teoria

1.основные гипотезы о свойствах материалов, используемые в сопромате.

Врасчётах достаточно учесть только три реальные статистические характеристики материала: удельную жёсткость (модуль упругости E), удельную прочность (предел прочности σВ или предел текучести σТ) и относительное сужение (коэффициент Пуассона ν). Остальные особенности расчётчика не интересуют.

Поэтому материал рассматриваемых объектов предполагается: Однородным: свойства материала во всех его точках одинаковы; Сплошным: без пустот;

Вбольшинстве задач курса материал также предполагается:

Изотропным: свойства материала одинаковы по всем направлениям в нём (анизотропны – кристалл, дерево и т.д.); Упругим: восстанавливает первоначальную форму и размеры после снятия нагрузки.

Упругие свойства проявляются в материалах только на начальной стадии деформирования. Курс «Сопротивление материалов» посвящён

расчёту поведения конструкций, форма которых при нагружении меняется незначительно.

2.принцип сохранения начальных размеров,принцип независимости действия сил,принцип Сен-Венана. 1)Принцип Сен–Венана: особенности приложения нагрузок не сказываются на расстояниях, превышающих размер области их приложения:

Следующие два принципа применимы только к линейным конструкциям: конструкциям, перемещения точек которых прямо пропорциональны нагрузкам, их вызвавшим (подобные свойства присущи упругим объектам, деформации которых малы).

2)Принцип независимости действия сил: суммарный эффект от воздействия на тело нескольких сил равен сумме эффектов от каждой из этих сил в отдельности.

3)Принцип неизменности начальных размеров: при составлении уравнений равновесия рассматриваемых тел изменениями длин их частей и углов между частями в процессе нагружения можно пренебречь. Этот принцип касается только процесса составления уравнений равновесия! Сами перемещения рассчитываются по особым методикам и нулевыми не считаются.

3.понятие о напряженном состоянии в точке тела.

Совокупность напряжений для всего множества площадок, проходящих, через точку образует напряжённое состояние (н.с.) в этой точке.

4.понятие о линейных и угловых деформациях.

Пусть отрезок длинной S, соединяющий точки A и B тела при нагружении удлинится на ∆S. Тогда линейной деформацией в точке A по направлению AB называется безразмерная величина:

Линейные деформации в направлении координатных осей x, y или z, нижние индексы имеют

соответствующие:

Пусть прямой угол α, образованный тремя точками тела A, B и С при нагружении уменьшился на Δα (считаем в радианах):

Тогда угловой деформацией в точке A тела в плоскости ABC называется безразмерная величина:

Координатная плоскость, в которой действует угловая деформация отображается в её нижнем индексе:

5.объемная деформация в общем случае нагружения.

Пусть кусочек тела объёмом V в окрестности рассматриваемой точки (например, параллелепипед с рёбрами вдоль координатных осей)

при нагружении изменил свой объём на V. Тогда объёмной деформацией в точке А называется безразмерная величина

6.закон Гука при одноосном напряженном состоянии.

- модуль упругости первого рода или модулем Юнга и является механической

характеристикой материала. - относительное удлинение

7.метод сечений для определения внутренних силовых факторов в стержне, работающем на растяжение(сжатие), кручение, на изгиб: перечислить внутренние силовые факторы, показать их положительные направления,изложить суть метода.

Внешними называются силы, действующие на рассматриваемое тело со стороны других тел. Внутренними называются силы, с которыми части тела действуют друг на друга вследствие его деформирования.

Если тело (рис. I.3.а) находится в равновесии, то и каждая из его частей(рис. I.3.б) также находится в равновесии. Исходя из этого правила,внутренние силы и моменты определяют методом сечений 1.Разрезаем нагруженное тело мысленно на две части плоскостью

2.Отбрасываем мысленно одну из двух образовавшихся частей, неважно какую

3.Заменяем действие отброшенной части на оставшуюся главным вектором

(раскладывается на три силы: QХ , Q Y и Q Z= N) и главным моментом относительно центра сечения (раскладывается на: МX, МY и МZ=М КР )

4. Уравновешиваем: из шести условий равновесия отсечённой части

находим шесть обобщённых усилий	Эти усилия
называются внутренними силовыми факторами в данном сечении

Метод сечений применим только к телам, находящимся в равновесии под действием одних лишь внешних сил. Перед его использованием все связи должны быть заменены их реакциями!

