- •Рекомендуется изучить раздел «Непрерывность функции в точке» пособия Л.И. Магазинников, А.Л. Магазинников Дифференциальное исчисление.
- •Лабораторная работа №4
- •Проверка сходимости числовых рядов
- •Рекомендуется изучить раздел «Числовые ряды» в пособии Л.И. Магазинников Функции комплексного переменного. Ряды. Интегральные преобразования.
- •Рассмотрим пример.
- •Исследовать на сходимость числовой ряд
- •Численное исследование сходимости.
- •Аналитическое исследование сходимости.
- •Численное решение дифференциальных уравнений
- •Рекомендуется изучить раздел «Уравнения высших порядков» в пособии А.А. Ельцов, Т.А. Ельцова Интегральное исчисление. Дифференциальные уравнения.
- •Решение. Составляем характеристическое уравнение
- •Получаем систему двух уравнений
- •Лабораторная работа №9
- •Рекомендуется изучить раздел «Ряды Фурье» в пособии Л.И. Магазинников Функции комплексного переменного. Ряды. Интегральные преобразования.
Министерство образования Российской Федерации
Томский государственный университет систем управления и радиоэлектроники (ТУСУР)
Кафедра математики
УТВЕРЖДАЮ Зав. каф. математики
__________ А.Л. Магазинникова
« » ___________ 20 г.
ЛАБОРАТОРНЫЕ РАБОТЫ ПО МАТЕМАТИКЕ
Методические указания
РАЗРАБОТЧИКИ
Доценты каф. математики
___________________ А.П. Ерохина
______________ А.Л. Магазинников
« 02 » июня 2016 г.
2016
2
Лабораторная работа №1
Вычисление длины кривой
Если плоская кривая AB задана параметрическими уравнениями |
x = x(t) |
. t [α; β], где |
|
||
|
y = y(t) |
|
x(t) и y(t) дифференцируемые функции, причём точке A соответствует t =α , точке B
β
значение t = β , то длина кривой находится по формуле l = ∫(x′)2 + (y′)2 dt.
α
x =
Для пространственной кривой , заданной уравнениями y =z =
β
аналогичная формула l = ∫(x′)2 + (y′)2 + (z′)2 dt.
α
Если кривая AB задана уравнениям y = f (x), x [a;b], то l
x(t)
y(t) , t [α; β] справедлива z(t)
b
= ∫1+ ( f ′(x))2 dx .
a
В случае задания плоской кривой в полярной системе координат ρ = ρ(ϕ) , ϕ1 ≤ϕ ≤ϕ2 ,
ϕ2 |
|
|
|
|
|
|
то её длина находится по формуле l = ∫ |
ρ |
2 |
′ |
2 |
dϕ |
|
|
(ϕ) + (ρ (ϕ)) |
|
||||
ϕ1 |
|
|
|
|
|
|
Пример 7. Найти длину кривой x2 + y2 = 2x .
В данном случае целесообразно перейти к заданию кривой в полярных координатах. Уравнение окружности имеет вид ρ = 2cosϕ .
π |
|
π |
|
π |
|
|
|||
l = ∫2 |
|
dϕ = 2 ∫2 |
|
2 = 2π . |
4cos2 ϕ + 4sin2 ϕ |
dϕ = 2ϕ |
|||
π |
|
π |
|
π |
−2 |
|
−2 |
|
− 2 |
Замечание Уравнение x2 + y2 = 2x или (x −1)2 + y2 =1 задаёт окружность с центром в точке (1;0) и радиусом R=1. Известно, что длина окружности равна 2πR .
3
Лабораторная работа №2
Вычисление площадей плоских фигур
Площадь плоской области D, находится по формуле S = ∫∫dxdy,
D
Или в полярных координатах S = ∫∫ρ dρ dϕ .
