Лабораторный практикум по математике 

Министерство образования Российской Федерации

Томский государственный университет систем управления и радиоэлектроники (ТУСУР)

Кафедра математики

ЛАБОРАТОРНЫЙ ПРАКТИКУМ ПО МАТЕМАТИКЕ

Руководство к выполнению лабораторных работ

РАЗРАБОТЧИК

Доцент каф. математики

_________ А.Л. Магазинников

« 10 » октября 2016 г.

2016

2

Лабораторная работа №1

Обратная матрица. Матричные уравнения

Рекомендуется изучить раздел «Обратная матрица. Решение матричных уравнений» в пособии Л.И. Магазинников, А.Л. Магазинникова Высшая математика 1. Линейная алгебра и аналитическая геометрия.

Рассмотрим примеры решения заданий.

Задание 1. Найдите общее решение системы уравнений с параметром р (выразить неизвестные через параметр p). Проверить решение подстановкой. Найти значение параметра р, при котором система не имеет решений.

											1x −					2x	2			−5x							+					4x				4	= −28
															1												3
											p x1 −2x2 + 2x3 + 4x4 =16
											3x −2x							2		+ x						3		+ x					4		= 3
															1
											−2x					+ 2x					2		+3x									−5x						4	=11
															1												3
							1	2		5					4												28
Вводим матрицы	A(p)						p	2		2					4			B									16
							3	2		1					1												3
							2	2		3					5												11
																																							46
																																					(		47									12.p)
																																					(43.p										224)
Находим общее решение X(p)												A(p) 1.B												X(p)													(		47								12.p)										(Упрощаем если нужно
																																				2.		(	41.p											151)
																																						(	47											12.p)
																																					(40.p										149)
командой symplify)																																					(		47								12.p)
																															28
Проверяем решение подстановкой A(p).X(p)																															16
																															3
																															11
Находим значение параметра р, при котором определитель равен нулю																																																											A(p)		solve,p		47
																																																															12
Задание 2. . Найдите матрицу Х из уравнения																						−3											−1																	−3							−2		−15			19
																																																															. Про-
																																								X = X														−5				+
верьте решение подстановкой.																						−5											−2																								0		35			24
Вводим матрицы	A				3			1		B					3	2						C								15						19
					5			2							5	0														35						24

3

Набираем матрицу Х с неизвестными коэффициентами X				x1	x2
				x3	x4

Перемножая матрицы, находим коэффициенты при неизвестных в системе

A.

x1

x2

x1

x2

.B

x3

5.x2

3.x2

x4

2.x1

x3

x4

x3

x4

5.x1

x3

5.x4

5.x2

2.x4

2.x3

Составляем матрицу коэффициентов при неизвестных M

						15
Столбец свободных членов (матрица С)				N		19
						35
						24
			55
Находим неизвестные X		M 1.N X =	16		Получен ответ
			95
			43

0	5	1	0
2	3	0	1
5	0	1	5
0	5	2	2

X

55 16

95 43

Проверка подстановкой A.X		X.B		C =	0	0
					0	0

4

Задания

Вариант 1.

2 − 2 − 2

Задание 1. Найдите матрицу А-1, обратную к матрице А = − 3 4 1 .

1 −5 − 3

Проверьте выполнение равенства A−1 A = E .

	2		−1	0		0		2	1		3		−1	0
Задание 2.		1	4				1	− 2	0			2	1
	Найдите матрицу Х из уравнения			−1		X					=			1 .
		3 0		2			3	1	− 2			0	1
														−1

Проверьте решение подстановкой.

Задание 3. Найдите общее решение системы уравнений с параметром р (выразить неизвестные через параметр p). Проверить решение подстановкой. Найти значение параметра р, при котором система не имеет решений.

− 2x1 + x2 + 4x3 + 2x4 = 31p x1 − 2x2 + 3x3 + 2x4 = 282x1 + 4x2 + 3x3 + 3x4 = 56

− x1 + x2 − x3 + x4 = 0

Задание 4.		− 3 −5			− 4 − 4	− 20		10
	Найдите матрицу Х из уравнения			X = X		+			. Про-
		2 2					34	26
					−1 3

верьте решение подстановкой.

5

Вариант 2.

							4		−3	2
Задание 1.	Найдите матрицу А-1, обратную к матрице А =						3		−1	− 2
											.
							−5		− 2
										−3
Проверьте выполнение равенства A−1 A = E .
		2 −1			0			0		2	1		2 −1		0
Задание 2.			1 0			X			1 − 2		0			2 0
	Найдите матрицу Х из уравнения				−1								=		1 .
			3 0						0	1 − 2				0 1
					2										−1

Проверьте решение подстановкой.

Задание 3. Найдите общее решение системы уравнений с параметром р (выразить неизвестные через параметр p). Проверить решение подстановкой. Найти значение параметра р, при котором система не имеет решений.

− x1 −5x2 + 4x3 − 2x4 = −15

− 2x1 + 2x2 −5x3 + 2x4 = −2

−5x1 + p x2 + 4x3 − x4 = −8

− 2x1 − 2x2 + 2x3 + 4x4 =14

Задание 4.	−5		1		5	2	46		−18
	Найдите матрицу Х из уравнения			X = X			+			. Проверь-
		4			−3			− 4	26
			−1			3

те решение подстановкой.

6

Вариант 3.