8.9.10.диаграмма растяжения пластичного материала:диаграмма образца,переход от диаграммы образца к диаграмме материала, характеристики пластичности.почему диаграмма материала является условной?закон разгрузки и повторного нагружения,что при этом увеличивается а что уменьшается?

Диаграмма растяжения материала, полученная при этих условиях (без учета изменения размеров расчетной части образца), называется условной диаграммой растяжения материала в отличие от действительной

диаграммы растяжения, которую получают с учетом изменений размеров образца. Диаграмма растяжения материала зависит от его структуры, условий испытаний (температуры, скорости деформирования).

Если при испытании на растяжение нагружение приостановить, например, в точке Г диаграммы и осуществить разгружение образца, то окажется, что диаграмма разгружения и диаграмма предыдущего нагружения не совпадают. Линия разгружения в этом случае - прямая, параллельная начальному линейному участку диаграммы растяжения образца. Такой характер деформирования образца при его разгружении называется законом разгружения. При повторном нагружении диаграмма до точки Г совпадает с линией разгружения, а затем будет совпадать с диаграммой растяжения образца при однократном нагружении. Такой характер деформирования называется законом повторного нагружения и заключается в пропорциональной зависимости силы и удлинения, которая сохраняется до значения силы, достигнутой при первичном нагружении.

1.Предел прочности (временное сопротивление разрушению)

2.Условный предел текучести (σ0.2)

3.Предел пропорциональности

4.Точка разрушения

5.Деформация при условном пределе текучести (обычно, 0,2 %)

Предел пропорциональности () – максимальное напряжение, до которого сохраняется линейная зависимость между деформацией и напряжением.

При напряжениях выше предела пропорциональности происходит равномерная пластическая деформация (удлинение или сужение сечения).Каждому напряжению соответствует остаточное удлинение, которое получаем проведением из соответствующей точки диаграммы растяжения линии параллельной оа.Так как практически невозможно установить точку перехода в неупругое состояние, то устанавливают условный предел упругости, – максимальное напряжение, до которого образец получает только упругую деформацию. Считают напряжение, при котором остаточная деформация очень мала (0,005…0,05%).

В обозначении указывается значение остаточной деформации .

Предел текучести характеризует сопротивление материала небольшим пластическим деформациям. В зависимости от природы материала используют физический или условный предел текучести.

Физический предел текучести – это напряжение, при котором происходит увеличение деформации при постоянной нагрузке (наличие горизонтальной площадки на диаграмме растяжения). Используется для очень пластичных материалов.

Но основная часть металлов и сплавов не имеет площадки текучести.

Условный предел текучести – это напряжение вызывающее остаточную деформацию

Физический или условный предел текучести являются важными расчетными характеристиками материала. Действующие в детали напряжения должны быть ниже предела текучести.

Равномерная по всему объему пластичная деформация продолжается до значения предела прочности. В точке в в наиболее слабом месте начинает образовываться шейка – сильное местное утомление образца.

Предел прочности – напряжение, соответствующее максимальной нагрузке, которую выдерживает образец до разрушения (временное сопротивление разрыву).

Образование шейки характерно для пластичных материалов, которые имеют диаграмму растяжения с максимумом.

Предел прочности характеризует прочность как сопротивления значительной равномерной пластичной деформации. За точкой В, вследствие развития шейки, нагрузка падает и в точке С происходит разрушение.

Истинное сопротивление разрушению – это максимальное напряжение, которое выдерживает материал в момент, предшествующий разрушению образца (рис. 6.8).

Истинное сопротивление разрушению значительно больше предела прочности, так как оно определяется относительно конечной площади поперечного сечения образца.

Эффект Баушингера заключается в уменьшении сопротивления кристаллического материала пластической деформации после предварительной малой пластической деформации

противоположного знака. Эффект Баушингера является проявлением неупругости материала в зоне перехода к упругопластическим деформациям.

11,13.напряжение в наклонных площадках растянутого(сжатого) стержня.

напряжения по наклонной площадке:

		p
		P

	полное : p		P		P	cos cos
			F		F
	нормальное:	cos2					, касательное:				sin 2
										2

F — площадь наклонной площадки.

