Министерство образования Российской Федерации

Томский государственный университет систем управления и радиоэлектроники (ТУСУР)

Кафедра математики

УТВЕРЖДАЮ Зав. каф. математики

__________ А.Л. Магазинникова

« » ___________ 20 г.

ЛАБОРАТОРНЫЕ РАБОТЫ ПО МАТЕМАТИКЕ

Методические указания

РАЗРАБОТЧИКИ

Доценты каф. математики

___________________ А.П. Ерохина

______________ А.Л. Магазинников

« 02 » июня 2016 г.

2016

2

Лабораторная работа №1

Вычисление длины кривой

Если плоская кривая AB задана параметрическими уравнениями	x = x(t)	. t [α; β], где
	y = y(t)

x(t) и y(t) дифференцируемые функции, причём точке A соответствует t =α , точке B

β

значение t = β , то длина кривой находится по формуле l = ∫(x′)2 + (y′)2 dt.

α

x =

Для пространственной кривой , заданной уравнениями y =z =

β

аналогичная формула l = ∫(x′)2 + (y′)2 + (z′)2 dt.

α

Если кривая AB задана уравнениям y = f (x), x [a;b], то l

x(t)

y(t) , t [α; β] справедлива z(t)

b

= ∫1+ ( f ′(x))2 dx .

a

В случае задания плоской кривой в полярной системе координат ρ = ρ(ϕ) , ϕ1 ≤ϕ ≤ϕ2 ,

ϕ2
то её длина находится по формуле l = ∫	ρ	2	′	2	dϕ
			(ϕ) + (ρ (ϕ))
ϕ1

Пример 7. Найти длину кривой x2 + y2 = 2x .

В данном случае целесообразно перейти к заданию кривой в полярных координатах. Уравнение окружности имеет вид ρ = 2cosϕ .

π		π		π
l = ∫2		dϕ = 2 ∫2		2 = 2π .
	4cos2 ϕ + 4sin2 ϕ		dϕ = 2ϕ
π		π		π
−2		−2		− 2

Замечание Уравнение x2 + y2 = 2x или (x −1)2 + y2 =1 задаёт окружность с центром в точке (1;0) и радиусом R=1. Известно, что длина окружности равна 2πR .

3

Лабораторная работа №2

Вычисление площадей плоских фигур

Площадь плоской области D, находится по формуле S = ∫∫dxdy,

D

Или в полярных координатах S = ∫∫ρ dρ dϕ .

D

Если область D определена, например, неравенствами a ≤ x ≤ b, ϕ1 (x) ≤ y ≤ϕ2 (x),

	b	ϕ2 ( x)
то S = ∫dx		∫dy.
	a ϕ1 ( x)
Если область D определена неравенствами c ≤ y ≤ d, φ1 (y) ≤ x ≤φ2 (y), то
d	φ2 ( y)
S = ∫dy		∫dx.
c φ1 ( y)
Если в полярных координатах область D определена неравенствами α ≤ϕ ≤ β,
		β	ρ2 (ϕ)
ρ1 (ϕ) ≤ ρ ≤ ρ2 (ϕ), то S = ∫dϕ ∫ρ dρ.
Пример 1.		α	ρ1 (ϕ)

Вычислить площадь фигуры, ограниченной параболой y2 = 4x + 4 и прямой y = 2 − x.

Из рисунка видно, что внутренний интеграл целесообразно брать по x, а внешний по y. При другом порядке интегрирования мы получили бы сумму двух повторных интегралов. Найдём точки пересечения прямой с параболой. Решая систему уравнений, находим A(0;2) и B(8;-6). Переменная y изменяется от -6 до 2, а пределы внутреннего интеграла находятся из уравнений параболы и прямой, если их решить относительно

x: x =

y2 − 4

,

x = 2 − y.

4

2

2−y

2

y

2

− 4

64

Таким образом, S = ∫dy

∫

2 − y −

(кв.ед.)

dx = ∫

4

dy =

3

−6

y2 −4

−6

Пример 2.

4

Найти площадь фигуры, ограниченной лемнискатой Бернулли (x2 + y2 )2 = a2 (x2 − y2 ).