D
Если область D определена, например, неравенствами a ≤ x ≤ b, ϕ1 (x) ≤ y ≤ϕ2 (x),
|
b |
ϕ2 ( x) |
|
то S = ∫dx |
∫dy. |
|
|
|
a ϕ1 ( x) |
|
|
Если область D определена неравенствами c ≤ y ≤ d, φ1 (y) ≤ x ≤φ2 (y), то |
|||
d |
φ2 ( y) |
|
|
S = ∫dy |
∫dx. |
|
|
c φ1 ( y) |
|
||
Если в полярных координатах область D определена неравенствами α ≤ϕ ≤ β, |
|||
|
|
β |
ρ2 (ϕ) |
ρ1 (ϕ) ≤ ρ ≤ ρ2 (ϕ), то S = ∫dϕ ∫ρ dρ. |
|||
Пример 1. |
α |
ρ1 (ϕ) |
|
|
|
Вычислить площадь фигуры, ограниченной параболой y2 = 4x + 4 и прямой y = 2 − x.
Из рисунка видно, что внутренний интеграл целесообразно брать по x, а внешний по y. При другом порядке интегрирования мы получили бы сумму двух повторных интегралов. Найдём точки пересечения прямой с параболой. Решая систему уравнений, находим A(0;2) и B(8;-6). Переменная y изменяется от -6 до 2, а пределы внутреннего интеграла находятся из уравнений параболы и прямой, если их решить относительно
|
|
|
|
|
|
x: x = |
|
y2 − 4 |
, |
x = 2 − y. |
||
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
2−y |
2 |
|
y |
2 |
− 4 |
|
64 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
Таким образом, S = ∫dy |
∫ |
|
2 − y − |
|
|
(кв.ед.) |
||||||
|
|
|
|
|||||||||
dx = ∫ |
|
|
4 |
dy = |
3 |
|||||||
−6 |
y2 −4 |
−6 |
|
|
|
|
|
|
|
|||
Пример 2. |
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Найти площадь фигуры, ограниченной лемнискатой Бернулли (x2 + y2 )2 = a2 (x2 − y2 ).
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Ввиду симметрии относительно осей коорди- |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
нат можно вычислить площадь части фигуры, |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
расположенной в первой четверти и результат |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
умножить на 4. Здесь выгодно перейти к по- |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
лярным координатам. Уравнение лемнискаты в |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
полярных координатах примет вид: |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ρ2 |
= a2 cos 2ϕ или ρ = a |
|
Найдём об- |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
cos 2ϕ. |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ласть определения данной функции. Так как |
||||
cos 2ϕ ≥ 0, |
то − π |
+ 2πn ≤ 2ϕ ≤ π |
+ 2πn и − |
π +πn ≤ϕ ≤ |
π +πn . |
|||||||||
|
|
2 |
|
|
π |
≤ϕ ≤ π |
2 |
|
4 |
4 |
|
|
||
При |
n = 0 |
получим |
− |
, т.е. правая петля лемнискаты, |
||||||||||
|
|
|
|
|
4 |
4 |
|
|
|
|
|
|
||
при |
n =1 получим |
|
3π |
|
≤ϕ ≤ |
5π |
, (левая петля). |
|
|
|
||||
|
|
|
|
4 |
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
π |
|
π |
|
|
|
|
π |
|
a |
|
|
(ρ2 |
|
|
|
)dϕ = 2a2 ∫4 cos 2ϕ dϕ = |
|
cos 2ϕ |
|
|
|
|
2a2 sin 2ϕ |
|||
Получаем S = 4∫4 dϕ |
∫ρ dρ = 2∫4 |
|
0a |
|
||||
|
cos 2ϕ |
|||||||
0 |
0 |
0 |
|
|
|
0 |
2 |
|
|
|
|
π
4
= a2 .
0
5
Лабораторная работа №3
Исследование точек разрыва функций и построение графиков
Рекомендуется изучить раздел «Непрерывность функции в точке» пособия Л.И. Магазинников, А.Л. Магазинников Дифференциальное исчисление.