Нормальные напряжения положительны, если они растягивающие; касательные напряжения положительны, если они стремятся повернуть рассматриваемый элемент (нижняя часть) по часовой стрелке ( на рис. все положительно). Наибольшие нормальные напряжения возникают по площадкам перпендикулярным к оси стержня ( =0, cos =1, max = )

На перпендикулярных площадках: = — (90 — )

						sin 2	, т.е.
		sin 2	;						= — .
						2

Наибольшие касательные напряжения действуют по площадкам, составляющим угол 45о к
оси стержня ( =45о, sin2 =1, max = /2)
Условие прочности при растяжении (сжатии)	max [ ],

[ ] — допускаемое напряжение на растяжение (сжатие).

У чугуна [ раст] [ сж], у стали и др. пластичных материалов [ раст]=[ сж].

12.основные зависимости при растяжении(сжатии) прямого стрежня напряжения в поперечном сечении,вывод формулы для определения продольных перемещений.

Продольная сила N, возникающая в поперечном сечении бруса, представляет собой равнодействующую внутренних нормальных сил, распределенных по площади поперечного сечения, и связана с возникающими в этом сечении нормальными напряжениями зависимостью (4.1):

здесь - нормальное напряжение в произвольной точке поперечного сечения, принадлежащей элементарной площадке — площадь поперечного сечения бруса.Произведение представляет собой элементарную внутреннюю силу, приходящуюся на площадку dF.

Два любых поперечных сечения при растяжении бруса остаются плоскими и параллельными между собой, но удаляются друг от друга на некоторую величину; на такую же величину удлиняется каждое волокно. А так как одинаковым удлинениям соответствуют одинаковые напряжения, то и напряжения в поперечных сечениях всех волокон (а следовательно, и во всех точках поперечного сечения бруса) равны между собой.

Это позволяет в выражении (1.2) вынести величину а за знак интеграла. Таким образом,

откуда

Продольная деформация бруса определяется по формуле (13.2): . Эта формула применима, лишь когда в пределах всего участка длиной l продольные силы N и жесткости EF поперечных сечений бруса постоянны. В

рассматриваемом случае на участке продольная сила N равна нулю (собственный вес бруса не учитываем), а на участке она равна Р; кроме того, площадь поперечного сечения бруса на участке отличается от площади сечения на участке Поэтому продольную деформацию участка следует

определять как сумму продольных деформаций трех участков для каждого из которых значения N и EF постоянны по всей его длине:

Продольные силы на рассматриваемых участках бруса

Следовательно, по формуле (13.2)

Рис. 19.2

Продольные перемещения точек оси равны продольным перемещениям проходящих через эти точки поперечных сечений бруса.

При продольной нагрузке, распределенной по длине оси бруса, продольная сила N в поперечных сечениях его непрерывно изменяется. В этих случаях, а также в случае, когда жесткость EF бруса переменна по длине его оси, для определения продольной деформации по формуле (13.2) необходимо рассматривать брус,

состоящий из бесчисленного множества бесконечно малых участков длиной . Продольная деформация каждого такого участка определяется выражением а полпая деформация участка бруса длиной

13=11

14.связь между продольными и поперечными деформациями при растяжении(сжатии).объемная деформация при растяжении.

Между продольной ε и поперечной ε’ деформациями существует установленная экспериментальная зависимость ε’= -µε , где µ- коэффициент поперечной деформации(коэффициент Пуассона)

Величина является важной характеристикой материала и определяется экспериментально. Для реальных материалов принимает значения 0,1 0,45.

Относительное изменение объёма при нагружении (произвольной стержневой системы):

Линейные размеры элементарного параллепипеда dxdydz, в результате деформации получают приращение dx+Δdx=dx(1+εx), dy(1+ εy), dz(1+ εz) , где

Тогда изменнённый объём, пренебрегая значениями бесконечно малых в-н: dV1 =dxdydz(1+ εx)( 1+ εy) (1+ εz)=1+ εx + εy+ εz

Абсолютное приращение объема определяется:

εε ε

15.расчет на прочность при растяжении(сжатии):понятие о расчетном и нормативном коэф-те запаса, допускаемом напряжении, условие равнопрочности стержневых систем.

