Теоретические положения оптимизации удельно-экономических показателей магнитных элементов

20

Отличительной особенностью этого исполнения является то, что катушка с обмотками помещается внутри магнитопровода, вкладывается в две круглые одинаковые «чашки», накладываемые друг на друга. Внешнее расположение магнитопровода (относительно катушек) позволяет эффективно отводить от него тепловой нагрев, вызванный потерями мощности в ферромагнетике, которые являются существенными на высоких частотах.

Чашечные магнитопроводы выполняются прессованными из ферритовых материалов (по другому их не сделать) и применяются для изготовления Ч-МЭ, работающих на частотах 10 кГц и более.

Наиболее часто Ч-МЭ используются как однофазные трансформаторы и дроссели (индуктивности).

Элементная база современных электронных устройств позволяет работать на 100 кГц и более, но при таких частотах изготовлять магнитопроводы из электротехнических сталей или их сплавов становится нецелесообразным. Ферритовые сердечники (магнитопроводы) чашечных исполнений здесь будут иметь лучшие удельно-экономические показатели (УЭП): объем, массу и стоимость на единицу мощности.

Ряд фирм России и за рубежом выпускают чашечные магнитопроводы, которые пока, и, к сожалению, имеют малые линейные размеры, поэтому используются для изготовления Ч-МЭ малой и средней мощности: десятки-сотни Вт при частотах 10 20 кВт и до 5 кВт при частотах 50 100 кГц.

Малые мощности Ч-МЭ связаны с трудностями выполнения обмоток проводниками с большими сечениями.

В технической литературе вопросы оптимального расчетаисполнения Ч-МЭ представлены слабо, в том числе — почти не описана и не оптимизирована геометрия этих устройств. В редко встречающихся для них справочных данных, например [1. 4, 5] не поясняется, каким критериям УЭП они удовлетворяют, нет значений относительно размеров x, y, z важных для анализов.

На рис. 4.1 для геометрии Ч-МЭ показано:

а — толщина и ширина или точнее — диаметр внутренней части магнитопровода, на которой размещена катушка с обмотками;

a = (0.22 ÷0.3)a.

21

а— толщина наружной части магнитопровда;

с— ширина окна;

h — высота окна;

а0 — технологическое отверстие для стяжки и крепления магнитопровода;

D, Н — наружный диаметр и общая высота магнитопровода соответственно.

В справочной литературе приводят величины

d = a, d0 = a0, D, H и h.

Значения а и с нужно подсчитать. В литературе не даются рекомендации по оптимальным соотношениям a0 a , aa ,

x = ca , z = ha . Статистика значений а, полученная из данных справочников для параметров чашечных магнитопроводов, дает в среднем:

a0 = 0.4d = 0.4a,

Относительное значение технологического отверстия a0 под крепежный болт имеет логическое объяснение: растет диаметр сердечника а, увеличивается и диаметр болта, соотношение их a0 a 0.4 мало меняется.

Для соотношения

= a a = 0.22 ÷0.3 найти пояснение

трудно. Для нормального распределения силовых линий магнитного потока Ч-МЭ достаточно выполнить условие, чтобы внутреннее сечение магнитопровода

				Sсв =	πa2	−	π(0.4a)2			(4.1)
					4		4
и сечение его наружной части								a) a
				Sсн = π(a + 2c +						(4.2)
были одинаковыми, то есть
S	св	= S	сн	= πa2 (1−0.16) = πa2				(1+ 2x +		a) a,
				4
где x = c a .
Получаем				0.21 = 2 +(1+ 2x)
								,		(4.3)

							22
		=	−(1+		2x)	+	(0.5 + x)2 +0.21.			(4.4)
		2
x	0				0.25			0.5	0.75	1
	0.18				0.13			0.1	0.08	0.07

Как видно, толщина наружной части магнитопровода «чашки» a зависит от относительной ширины окна х. Если окно отсутствует (х = 0), то максимально и равно 0.18. С увеличением х значение уменьшается до 0.1 и менее при х ≥ 0.5. Реально конструкторы приняли ≥ 0.2, обеспечивая запас сечения наружной части чашки для окон вывода обмоток. Для недопущения увеличения плотности потока в переходной части от внутреннего сечения к наружному и для обеспечения должной механической прочности тонких стенок хрупкого феррита при а ≤ 10 мм толщина а должна быть не менее 2 мм.

В приводимых далее формулах будем принимать удобные

четные цифры:
d0 = a0 = 0.4a,		(4.5)
a = 0.2a.

Теперь запишем основные выражения для геометрии Ч-МЭ на рис. 4.1.

Сечение внутренней части магнитопровода, на которой расположена катушка с обмотками

Sc	= π(a2 −a02 ) = πa2		(1−0.42 ) = 0.66a2.	(4.6)
	4	4

Примечание: здесь и далее индекс «с» взят из технической литературы и соответствует понятиям «сердечник», «сталь», хотя правильнее было ставить индекс «м» — магнитопровод. Сердечник не есть магнитопровод, сталь — не есть феррит.