4

Ввиду симметрии относительно осей коорди-

нат можно вычислить площадь части фигуры,

расположенной в первой четверти и результат

умножить на 4. Здесь выгодно перейти к по-

лярным координатам. Уравнение лемнискаты в

полярных координатах примет вид:

ρ2

= a2 cos 2ϕ или ρ = a

Найдём об-

cos 2ϕ.

ласть определения данной функции. Так как

cos 2ϕ ≥ 0,

то − π

+ 2πn ≤ 2ϕ ≤ π

+ 2πn и −

π +πn ≤ϕ ≤

π +πn .

2

π

≤ϕ ≤ π

2

4

4

При

n = 0

получим

−

, т.е. правая петля лемнискаты,

4

4

при

n =1 получим

3π

≤ϕ ≤

5π

, (левая петля).

4

4

π		π					π
a			(ρ2				)dϕ = 2a2 ∫4 cos 2ϕ dϕ =
	cos 2ϕ							2a2 sin 2ϕ
Получаем S = 4∫4 dϕ	∫ρ dρ = 2∫4				0a
						cos 2ϕ
0	0	0				0		2

π

4

= a2 .

0

5

Лабораторная работа №3

Исследование точек разрыва функций и построение графиков

Рекомендуется изучить раздел «Непрерывность функции в точке» пособия Л.И. Магазинников, А.Л. Магазинников Дифференциальное исчисление.

Цель работы: классификация точек разрыва сложных функций и построение графиков с помощью стандартных графопостроителей.

Рассмотрим пример.

Укажите и охарактеризуйте все точки разрыва функции

5

f (x) = arctg

+

(x −2)2

(x −7)4

x2 −4

Функция y = arctgϕ(x) непрерывна во всех точках, в которых непрерывна функция

ϕ(x) по теореме о непрерывности сложной функции.

В нашем случае ϕ(x) =

5

.

(x −7)4

Функция ϕ(x) имеет разрыв только в точке x1 = 7. Поэтому функция f1(x) = arctg

5

(x −7)4

может иметь разрыв только в точке x1 = 7.

−(x −2), если x < 2,

Напомним, что

(x −2)2

=| x −2 |=

если x ≥ 2.

(x −2),

Функция f

(x) =

(x −2)2

2

представляет собой отношение двух непрерывных функ-

x2 −4

ций. Она может иметь разрыв только в тех точках, в которых знаменатель обращается в нуль, т.е. при x2 = −2 и x3 = 2. Таким образом, точками, подозрительными на разрыв, являются точки x1 = 7, x2 = −2, x3 = 2.

•Исследуем точку x1 = 7.

Известно, что

lim arctg x = + π ,

lim arctg x = −

π .

x→+∞

2

x→−∞

2

Так как lim

5

= +∞, то

lim arctg

5

= lim arctg

5

= +

π

. Следова-

(x −7)4

(x −7)4

2

x→7 (x −7)4

x→7+0

x→7−0

тельно, точка x1 = 7 является точкой устранимого разрыва.

• Исследуем точку x2 = −2.

Находим левый и правый пределы:

f (x) = lim

5

| x −2 |

= ∞.

lim

arctg

+

(x −7)

4

(x −2)(x + 2)

x→−2±0

x→−2±0

Следовательно, точка x2 = −2 является точкой разрыва второго рода.

6

•	Исследуем точку x3 = 2.
Находим правый предел:
	f (x) = lim		5				x −2
lim		arctg				+				=
			(x −7)	4			(x −2)(x	+ 2)
x→2+0	x→2+0

		5			1
lim	arctg			+			=
		(x −7)	4		x + 2
x→2+0

= arctg

5

+

1

=0,258

(2 −7)4

2 + 2

Находим левый предел:

lim f (x) =

5

−(x −2)

5

1

lim

arctg

+

=

lim

arctg

−

=

(x

−7)

4

(x −2)(x + 2)

(x −7)

4

x + 2

x→2−0

x→2−0

x→2−0

= arctg

5

−

1

= −0,242

(2 −7)4

2 + 2

Так как существуют конечные правые и левые пределы f(2−0) и f(2+0), но они не равны, то точка x = 2 является точкой разрыва первого рода.

Строим график указанной функции.

7

Задание. Укажите и охарактеризуйте все точки разрыва следующих функций. Постройте графики.