В зависимости от назначения детали, её способность противостоятьразрушению может быть предсказана (рассчитана) двумя способами:

1) Расчётом по напряжениям; 2) Расчётом по нагрузкам. Первый способтприменяется чаще, его рассмотрением и ограничимся в дальнейшем.Общие условие прочности конструкции:

максимальное напряжение в конструкции; предельное напряжение – напряжение, при котором в материале происходят качественные изменения

― для пластичных материалов и ― для хрупких материалов.

Расчётный коэффициент запаса прочности показывает восколько раз ожидаемое максимальное напряжение в конструкции меньше предельного для данного материала:

n всегда ≥1 (условие II.11). Из-за неточности определения нагрузок и погрешностей расчёта реальное напряжение в конструкции может превысить ожидаемое. Из-за отклонения свойств материала от заявленных может понизиться σпред. Для того, чтобы условие II.11 заведомо не нарушалось и предусматривается некоторый запас по прочности. Чем меньше конструктор уверен в достоверности результатов расчёта, тем с большим n он проектирует конструкцию.Минимально допустимые (из опыта проектирования) значения nзаконодательно установлены для каждой отрасли и называются нормативными коэффициентами запаса

прочности:

Условие гарантированной прочности конструкции

допустимое напряжение

16.напряженное состояние чистый сдвиг:определения, закон парности касательных напряжений,напряжения в наклонных площадках,главные напряжения,закон гука для сдвига,удельная потенциальная энергия деформации, объемная деформация.

Чистым сдвигом называют такой вид нагруженного состояния, при котором по граням выделенного из материала элемента действуют только касательные напряжения.

Напряжение на наклонных площадках

Из условия z = 0, записанного для отсеченной части стержня получим: р F = F (*), где F площадь поперечного сечения стержня, F = F/cos площадь наклонного сечения. Из (*) легко установить: р = сos . (**) Раскладывая напряжение р по нормали и касательной к наклонной площадке с учетом (**)

		1
получим: = p cos = cos2 ;	= p sin = 2		sin 2 .	(***)

Для одной и той же точки тела величина напряжений, возникающих в сечениях, проходящих через эту точку,

зависит от ориентации этой площадки, т.е. от угла .			При = 0 из (***) следует, что	= , = 0. При
=		, т.е. на продольных площадках, = = 0. Это означает, что продольные слои растянутого стержня
	2

не взаимодействуют друг с другом. Касательные напряжения принимают наибольшие значения при = 4 ,

								2
и их величина составляет max= 2 . Важно отметить, как это следует из (2.19), что
										.

Следовательно, в любой точке тела на двух взаимно перпендикулярных площадках касательные напряжения равны между собой по абсолютной величине. Это условие является общей закономерностью любого напряженного состояния и носит название закона парности касательных напряжений

Сдвиг– нагружение бруса при котором в его поперечных сечениях из 6 состовляющий ( главного вектора и главного момента внутренних сил), от нуля отличаются только поперечные силы.

	U	P		P2l	. δ-толщина пластинки.
		2		2GА

Удельная потенциальная энергия деформации при сдвиге:

	Uo	U		P2l	, Р-сила, l-длинна, G-модуль сдвига, А-площадь сеч.
		V		2GААl

где V=l А — объем элемента. Учитывая закон Гука, Uo 2

2G

Вся потенциальная энергия при чистом сдвиге расходуется только на изменение формы, изменение объема при деформации сдвига равно нулю.

17.связь между характеристиками упругости материала E G v.вывод зависимости.

18.кручение стержня круглого поперечного сечения:напряженное состояние,направление напряжений в контурных точках поперечного сечения, связь между внутренним крутящим моментом и касательными напряжениями, связь между углом сдвига и углом закручивания.вывод формулы для определения касат напряжений и угла закручивания стержня.

Угловая деформация γ в наружном радиальном слое радиусом R:

Согласно закону Гука, касательные напряжения:

то есть, касательные напряжения в круглом поперечном сечении распределены линейно относительно радиуса и не меняются по окружной координате (рис. III.17.). Это же подтверждает гидродинамическая аналогия(рис.III.2.) и мембранная аналогия (рис. III.3.)