радиус-вектор rC=∑Piri/P. XC=∑Pixi/P; Yc=∑Piyi/P; ZC=∑Pizi/P Вес тела P=∑Pi, Pi – сила тяжести частицы. Методы определения координат центра тяжести тела. Свойства симметрии: если тело имеет плоскость, ось или центр симметрии, то центр тяжести лежит на них. Разбиение: Если известны центры тяжести отдельных частей тела, то rC=(V1rC1+V2rC2+…+VnrCn)/V Отрицательные массы: rC=VсплrC-V1rC1-…-VnrCn, где Vk, rCk – объемы и радиус-векторы пустот тела. Интегрирование: если тело нельзя разбить) XC=(∫xdV)/V, YC=(∫ydV)/V, ZC=(∫zdV)/V	Билет №20. Сложное движение точки. Теорема о сложении ускорений – теорема Кориолиса. Ускорение Кориолиса. Лемма о параллельном переносе силы. 1. Сложное движение точки. Основные понятия. Сложное движение – движение по отношению к системе координат, выбранной за основную (абсолютную). Относительное движение – движение точки по отношению к подвижной системе координат. Переносное движение – движение подвижной системы координат относительно неподвижной. Установление связи между этими движениями позволяет решать различные задачи. Опр-е ускорения точки в сложном движении VM=VO+[ ωr]+ Vr WM=d VM/dt=(d VO/dt)+[ εr]+[ ω(dr/dt)]+d Vr/dt dr/dt=[ ωr]+ Vr WM=Wo+[ εr]+ [ω[ωr]]+[ ω Vr]+ [ ωVr]+Wr d Vr/dt=[ ω Vr]+ Wr Wk=2[ω Vr] WM=WL+Wr+WK – кинематическая теорема Кариолиса Абсолютное ускорение точки –это есть сумма переносного ускорения, относительного ускорения и ускорения Кариолиса Переносное ускорение хар-ет измен-е переносной скорости в переносном движении. Относительное ускорение хар-ет изм-е относительной скоростив в относительном движении. Ускорение Кариолиса хар-ет изм-е относительной скорости в переносном движении Ускорение Кариолиса. Согласно правилу векторного произведения, вектор ускорения Кариолиса ┴ пл-ти, в кот-й лежат вектора ω и Vr и направлена в ту сторону,что с конца этого вектора кратчайшее совмещение первого вектора ко второму ω к Vr кажется видным против хода часовой стрелки. 2. Лемма о параллельном переносе силы. Сила, приложенная к какой-либо точке твердого тела, эквивалентна такой же силе, приложенной к любой другой точке тела, и паре сил, момент которой равен моменту данной силы относительно новой точки приложения. Доказательство: пусть дана сила F. Приложим к какой-либо точке В систему F’ и F”. |F|=|F’|=|F”|. F~(F,F’,F”), т.к. (F’,F”) ~ 0, то F ~ (F,F’,F”) ~ (F,F’,F”) ~ (F’,M(F,F”)). Но M(F,F”)=BAxF=MB(F). Получаем: F ~ (F’,M(F,F”)) Ч. т. д.	Билет №21. Сложное движение точки. Ускорение Кориолиса. Правило Жуковского. Примеры. Эквивалентность пар. Сложение пар. Условие равновесия системы пар сил. 1. Сложное движение точки. Основные понятия. Сложное движение – движение по отношению к системе координат, выбранной за основную (абсолютную). Относительное движение – движение точки по отношению к подвижной системе координат. Переносное движение – движение подвижной системы координат относительно неподвижной. Установление связи между этими движениями позволяет решать различные задачи. Ускорение Кориолиса. Правило Жуковского. Полное ускорение точки А, участвующей в сложном движении aA=ar+ae+2ω×vr. Слагаемое aК=2ω×vr называется ускорением Кориолиса. aK=2ωvrsin(ω,vr). Частные случаи: А) ω0 – смена знака Б) vr0 – относительный