Цель работы: классификация точек разрыва сложных функций и построение графиков с помощью стандартных графопостроителей.
Рассмотрим пример.
Укажите и охарактеризуйте все точки разрыва функции |
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
f (x) = arctg |
|
+ |
|
(x −2)2 |
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
(x −7)4 |
|
x2 −4 |
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
Функция y = arctgϕ(x) непрерывна во всех точках, в которых непрерывна функция |
||||||||||||||||||
ϕ(x) по теореме о непрерывности сложной функции. |
В нашем случае ϕ(x) = |
|
5 |
|
. |
|||||||||||||
(x −7)4 |
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
Функция ϕ(x) имеет разрыв только в точке x1 = 7. Поэтому функция f1(x) = arctg |
5 |
|
|
|
||||||||||||||
(x −7)4 |
|
|
||||||||||||||||
может иметь разрыв только в точке x1 = 7. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
−(x −2), если x < 2, |
|
|
|
|
|
|||||||
Напомним, что |
(x −2)2 |
|
|
|
|
|
||||||||||||
=| x −2 |= |
|
если x ≥ 2. |
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
(x −2), |
|
|
|
|
|
|||||||
Функция f |
|
(x) = |
|
(x −2)2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
2 |
|
|
|
представляет собой отношение двух непрерывных функ- |
||||||||||||||
|
x2 −4 |
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ций. Она может иметь разрыв только в тех точках, в которых знаменатель обращается в нуль, т.е. при x2 = −2 и x3 = 2. Таким образом, точками, подозрительными на разрыв, являются точки x1 = 7, x2 = −2, x3 = 2.
•Исследуем точку x1 = 7.
Известно, что |
lim arctg x = + π , |
lim arctg x = − |
π . |
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
x→+∞ |
2 |
x→−∞ |
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Так как lim |
|
5 |
|
= +∞, то |
lim arctg |
5 |
|
|
|
= lim arctg |
|
|
5 |
= + |
π |
. Следова- |
|
|
|
|
(x −7)4 |
(x −7)4 |
2 |
||||||||||||
x→7 (x −7)4 |
x→7+0 |
|
x→7−0 |
|
|
||||||||||||
тельно, точка x1 = 7 является точкой устранимого разрыва. |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
• Исследуем точку x2 = −2. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
Находим левый и правый пределы: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
f (x) = lim |
|
|
5 |
|
|
|
| x −2 | |
|
|
= ∞. |
|
|
|
|
|
lim |
arctg |
|
|
|
+ |
|
|
|
|
|
|||||
|
|
(x −7) |
4 |
(x −2)(x + 2) |
|
|
|||||||||||
|
|
x→−2±0 |
x→−2±0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
Следовательно, точка x2 = −2 является точкой разрыва второго рода.
6
• |
Исследуем точку x3 = 2. |
|
|
|
|
|
||||
Находим правый предел: |
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
f (x) = lim |
|
5 |
|
|
|
x −2 |
|
|
|
lim |
arctg |
|
|
|
+ |
|
|
|
= |
|
(x −7) |
4 |
|
(x −2)(x |
+ 2) |
||||||
x→2+0 |
x→2+0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
5 |
|
|
1 |
|
|
lim |
arctg |
|
|
+ |
|
|
= |
(x −7) |
4 |
x + 2 |
|||||
x→2+0 |
|
|
|
|
|
= arctg |
|
5 |
|
+ |
|
1 |
|
=0,258 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
(2 −7)4 |
2 + 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
Находим левый предел: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
lim f (x) = |
|
|
|
|
|
|
5 |
|
|
|
−(x −2) |
|
|
|
|
5 |
|
|
1 |
|
|
||
lim |
arctg |
|
|
|
|
|
+ |
|
|
= |
lim |
arctg |
|
|
− |
|
|
= |
|||||
(x |
−7) |
4 |
|
(x −2)(x + 2) |
(x −7) |
4 |
x + 2 |
||||||||||||||||
x→2−0 |
|
x→2−0 |
|
|
|
|
|
|
|
x→2−0 |
|
|
|
|
|
||||||||
= arctg |
|
5 |
|
− |
|
1 |
|
= −0,242 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
(2 −7)4 |
|
2 + 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Так как существуют конечные правые и левые пределы f(2−0) и f(2+0), но они не равны, то точка x = 2 является точкой разрыва первого рода.
