- •Дифференциальные уравнения
- •2. Дифференциальные уравнения первого порядка.
- •Понятие об изогональных траекториях.
- •7.5. Интегрирование простейших типов д.У. 1-го порядка.
- •7.5.1. Д.У. С разделяющимися переменными.
- •7.5.3. Линейные уравнения 1-го порядка.
- •7.5.5. Д.У. В полных дифференциалах.
- •3. Д.У. 2-го порядка. Интегрирование методом понижения порядка.
- •3.1. Общие положения.
- •9. Линейные д.У..
- •9.1. Введение.
- •9.2.2. Фундаментальная система решений однородного линейного д.У.
- •9.2.3. Формула Остроградского-Лиувилля Пусть и– решения (2), следовательно,
- •9.2.4. Существование фср (2)
- •9.2.5. Применение формулы Остроградского-Лиувилля
- •9.3. Линейные неоднородные дифференциальные уравнения 2-го порядка
- •9.3.1. Теоремы о частных решениях
- •9.3.2. Метод вариации произвольных постоянных для нахождения частного решения неоднородного дифференциального линейного уравнения 2-го порядка
- •9.4. Линейные дифференциальные уравнения 2-го порядка с постоянными коэффициентами и приводящиеся к ним
- •9.4.1. Интегрирование однородных линейных дифференциальных уравнений 2-го порядка с постоянными коэффициентами
- •9.4.2. Неоднородные линейные дифференциальные уравнения 2-го порядка с постоянными коэффициентами
- •В силу следствия достаточно найти решение уравнения
- •9.4.3. Линейные дифференциальные уравнения, приводящиеся к уравнениям с постоянными коэффициентами
- •9.4.4. Линейные дифференциальные уравнения n-го порядка
- •9.5. Системы дифференциальных уравнений
- •9.5.1. …
9.2.4. Существование фср (2)
Теорема:
Любое однородное линейное дифференциальное уравнение имеет фундаментальную систему решений.
Доказательство:
Рассмотрим дифференциальное уравнение
и две системы начальных условий:
, ,,
,,
где
.
Пусть и–частные решения соответствующих задач Коши. Докажем, что они образуют фундаментальную систему:
.
Теорема доказана.
Основная теорема:
Общее решение линейного однородного дифференциального уравнения 2-го порядка является линейной комбинацией с произвольными постоянными коэффициентами любых двух решений этого уравнения, образующих фундаментальную систему решений. Другими словами, общее решение линейного однородного дифференциального уравнения 2-го порядка есть сумма двух частных решений линейно независимых решений, умноженных на произвольные постоянные.
Доказательство:
Пусть и– фундаментальная система решений. Составим линейную комбинацию
,
где ,есть произвольные постоянные. Надо доказать, что любое частное решение можно получить извыбороми.
Пусть есть решение задачи Коши для начальных условий
, ,.
Положим , тогда
,
,
отсюда
и.
Так как , тои есть общее решение.
9.2.5. Применение формулы Остроградского-Лиувилля
Зная одно частное решение (2), не равное нулю, можно с применением формулы Остроградского-Лиувилля найти фундаментальную систему и, следовательно, общее решение (2), вычислив два неопределённых интеграла.
Пусть есть известное решение и нужно найти. Так каки, то приполучаем:
.
И, наконец, при
.
Пример.Рассмотрим дифференциальное уравнение
,.
Тогда
.
Общее решение будет:
.
9.3. Линейные неоднородные дифференциальные уравнения 2-го порядка
9.3.1. Теоремы о частных решениях
Рассмотрим неоднородное уравнение
(1)
и соответствующее однородное уравнение
. (2)
Теорема 1:
Разность любых двух частных решений уравнения (1) есть частное решение соответствующего однородного дифференциального уравнения.
Доказательство:
Пусть и– частные решения уравнения (1). Подставим в соответствующее однородное дифференциальное уравнение функциювместе с ее производными:
.
Теорема доказана.
Теорема 2:
Если – частное решение уравнения (1),– частное решение соответствующего однородного уравнения, то
есть новое частное решение уравнения (1).
Доказательство:
Справедливы следующие соотношения:
,
,
значит,
.
Теорема доказана.
Из теорем 1 и 2 следует, что, взяв любое одно частное решение неоднородного уравнения (1) и прибавляя всевозможные частные решения однородного уравнения (2), получим все без исключения частные решения уравнения (1).
Определение: Общее решение неоднородного линейного дифференциального уравнения 2-го порядка есть сумма любого частного решения данного уравнения и общего решения соответствующего однородного линейного дифференциального уравнения 2-го порядка:
,
где иесть линейно независимые частные решения уравнения (2).
Теорема 3:
Если правая часть уравнения (1) есть сумма двух функций и, и еслиесть частное решение уравнения (1) с правой частью, а– частное решение уравнения (1) с правой частью, то– частное решение уравнения (1) с правой частью.
Доказательство:
Рассмотрим уравнение , подставимив уравненияисоответственно. После сложения последних уравнений и группировки слагаемых получим:
.
Теорема доказана.
Пример:
, (1)
,, (2)
,. (3)
Тогда – частное решение уравнения (1).