покой (смена знака движения). В) sin(ω,vr)0, ω||vr. Правило Жуковского. Ускорение Кориолиса равно проекции относительной скорости на плоскость, перпендикулярную ω, увеличенной в 2ω раз и повернутой на 90° в направлении круговой стрелки ω. 2. Пара сил. ∑ моментов сил, составляющих пару. Пара сил – система 2-х равных по модулю и противоположных по направлению сил, действующих на твердое тело. ∑F=0; ∑M≠0. Расстояние между линиями действия – плечо d. Пара сил характеризуется плоскостью действия, моментом пары. ТЕОРЕМА: Векторный момент пары сил равен векторному моменту одной из её сил относительно другой. Доказательство: MO(F1)+ MO(F2)=rAxF1+ rAxF2= rAxF1- rBxF1=(rA-rB) x F1. Из сложения треугольником OA+AB=OB => AB=OB-OA => MO(F1)+ MO(F2)=ABxF1=MA(F1) => сумма моментов сил, составляющих пару, не зависит от положения точки, относительно которой берутся моменты.	Билет №22. Сложение вращений твердого тела вокруг пересекающихся осей. Зависимость между главными моментами системы сил относительно двух центров приведения. 1. Сложение вращений твердого тела вокруг пересекающихся осей. В случае вращательных относительного и переносного движений твердого тела, когда оси их вращений пересекаются в точке О, абсолютное движение будет сферическим движением вокруг точки О. ω=ωe+ωr. Скорость любой точки, лежащей на линии по которой направлен вектор ω v=ω×r=0. Скорость любой точки М тела в данном случае можно определить так: vM=ω×rM=(ωe+ωr)×rM=ve+vr. ve=ωe∙he; vr=ωr∙hr; v=ω∙h; где he, hr, h – кратчайшие расстояния от точки М до соответствующих осей вращения. 2. Зависимость между главными моментами сил относительно 2 центров приведения. Главный момент системы сил относительно второго центра приведения О1 равен вектору главного момента системы сил относительно первого центра приведения О, плюс векторный момент главного вектора, приложенного в первом центре приведения относительно второго центра. Доказательство: Момент относительно любой точки O1 MO1=∑(rO1ixFi). Момент относительно первого центра приведения О MO=∑(rOixFi). Причем rO1i=O1O+rOi. MO1=∑(O1O+rO1)xFi=O1O∑Fi+ ∑(rOixFi)=MO+O1OxR= MO+MO1(R). MO1= MO+MO1(R) (1)	Билет №23. Определение ускорений точек плоской фигуры при известном положении МЦУ. Система сходящихся сил. Условия равновесия. 1. Определение ускорения точек плоской фигуры с помощью МЦУ. Зная положение МЦУ и ускорение какой-либо точки плоской фигуры можно найти ускорение всех точек плоской фигуры. Пусть известна величина и направление точки А aA плоской фигуры и МЦУ – Q. Тогда ускорение любой другой точки B плоской фигуры будет лежать под углом α, равным углу между aA и QA против направления круговой стрелки ε.. Его величина aB=QB/√ε²+ωюбюб^4=QBaA/ AQ. 2. Система сходящихся сил. Условия равновесия. Система сил называется сходящейся, если линии всех сил пересекаются в одной точке. Попарно поочередно сложим эти силы, перенесенные к точке пересечения. Тогда R=∑Fk – главный вектор, так как R12=F1+F2, R13=R12+F3 и т. д. Rx=∑Fix R=√(Rx²+Ry²+Rz²), cos(x,R)=Rx/R – аналитический способ задания. Условия равновесия. Система находится в равновесии когда главный вектор R=0. А) Векторная форма: R=∑Fk=0; Б) Аналитическая форма: Rx=Fkx=0, Ry=Fky=0, Rz=Fkz=0; В) Графическая форма: замкнут многоугольник сил.	