Строим график указанной функции.
7
Задание. Укажите и охарактеризуйте все точки разрыва следующих функций. Постройте графики.
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ВАРИАНТ 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ВАРИАНТ 2 |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
1. |
f (x) = arctg |
|
|
|
13 |
|
|
+ |
|
|
(x −3)2 |
1. |
f (x) |
= arctg |
|
|
|
|
|
19 |
|
|
|
+ |
|
|
|
|
(x −9)2 |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
(x −3)2 |
|
|
|
x |
2 −9 |
|
|
|
|
(x − |
9)2 |
|
|
|
|
|
x2 −81 |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
2. |
f (x) = arctg |
|
|
|
|
4 |
|
|
+ sin(x −4) |
2. |
f (x) |
= |
|
|
|
|
|
sin(x + 4) |
|
|
|
|
|
+arctg |
|
2 |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
(x −9)3 |
|
(x +10)(x −14) |
|
x −7 |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x2 −16 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
3. |
f (x) = |
|
|
sin(x −17) |
|
|
+ |
ln[1+(x −2)] |
3. |
f (x) |
= |
|
ex −e5 |
+ |
|
|
|
|
|
|
x2 −64 |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
(x −17)(x −18) |
|
| x −2 | |
|
x −5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
(x −19) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
(x −8)2 |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x −7 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x −2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
4. |
f (x) = arcsin (x −14)(x −17) |
|
|
|
4. |
f (x) |
= arcsin |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
(x −4)(x −18) |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
x −4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x +6 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
x2 |
−4 , если x ≤ 4; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
, |
если x ≤ 7; |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
5. |
f (x) = |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
2 |
− |
36 |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5. |
f (x) |
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
ex −e6 |
, если x > 4 |
|
|
|
|
|
sin(x −14) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
, если x > 7 |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
2 |
− |
36 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(x −14)(x + |
28) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ВАРИАНТ 3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ВАРИАНТ 4 |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
6 |
|
|
|
|
|
|
sin | x −5 | |
|||||||||||||||
|
f (x) = arctg |
|
|
|
|
13 |
|
|
+ |
|
|
(x −3) |
2 |
|
|
1. |
f (x) |
= arctg |
|
|
|
|
|
|
|
|
+ |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
1. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x2 −25 |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(x −4)2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
(x −3) |
2 |
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
−9 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
2. |
f (x) = arctg |
|
|
|
|
|
13 |
|
|
+ sin2| x −6 | |
2. |
f (x) |
= |
|
|
|
|
sin(x −14) |
|
+ |
ln[1+(x −9)] |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
(x −14)(x −17) |
|
|
|
| x −9 | |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
(x −3) |
2 |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
−36 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
3. |
f (x) = |
ex −e8 |
+ |
|
|
|
x2 −4 |
|
|
|
|
f (x) = ex −e2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x2 −36 |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
x −8 |
|
|
(x +15) |
|
|
|
|
|
|
|
|
+ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
(x + 2)2 |
3. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(x + |
5) (x −6)2 |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x −2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
4. |
f (x) = arcsin |
|
|
|
|
|
|
x −6 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x −4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
(x −14)(x −12) |
|
|
|
4. |
f (x) |
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
arcsin (x −5)(x −17) |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x + 2 |
, |
если x ≤14; |
|
|
|
x −3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
2 |
− |
4 |
|
|
|
|
|
, |
если x ≤ 3; |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
5. |
f (x) = |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x2 |
−25 |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
sin(x −18) |
|
|
|
|
|
|
|
5. |
f (x) |
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
, если x >14 |
|
x |
−e |
7 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
(x |
−18)(x +36) |
|
|
|
|
e |
|
|
|
|
|
если x > 3 |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
−49 |
, |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
8 |
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