Из (4.6) получается

a =1.23 Sc .	(4.7)

Сечение катушки Sк и окна Sок:

S	к	= S	ок	= h c = a2	x z.	(4.8)

23

Относительное значение окна:

Ks =

S

ок

=

a2

x z

=1.5 x z,

0.66a2

откуда

Sc

x z 0.66Ks .

(4.9)

Средняя длина витков катушки

Lк

= π(a +c) = πa(1+ x).

(4.10)

Средняя длина силовой линии магнитного потока

Lc = 2h +2c +4

a = 2a (0.4 + x + z).

(4.11)

Наружный диаметр чашки

D = a + 2c +2 a = 2a(0.7 + x).

(4.12)

Полная высота чашек (для обеих половин)

H = h + 2

a = a(0.4 + z).

(4.13)

Объем катушки

(1+ x) = a3 x z π(1+ x) =

V = S

к

L = h c π a

к

к

π(1+ x)

(4.14)

1.233 S1.5 0.66K

= S1.5

K

l ,

s

s

где

c

c

к

Значение объема

lк

= 3.8954(1+ x) 4

(1+ x).

(4.15)

сердечника определим двумя вариантами.

Первый вариант:

Vc1 = Sc

h π(D2 −a02 )2 a + π(D − a)h a =

4

= 0.66a2 a z + π 4a2

(0.7 + x)2 −0.16a

2 0.2a 2

+

4

+π 2a(0.7 + x) +0.2a 0.2a h =

=

0.4π a3 (0.45 +1.4x + x2 +1.1z + x z) =Vc1.

(4.16)

Второй

вариант:

Vc2 = Lc

a Lк +

a

a H =

a0 +

2

0.5π

= 2a(0.4 + x + z)0.2a π a(1+ x) +0.5a π 0.1a(h +0.4a) = = 0.4π a3 (0.4 + x + z +0.4 + x + x2 + z x)+0.05a3 π(0.4 + z) =

			24
=
	0.4π a3 (0.45 +1.4x +1.1z + x2 + z x) =Vc2.						(4.17)
Выражения для Vc , найденные двумя вариантами получи-
лись абсолютно одинаковыми.
Приведем выражение Vc			к типовому виду по [2], где
		V	= S1.5	l .			(4.18)
		c	c	c
Подставляя в (4.17) значение а по (4.7), получаем
	Vc = 2.34Sc1.5 (1.1z +0.45 +1.4x + x2 + z x).						(4.19)
Сопоставляя (4.18) и (4.19) запишем
		lc = 2.34(0.45 +1.4x + x2 +1.1z + z x).					(4.20)

Как видно, относительно (безразмерное) значение усредненной длины магнитопровода Ч-МЭ описывается не простой формулой. Сравните ее, например, с lc тороида:

l = π (1+ x).

c	y

Осталось записать выражения для поверхности охлаждения Ч-МЭ.

В чашечных магнитных элементах тепло от потерь мощности в катушках и магнитопроводах отдается только через наружные поверхности магнитопровода. Для конструкции на рис. 4.1 (нет охлаждающих радиаторов, дно чашки плотно крепится к металлическому корпусу) будет иметь:

Пос = Пок = πD2	2 + π D H.	(4.21)
4
Подставляя значения D, Н из (4.12), (4.13)		получим при
a =1.23 Sc по (4.7):
Пос = πD (0.5D +h +2 a) =
= π(a +2c +2 a)(0.7a +c +h +0.4a) =
= 2π a2 (0.7 + x)(0.11+ x + z) =		(4.22)

=2π a2 (0.77 +0.7x + x z +0.7z +1.1x + x2 ) =

=2π 1.5Sc (0.77 +1.8x +0.7z + x2 + x z).

25
При приведении к типовой записи по [2]
Пос = Sc lc Nc ,	(4.23)

где Nc — безразмерный периметр поверхности охлаждения. Запишем выражение (4.22) в виде:

П	= 2π 1.5S 0.45 +1.4x +1.1z + x2				+ x z +0.32 +0.4x −0.4z				. (4.24)
ос	c
	Для выражения (4.24) составляющие в скобке формулы
(4.22) приспособлены к выделению lc по (4.19).
	После преобразований в (4.24) получается
	Пос = Sc lc 4			0.75+ x − z			= Sc lc Nc ,
			1+		lc				(4.25)
	Здесь
		Nc			0.75+ x − z
			= 4 1+			lc		.	(4.26)

Безразмерный геометрический параметр Nc называют [1, 6] относительным (для lc ) периметром поверхности охлаждения

магнитного элемента. Его учитывают при расчетах оптимальных значений рабочей индукции, плотности тока и сечения магнитопровода Ч-МЭ. Для чашечных магнитных элементов поверхности охлаждения магнитопровода и обмоток одинаковы, то есть

Nc = Nк .

26

5. ЗхкДЬЦзаЦ ЙЦйеЦнкаа нйкйаСДгъзхп ещ

Конструктивное исполнение Т-МЭ показано на рис. 5.1.

