Геометрическим вектором называется направленный отрезок. векторы принято одним из следующих способов: (А – начальная точка, В –конечная точка).

Длиной (модулем) вектора называется расстояние между его начальной и конечной точками.

Нулевым вектором называется вектор, у которого начальная и конечная точка совпадает. Направление нулевого вектора считается произвольным.

Векторы называются коллинеарными, если они расположены на одной или на параллельных прямых. Другими словами, векторы коллинеарны, если существует прямая, которой они параллельны. Коллинеарность обозначается обычным символом параллельности: a || b. Коллинеарные вектора, имеющие одинаковое направление, будем называть сонаправленными. Обозначение сонаправленности: . Противонаправленными будем называть коллинеарные вектора противоположного направления; обозначение: .

Векторы называются компланарными, если существует плоскость, которой они параллельны.

Два вектора называются равными, если они коллинеарны, одинаково направлены и имеют равные длины.

Линейные операции над векторами. (Правило треугольника). Суммой векторов а и b называется вектор с = а + b, соединяющий начало вектора а с концом вектора b, если начало вектора b совмещено с концом вектора а .

(Правило параллелограмма). Суммой векторов а и b, имеющих общее начало, называется вектор, равный по длине и параллельный диагонали параллелограмма, построенного на векторах а и b, и выходящей из общего начала векторов а и b.

Очевидно, эти определения эквивалентны, т.е. определяют один и тот же вектор с = а + b.

Операция сложения векторов обладает следующими свойствами:

1. а + b = b + а для любых векторов а, b (коммутативность);

2. (а + b) + с = а + (b + с) для любых векторов а, b, с (ассоциативность);

3. Для любого вектора а выполняется равенство а + 0 = а.

4. Для любого вектора а существует противоположный вектор - а такой, что а + (-а) = 0.

Суммой n векторов a₁, a₂, a₃, _… a_n называется вектор, соединяющий начало вектора a₁ с концом вектора a_n, если начало вектора a₂ совмещено с концом a₁, начало a₃ совмещено с концм a₂ и т.д.

Разностью векторов а и b, имеющих общее начало, называется вектор, соединяющий конец вычитаемого вектора с концом уменьшаемого. Разность векторов а и b можно найти, сложив с вектором а противоположный вектор -b: а - b = а + (-b).

Произведением вектора а на в скаляр (вещественное число) называется вектор , коллинеарный вектору а, сонаправленный с ним, если и противонаправленный к а, если , имеющий длину .

Теорема Операция умножения вектора на число обладает следующими свойствами:

1. (ассоциативность);

2. (дистрибутивность относительно суммы скаляров);

3. (дистрибутивность относительно суммы векторов);

4. Для выполняется равенство ;

5. Вектор, противоположный вектору а, получается умножением вектора а на скаляр ();

Линейная зависимость и независимость системы векторов.

Выражение , где коэффициенты , называется линейной комбинацией векторов а₁, а₂, …, а_n.

Линейная комбинация векторов называется тривиальной, если все равны нулю.

Линейная комбинация векторов называется нетривиальной, если хотя бы один из коэффициентов отличен от нуля.

Векторы а₁, а₂, …, а_n называются линейно независимыми, если только тривиальная линейная комбинация этих векторов равна нулевому вектору:

.

Векторы а₁, а₂, …, а_n называются линейно зависимыми, если существует нетривиальная линейная комбинация этих векторов, равная нулевому вектору:

.

Для линейно зависимых векторов справедливы теоремы:

Теорема Для того, чтобы векторы а₁, а₂, …, а_n были линейно зависимы, необходимо и достаточно, чтобы один из этих векторов был линейной комбинацией остальных.

Док-во: Необходимость. Пусть векторы а₁, а₂, …, а_n зависимы, т.е. существует набор чисел , из которых хотя бы одно не равно нулю, такой, что Достаточность. Пусть один из векторов есть линейная комбинация остальных, т.е. . Перепишем это равенство в виде . Мы получили нетривиальную (так как ) линейную комбинацию, равную 0, т.е. система векторов а₁, а₂, …, а_n действительно линейно зависима.

Теорема Если система векторов содержит линейно зависимую подсистему, то она является линейно зависимой

Теорема Любая подсистема линейно независимой системы векторов является линейно независимой.

Теорема Система векторов, содержащая нулевой вектор, является линейно зависимой.

Теорема Система векторов, содержащая два равных или два пропорциональных вектора, является линейно зависимой.

Теорема Два геометрических вектора линейно зависимы тогда и только тогда, когда они коллинеарны.

Док-во. Необходимость. Пусть векторы а и b линейно зависимы. Если хотя бы один из них равен нуль-вектору, то они коллинеарны (нуль-вектор коллинеарен любому другому вектору). Если оба отличны от нуль-вектора, и существует нетривиальная линейная комбинация , равная нулевому вектору, то . Из равенства , или , где . По определению, произведение коллинеарно вектору а.

Достаточность. Пусть векторы а и b коллинеарны. Если один из них, например, а, нулевой, то нетривиальная линейная комбинация, дающая нуль-вектор, очевидна: . Если оба вектора отличны от нуль-вектора, то для равнонаправленных векторов , для противонаправленных , т.е. вектор а линейно выражается через b, что означает линейную зависимость пары векторов а и b.

Следствие. Если два вектора линейно зависимы, то один из них линейно выражается через другой.

Теорема Три геометрических вектора линейно зависимы тогда и только тогда, когда они компланарны.

Теорема Любые четыре геометрических вектора всегда линейно зависимы.

Следствие. Если векторы а, b и с некомпларны, то любой другой вектор d линейно выражается через векторы а, b и с (является их линейной комбинацией), т.е. существуют коэффициенты , и такие, что .

Базисом векторного пространства называется любая линейно независимая упорядоченная система векторов такая, что любой вектор пространства является линейной комбинацией векторов этой системы.

Разложение вектора по базису единственно (другая формулировка: равные векторы имеют равные координаты).

Док-во. Предположим, что имеется два разложения вектора а по базису е₁, е₂, е₃: и . Тогда , или . Векторы базиса линейно независимы, следовательно их линейная комбинация дает нуль-вектор только в тривиальном случае: что и требовалось доказать.

Теорема. При сложении векторов их соответствующие координаты складываются.

Док-во. Пусть и . Тогда

Теорема При умножении вектора на число все его координаты умножаются на это число.

Док-во. Пусть . Тогда , что и требовалось доказать.

Линейные операции над векторами свойствами:

1. а + b = b + а;

2. (а + b) + с = а + (b + с);

3. Для любого вектора а выполняется равенство а + 0 = а.

4. Для любого вектора а существует противоположный вектор - а такой, что а + (-а) = 0.

5. 1.;

6. ;

7. ;.

8. Для выполняется равенство .

Ортогональной проекцией вектора на направление l называется число, равное длине отрезка A₁B₁, где A₁ и B₁- основания перпендикуляров, опущенных из концов вектора на направление l, взятое со знаком плюс, если направление вектора совпадает с направлением l и со знаком минус, если направление вектора противоположно направлению l.

Проекция вектора на направление l будем обозначать .Так, на рисунке справа , .

Определение скалярного произведения векторов. Скалярным произведением векторов а и b называется действительное число, равное произведению длин векторов на косинус угла между ними. Обозначения: (а, b), а b. Итак .