Билет №24. Способы определения углового ускорения при плоском движении твердого тела. Равновесие тела с учетом трения качения. Коэффициент трения качения. 1. Способы опред. угл. уск. При плоском движении. Если задана зависимость ула поворота плоского тела от времени φ=φ(t), то ε=φ׳׳(t); Если известна зависимость угловой скорости от времени ω=ω(t), то, так как ω=v^τ/R, то ε=ω׳(t)=d/dt(v^τ/R)=1/R∙dv^τ/dt= a^τ/R. Из условия задачи. Например, Y B C A X Если известны по модулю aA и (aBA)^n, то, проецируя векторное равенство aB=aA+(aBA)^τ+(aBA)^n на ось Ох, получим: εAB∙AB∙sinφ=aA+(ωAB)²∙AB∙cosφ 2. Трение качения. Коэффициент трения качения. Круглое тело вдавливается в опорную поверхность (дуга CD). Трение качения – сопротивление, возникающее при качении одного тела по поверхности другого. Полная реакция N’ опорной поверхности препятствует качению. Нам нужен момент сопротивления качению => заменим N’ и представим в виде Fтр. и N, приложенных в точке В, смещенной от центра на δ. Условия равновесия: N=P, F=Q. QmaxR=δN. Mтр.max=δ∙N. Момент сопротивления качению 0<Mк<Mк.max (не зависит от радиуса). Коэффициент трения качения δ при предельном состоянии равновесия (при Qmax) N (сила нормального давления) отстает на δ от вертикального радиуса. δ не зависит от материала, из которого сделано тело. Определяется экспериментально.
Билет №25. Полная и локальная производные вектора. Формула Бура. Центр тяжести тела. Методы определения положения центра тяжести. 1. Полная и локальная производная вектора. Формула Бура. Пусть задан вектор b(t)=bxi+byj +bzk в подвижной системе отсчета. Орты i, j, k не меняются в подвижной системе отсчета. Поэтому локальная производная d^~b/dt=dbx/dt∙i+dby/dt∙j+dbz/dt∙k, а полная производная с учетом изменения также ортов i, j, k примет вид: db/dt= dbx/dt∙i+dby/dt∙j+dbz/dt∙k+bxdi/dt+ bzdj/dt+ bzdk/dt.= d^~b/dt+ω×(bxi+ byj+bzk)= d^~b/dt+ω×b. db/dt=d^~b/dt+ω×b – формула Бура. Частные случаи: А) ω=0db/dt= d^~b; Б) Если вектор b не меняется в подвижной системе отсчета, то db/dt= ω×b; В) Если b все время параллелен вектору угловой скорости (ω×b=0), то db/dt= d^~b. 2. Центр тяжести тела. Методы нахождения центра тяжести. Центр тяжести – центр системы параллельных сил тяжести частиц тела. Его радиус-вектор rC=∑Piri/P. XC=∑Pixi/P; Yc=∑Piyi/P; ZC=∑Pizi/P Вес тела P=∑Pi, Pi – сила тяжести частицы. Методы определения координат центра тяжести тела. Свойства симметрии: если тело имеет плоскость, ось или центр симметрии, то центр тяжести лежит на них. Разбиение: Если известны центры тяжести отдельных частей тела, то rC=(V1rC1+V2rC2+…+VnrCn)/V Отрицательные массы: rC=VсплrC-V1rC1-…-VnrCn, где Vk, rCk – объемы и радиус-векторы пустот тела. Интегрирование: если тело нельзя разбить) XC=(∫xdV)/V, YC=(∫ydV)/V, ZC=(∫zdV)/V	Билет №26. Пара вращений. Теорема о приведении произвольной системы сил к паре – основная теорема статики. 1. Пара вращений. При противоположных направлениях векторов ωe и ωr и равенстве их модулей (ωe = ωr), если условие ωe=-ωr выполняется на отрезке времени t2-t1, абсолютное движение будет поступательным. Такой случай сложения вращательных движений называется парой вращений. Действительно, ω=ωe+ωr= -ωr+ωr=0, и для любой точки тела справедливы соотношения: v=ωe×r1+ωr×r2=ωe×(r1-r2)=ωe×OeOr=ωr×OrOe; Следовательно, скорости всех точек тела в данном случае одинаковы и равны скорости поступательного движения. 