ВАРИАНТ 1

ВАРИАНТ 2

1.

f (x) = arctg

13

+

(x −3)2

1.

f (x)

= arctg

19

+

(x −9)2

(x −3)2

x

2 −9

(x −

9)2

x2 −81

2.

f (x) = arctg

4

+ sin(x −4)

2.

f (x)

=

sin(x + 4)

+arctg

2

(x −9)3

(x +10)(x −14)

x −7

x2 −16

3.

f (x) =

sin(x −17)

+

ln[1+(x −2)]

3.

f (x)

=

ex −e5

+

x2 −64

(x −17)(x −18)

| x −2 |

x −5

(x −19)

(x −8)2

x −7

x −2

4.

f (x) = arcsin (x −14)(x −17)

4.

f (x)

= arcsin

(x −4)(x −18)

x −4

x +6

x2

−4 , если x ≤ 4;

,

если x ≤ 7;

5.

f (x) =

x

2

−

36

5.

f (x)

=

ex −e6

, если x > 4

sin(x −14)

, если x > 7

2

−

36

(x −14)(x +

28)

x

ВАРИАНТ 3

ВАРИАНТ 4

6

sin | x −5 |

f (x) = arctg

13

+

(x −3)

2

1.

f (x)

= arctg

+

1.

x2 −25

(x −4)2

(x −3)

2

2

x

−9

2.

f (x) = arctg

13

+ sin2| x −6 |

2.

f (x)

=

sin(x −14)

+

ln[1+(x −9)]

(x −14)(x −17)

| x −9 |

(x −3)

2

x

−36

3.

f (x) =

ex −e8

+

x2 −4

f (x) = ex −e2

x2 −36

x −8

(x +15)

+

(x + 2)2

3.

(x +

5) (x −6)2

x −2

4.

f (x) = arcsin

x −6

x −4

(x −14)(x −12)

4.

f (x)

=

arcsin (x −5)(x −17)

x + 2

,

если x ≤14;

x −3

x

2

−

4

,

если x ≤ 3;

5.

f (x) =

x2

−25

sin(x −18)

5.

f (x)

=

, если x >14

x

−e

7

(x

−18)(x +36)

e

если x > 3

2

−49

,

x

8

ВАРИАНТ 5

ВАРИАНТ 6

1.

f (x) = arctg

11

+

(x −9)2

1.

f (x) = arctg

6

+

(x −3)2

(x −6)4

x2 −81

(x

−6)4

x2 −9

2.

f (x) = arctg

15

+ sin(2 x −4)

sin(x −15)

ln[1+(x +14)

3

(x −7)

x −16

2.

f (x) =

+

(x −15)(x −5)

| x +14 |

f (x) =

sin(x −18)

+ ln[1+(x −9)]

3.

(x −18)(x −16)

| x −9 |

x −6

3.

f (x)

=

ex −e−18

+

x2 −400

x +18

(x −5)

4.

(x + 20)2

f (x) = arcsin (x −7)(x −19)

x −10

, если x

≤10;

4.

f (x) = arcsin

x −4

5.

f (x) =

x2

−49

(x −5)(x −3)

ex −e8

, если x

>10

x +9

2

x

−64

,

если x ≤ 8;

x

2

−81

5.

f (x)

=

sin(x −6)

, если x > 8

(x −6)(x +12)

ВАРИАНТ 7

ВАРИАНТ 8

3

sin | x −5 |

f (x) = arctg

4

+

(x

−8)

2

1.

f (x) = arctg

+

1.

x2 −25

(x −16)2

(x −15)

4

2

−64

x

2.

f (x) = arctg

10

+ sin(2

x −7)

2.

f (x) =

sin(x +6)

+

ln[1+(x +12)]

(x +6)(x +5)

| x +12 |

(x −14)

3

−49

x

3.

f (x) =

ex −e−16

+

x2 −324

f (x) = ex −e13

x2 −361

x +16

(x −6)

+

(x +18)2

3.

(x +

14)

(x −19)2

x −13

4.

f (x) = arcsin

x −12

x −12

(x −15)(x −16)

4.

f (x)

=

arcsin (x −15)(x −16)

x −3

, если x ≤ 3;

x −6

5. f (x) =

x2 −25

, если x ≤ 6;

x2 −64

e

x

−e

7

5.

f (x)

=

, если x

> 3

x

−e

3

2

−49

e

, если x > 6

x

x

2

−9