						− 2		1	− 2
Задание 1.							−3	6	− 2
	Найдите матрицу А-1, обратную к матрице А =									.
							−3	4	2
Проверьте выполнение равенства A−1 A = E .
		2 −1			0			0 2		1		1 −1		0
Задание 2.			1 4					1	0	0			2 4		. Про-
	Найдите матрицу Х из уравнения				−1 X							=		1
			3 0		0			3 1 − 2					0 1
														−1

верьте решение подстановкой.

Задание 3. Найдите общее решение системы уравнений с параметром р (выразить неизвестные через параметр p). Проверить решение подстановкой. Найти значение параметра р, при котором система не имеет решений.

− x1 + x2 + x3 − 2x4 = −6

p x1 + x2 + x3 + 4x4 = 362x1 − 2x2 − 2x3 + 3x4 = 7

4x1 − x2 + 4x3 + 3x4 = 48

Задание 4.		− 2 1		2	− 4		10		−11
	Найдите матрицу Х из уравнения		X = X				+			. Проверь-
				− 2	0			8	−6
		−3 5

те решение подстановкой.

7

Вариант 4.

							5		1	−1
Задание 1.							−3		5
	Найдите матрицу А-1, обратную к матрице А =										5 .
							5		−3
											5
Проверьте выполнение равенства A−1 A = E .
		1 −1			0			0		2	1		3 −1			0
Задание 2.			1 4						0	− 2	0			2	1
	Найдите матрицу Х из уравнения				−1 X								=			1 .
			3 0		2				3	1	− 2			0	1
																−1

Проверьте решение подстановкой.

Задание 3. Найдите общее решение системы уравнений с параметром р (выразить неизвестные через параметр p). Проверить решение подстановкой. Найти значение параметра р, при котором система не имеет решений.

p x1 + x2 + 4x3 + 3x			4 = 31
− 2x1 + 2x2 − x3 − 2x4 = −16
	− x3	− 2x4 = −10
2x1 + x2
	+ 3x3 −5x4		= −1
x1 + 2x2
	5	−1	2		− 4		11 −32
Задание 4. Найдите матрицу Х из уравнения		X = X					+	. Проверьте
				4	0
	1	−5					17 20

решение подстановкой.

8

Вариант 5.

						− 2		− 2	−3
Задание 1.							−5	−3	4
	Найдите матрицу А-1, обратную к матрице А =									.
							−5	5
									−1
Проверьте выполнение равенства A−1 A = E .
		2 −1			0			0	2	1		3 −1			0
Задание 2.			1 4					1 − 2		0			2	1
	Найдите матрицу Х из уравнения				−1 X							=			1 .
			3 0		2			3	1	− 2			0	1
															−1

Проверьте решение подстановкой.

Задание 3. Найдите общее решение системы уравнений с параметром р (выразить неизвестные через параметр p). Проверить решение подстановкой. Найти значение параметра р, при котором система не имеет решений.

3x1 − 2x2 − x3 + 2x4 = 5
	− 2x2 + 4x3 − 2x4				= −8
− 2x1
	+ x2	+ 3x3 + 2x4 =11
− 2x1
	+ 2x2	− 2x3 + 4x4			=15
p x1
		− 2	0		−5
Задание 4. Найдите матрицу Х из уравнения				X =	X
		− 4	2			2

решение подстановкой.

−5 + −1 −3 . Проверьте

1 36 38

9

Вариант 6.

							6		2	−1
Задание 1.							4	− 2
	Найдите матрицу А-1, обратную к матрице А =									−3 .
							6	−5
										−5
Проверьте выполнение равенства A−1 A = E .
		2 −1			0			0		2	1		3 −1			0
Задание 2.			1 4						1	− 2	0			2	1
	Найдите матрицу Х из уравнения				−1 X								=			1 .
			3 0		2				3	1	− 2			0	1
																−1

Проверьте решение подстановкой.

Задание 3. Найдите общее решение системы уравнений с параметром р (выразить неизвестные через параметр p). Проверить решение подстановкой. Найти значение параметра р, при котором система не имеет решений.

3x1 − 2x2 + x		3 −5x4 = −1
	− x2 − 2x	3 + p x4	= 8
4x1
	− 2x2 + 3x3 + x4 = 3
− x1
	+ 3x2 + 3x3 + 2x4		= 35
− x1
	1	1	X	− 4		−5		− 47		− 48
Задание 4. Найдите матрицу Х из уравнения		X =						+			. Про-
					− 4	− 4			− 23	− 29
	5 −1

верьте решение подстановкой.

10

Вариант 7.

		1	−5	− 2
Задание 1.		−5	4
	Найдите матрицу А-1, обратную к матрице А =			3 .
		5	−3	2

Проверьте выполнение равенства A−1 A = E .
		2		−1 0			0		2	1		3 −1			0
Задание 2.			1	4				1	− 2	0			2	1		. Про-
	Найдите матрицу Х из уравнения					3	X					=			1
			3	0				3	1	− 2			0	1
						2									−1

верьте решение подстановкой.

Задание 3. Найдите общее решение системы уравнений с параметром р (выразить неизвестные через параметр p). Проверить решение подстановкой. Найти значение параметра р, при котором система не имеет решений.

− x1 −5x		2 + x3 + x4 = −11
	− 2x	2 + 2x3	−5x	4 = −21
− x1
				4x4 = 4
− 2x1 + 3x2 + p x3 +
	− x2	−5x3 − x4 = −3
2x1
		1 − 4		= X	−5		−1	− 48		− 4
Задание 4. Найдите матрицу Х из уравнения			X					+		. Проверь-
						3			35
		1 4					5			11

те решение подстановкой.