2. Т. о приведении произвольной системы сил к силе и паре сил. Теорема Пуассо: Произвольная система сил, действующих на твердое тело, можно привести к какому-либо центру О, заменив все действующие силы главным вектором системы сил R, приложенным к точке О, и главным моментом MO системы сил относительно точки О. Доказательство: Пусть О – центр приведения. Переносим силы F1, F2,…,Fn в точку О: FO= F1 +F2+…+Fn= ∑Fk. При этом получаем каждый раз соответствующую пару сил (F1,F1”)…(Fn,Fn”), Моменты этих пар равны моментам этих сил относительно точки О. M1=M(F1,F1”)=r1xF1=MO(F1). На основании правила приведения систем пар к простейшему виду MO=M1+…+M2=∑MO(Fk)= ∑rkxFk => (F1, F2,…,Fn) ~ (R,MO) (не зависит от выбора точки О).	Билет №27. Сложение вращений твердого тела вокруг параллельных осей. Инварианты системы сил. Частные случаи приведения системы сил к простейшему виду. 1. Сложение вращений твердого тела относительно параллельных осей. Если оси вращательных движений тела параллельны, то вектор результирующей угловой скорости ω тела в неподвижной системе координат будет коллинеарен ωе и ωr. Положение мгновенной оси вращения тела как оси, проходящей в данный момент времени через точку Р – МЦС в плоскости П, перпендикулярной осям вращений, можно определить из анализа: vrP=ωr×OrP, veP= ωe×OeP, Or, Oe – точки пересечений П с соответствующими осями вращения. vP=veP+vrP=0 veP= - vrP veP= vrP ωrOrP= ωeOeP. В зависимости от взаимного расположения и численного значения векторов ωr и ωe можно выделить 3 случая сложения вращательных движений: А) При совпадении направлений векторов ωe и ωr абсолютное движение будет плоским. Абсолютная угловая скорость в этом случае будет иметь направление, совпадающее с направлениями её составляющих, а её модуль ω=ωr+ωe. Положение точки Р можно найти из пропорции ωe/OrP=ωrOeP=ω/OeOr. Скорость любой точки тела может быть найдена по формуле v=ω×PM. Б) При противоположных направлениях векторов ωe и ωr, когда ωr≠ωe, абсолютное движение будет плоским. Абсолютная угловая скорость имеет направление, совпадающее с направлением большей по модулю составляющей угловой скорости, а её модуль ω=|ωr-ωe|. Пропорции для нахождения точки Р имеют тот же вид, что и в пункте А. 2. Инварианты системы тел. Частные случаи приведения. Инвариант системы сил – векторные и скалярные величины, не зависящие от точки приведения системы сил. Главный вектор R=∑Fi=const. Скалярное произведение главного вектора и главного момента LOR=const=FxMx+ FyMy+FzMz. Доказательство: Умножим обе части выражения (1) на R: MO1R= MOR+(O1OxR)R  ПрR(LO1)= ПрR(LO)= LO1R∙ ∙cos(LO1^R)= LO2Rcos(LO2^R). LO1xRx+ LO1yRy +LO1zRz =LO2xRx +LO2yRy +LO2zRz Приведение к простейшему виду: MO=0, R0  к равнодействующей, равной R, проходящей через О. R=0, MO0  к паре с моментом MO (независимо от О). R0, MO0, MO┴ R  к равнодействующей, равной R, проходящей через О1: ОО1=d= |MO| / |R|. Доказательство: R и пара сил с моментом MO лежат в одной плоскости   силы R и R” уравновешиваются, систему можно заменить равнодействующей R’. MOR0, R0, MO0, R не перпендикулярна MO – приводится к динаме. Доказательство: Разложим MO на 2 составляющих: M1 и M2. M2 представим в виде пары сил R’ и R”. Силы R и R” уравновешиваются, а M1 перенесем в точку O1 (свободы). В результате получили винт R’, M1, проходящий через точку О1. Прямая, проходящая через точку О1 – ось динамы.	