ВАРИАНТ 5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ВАРИАНТ 6 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1. |
f (x) = arctg |
|
|
11 |
|
+ |
|
|
|
(x −9)2 |
|
|
|
|
1. |
f (x) = arctg |
|
|
|
|
|
6 |
|
|
|
|
+ |
|
|
|
|
(x −3)2 |
|
|||||||||||||||||||||||||||
(x −6)4 |
|
|
|
x2 −81 |
|
|
|
|
|
(x |
−6)4 |
|
|
|
|
|
x2 −9 |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
2. |
f (x) = arctg |
|
|
15 |
|
+ sin(2 x −4) |
|
|
|
|
|
sin(x −15) |
|
|
|
|
|
|
ln[1+(x +14) |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
(x −7) |
|
|
|
|
|
|
x −16 |
|
|
|
|
2. |
f (x) = |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(x −15)(x −5) |
|
|
|
|
|
| x +14 | |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
f (x) = |
|
sin(x −18) |
|
|
|
|
+ ln[1+(x −9)] |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
3. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
(x −18)(x −16) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
| x −9 | |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x −6 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3. |
f (x) |
= |
|
ex −e−18 |
+ |
|
|
|
|
|
|
|
x2 −400 |
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x +18 |
|
(x −5) |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
4. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(x + 20)2 |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
f (x) = arcsin (x −7)(x −19) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
x −10 |
, если x |
≤10; |
|
|
|
|
4. |
f (x) = arcsin |
|
|
|
|
x −4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
5. |
f (x) = |
x2 |
−49 |
|
|
|
|
|
(x −5)(x −3) |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
ex −e8 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
, если x |
>10 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x +9 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
x |
|
−64 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
, |
|
если x ≤ 8; |
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
2 |
−81 |
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5. |
f (x) |
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
sin(x −6) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
, если x > 8 |
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(x −6)(x +12) |
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
ВАРИАНТ 7 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ВАРИАНТ 8 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
sin | x −5 | |
|||||||||
|
f (x) = arctg |
|
|
|
4 |
|
|
|
+ |
|
|
|
(x |
−8) |
2 |
|
|
|
1. |
f (x) = arctg |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+ |
||||||||||||||||||||||||||||||
1. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x2 −25 |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(x −16)2 |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
(x −15) |
4 |
|
|
|
|
2 |
−64 |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
2. |
f (x) = arctg |
|
|
10 |
|
|
+ sin(2 |
x −7) |
2. |
f (x) = |
|
sin(x +6) |
|
|
+ |
|
|
ln[1+(x +12)] |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
(x +6)(x +5) |
|
|
|
|
|
|
| x +12 | |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
(x −14) |
3 |
|
−49 |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
3. |
f (x) = |
ex −e−16 |
+ |
|
|
|
x2 −324 |
|
|
|
|
|
f (x) = ex −e13 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x2 −361 |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
x +16 |
|
(x −6) |
|
|
|
|
|
|
|
|
+ |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
(x +18)2 |
3. |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
(x + |
14) |
|
|
(x −19)2 |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x −13 |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
4. |
f (x) = arcsin |
|
|
|
x −12 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x −12 |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
(x −15)(x −16) |
|
|
|
|
4. |
f (x) |
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
arcsin (x −15)(x −16) |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
x −3 |
|
, если x ≤ 3; |
|
|
|
|
|
|
|
|
x −6 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
5. f (x) = |
|
x2 −25 |
|
|
|
|
|
|
|
|
, если x ≤ 6; |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x2 −64 |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
e |
x |
−e |
7 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5. |
f (x) |
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
, если x |
> 3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
−e |
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
2 |
−49 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
e |
|
|
|
, если x > 6 |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
2 |
|
−9 |
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|