Билет №28. Теорема о проекциях скоростей двух точек твердого тела на прямую, проходящую через эти точки. Главный вектор и главный момент системы сил, формулы для их вычисления. 1. Теорема о проекциях двух точек на линию, соединяющую эти точки. При любом движении проекции двух точек на линию, их соединяющую, равны. Док-во: rB=rA+AB => drB/dt = drA/dt+dAB/dt, но dAB/dt ┴ AB. Проецируем на линию АВ, учитывая, что dAB/dt ┴ AB: ПрАВ(vB)=ПрАВ(v)A+0. 2. Главный вектор, момент. Пусть дана система сил (F1, F2,…,Fn). Главным вектором системы сил называется вектор, равный векторной сумме этих сил. R=∑Fk. Rx=∑Fkx; cos(x,R)= Rx/R; Ry=∑Fky; cos(y,R)= Ry/R; Rz=∑Fkz; cos(z,R)= Rz/R; Главный момент системы сил – сумма моментов сил относительно какого-либо полюса (центра приведения). Lx=∑Mx(Fk)	Билет №29. Векторные и скалярные формулы для скоростей и ускорений точек тела при его вращении вокруг неподвижной точки. Связь векторного момента силы относительно точки с моментом силы относительно оси, проходящей через эту точку. 1. Скорости и ускорения точек тела при его вращении вокруг неподвижной точки. VA=ω×rA. Пусть точка М лежит на мгновенной оси вращения. i j k VM=ω×rM= ωx ωy ωz XM YM ZM X/ωx=Y/ωy=Z/ωz – мгновенная ось вращения. aA=dv/dt=dω/dt×rA+ω×drA/dt=ε×rA+ω×vA=aA^вр+aA^ос. aA^вр= ε×rA – вращательное ускорение точки. aA^ос= ω×vA – осестремительное ускорение точки. Формула Ривальса: aA^oc=ωvAsin(ω, vA). aвр направлен перпендикулярно плоскости (ε,r) в сторону, откуда переход от ε к r виден против часовой стрелки. aвр направлен по перпендикуляру к плоскости (ω,v). 2. Связь между моментом относительно оси и относительно точки. Момент силы F относительно оси z равен проекции на эту ось вектора момента силы F относительно произвольной точки О на этой оси. Доказательство: Пусть О – произвольная точка на оси z. Момент силы F относительно точки О перпендикулярен плоскости ОАВ MO(F)┴(OAB). Пусть угол между MO(F) и осью z равен α. Тогда ПрzMO(F)=2SΔO’A’B’= 2SΔOAB∙cosα => Mz(F) = |MO(F)|cosα. Ч.т.д.	Билет №30. Соотношение между ускорениями двух точек плоской фигуры при плоском движении твердого тела. Главный вектор и главный момент системы сил, формулы для их вычисления. 1. Соотн. между уск. 2-х точек при плоском движении. vB=vA+ωxAB. aB=dvB/dt=dvA/dt+(dω/dt)xAB+ ωx(dAB/dt)=aA+εxAB+ωx(ωx AB). Считая, что εхАВ=(aBA)^τ; (aBA)^n=ω²∙AB, окончательно получим: aB=aA+(aBA)^τ+(aBA)^n aA – ускорение полюса; aBA – ускорение движения вокруг полюса. 2. Главный вектор, момент. Пусть дана система сил (F1, F2,…,Fn). Главным вектором системы сил называется вектор, равный векторной сумме этих сил. R=∑Fk. Rx=∑Fkx; cos(x,R)= Rx/R; Ry=∑Fky; cos(y,R)= Ry/R; Rz=∑Fkz; cos(z,R)= Rz/R; Главный момент системы сил – сумма моментов сил относительно какого-либо полюса (центра приведения). Lx=∑Mx(Fk)