Lc

a

cкн

	cкн
	D	Dн
c = d	a
cкс cок	b	H
	Lк
Рис. 5.1

Здесь обозначено:

a, b — толщина магнитопровода и его ширина; c = d — диаметр окна магнитопровода;

cкн, cкв — толщины катушки обмоток, наружная «н» и внутренняя «в» соответственно;

	27
D — наружный диаметр магнитопровода
	D = 2a +c;									(5.1)
Lc — средняя длина магнитопровода
Lc = π(a +c)								;		(5.2)
Lк — средняя длина витков катушки обмоток
L 2a +2b +2π					cср		= 2	(a +b +0.47c).		(5.3)
к						2
Число 0.47с получается следующим образом
скср = 0.5(скн +скв )						= 0.5(0.2c +0.4c) = 0.3c.				(5.4)
Принято скн = 0.2c , скв = 0.4c .
После преобразования (5.3):
		Sc				(1+ y		+0.47x) =
Lк = 2 a =
		y
= Sc 2(1+ y +0.47x)	1		=			Sc r (m + n y + q x)			1	= (5.5)
									y
		y

= Sc lк.

Здесь lк — средняя безразмерная длина витков катушки

l = r (m +n y +q x)

1

,

(5.6)

к

y

где r = 2, m =1, n = 1, q = 0.47 .

(5.7)

Сечение магнитопровода

Sc = a b = a2 y , откуда a =

Sc

.

(5.8)

y

Средняя безразмерная длина магнитопровода lc

l = π(a +c) = πa (1+ x) = π

Sc

(1+ x +0 z) = S

c

l .

(5.9)

c

y

c

Получается

π

r′

lc =

(1+ x +0 z) =

′

′

x + p z),

(5.10)

y

(m + q

y

где r

′

′

′

=1, p = 0.

(5.11)

= π, m =1, q

Объем катушки

28

Объем магнитопровода

Sc

Vc = Sc Lc = Sc π(a + c) = Sc a =

π(1+ x).

y

Получается

3

π

(1+ x)

3

= S

= S

l .

(5.12)

V

2

2

c

c

y

c

c

Vк = cкср Lc Lк = 0.3c π(a + c) 2(a + b + 0.47c). (5.13) Здесь cкср взято по (5.4), Lc по (5.2), Lк по (5.3).

Преобразуя (5.13) с учетом, что a =

Sc

по (5.8), получаем

y

3

3

S

c

2

Vк =

a

=

π 0.3x (1+ x)2(1+ y + 0.47x) =

y

(5.14)

3

0.3π

x (1

+ x)2

(1+ y + 0.47x)

1

3

= S

= S

K l ,

2

2

c

y

y

c V кт к

где KV кт — коэффициент корректировки объема катушки

K

=

0.3π

x (х+1).

(5.15)

V кт

y

Для усредненных значений y = 2, x = 2 величина KV кт 1.

Значения конструктивных коэффициентов Т-МЭ по формулам (5.7) и (5.11) потребуется при определении х, у, Кs, оптимальных для заданных удельно-экономических показателей (раздел

7.4).

Поверхность охлаждения Т-МЭ

У тороидальных магнитных элементов магнитопровод полностью закрыт обмотками катушки и считается, что поврехность охлаждения катушки Пок отдает тепло от потерь в магнитопроводе, то есть Пок =Пос. Способ охлаждения Т-МУ, естественное или

29

искусственное, на выражение Пок не влияет. Но есть два варианта для этого выражения.

Вариант 1: Окно катушки Т-МУ в охлаждении участвует

(довольно редкий для практики вариант).

Здесь

= (2a +

2b + 2π c

) L = π(a +c) =

П

ок1

кср

c

= a2 2π(1+ y +π 0.3x)(1+ x) =

2π

Sc

(1+ y +0.47x)(1+ x)

lк

= (5.16)

y

l

= Sc lк Nок1.

к

Для выражения Nок1 получается

N

ок1

=

2π

(1+ y +0.94x)(1+ x)

.

(5.17)

y

l =

2

(1+ y +0.47x)

к

y

После преобразований:

Nок1 =

π(1+ y +0.94x)(1+ x)

.

(5.18)

y (1+ y +0.47x)

Вариант 2: Окно катушки Т-МУ в охлаждении не участвует. Охлаждаются только снизу и сверху по окружностям кругов

Пок н =Пок в

Покн ≠ Покв =	πD2
	н 2
	4

и по периметру боковой поверхности Пок б

Покб = π Dн H.
Здесь	= 2a +c + 2c	,
D
н	кср
H = b + 2cкср,

при cкср 0.3c .

(5.19)

(5.20)

(5.21)

Выражение для поверхности охлаждения Т-МЭ по варианту 2 имеет вид

Пок2 = 2 πDн2 + πDн H = πDн (0.5Dн + H ) =

4

= (2a +c +0.6c)(a +0.5c +0.3c +b + 2 0.3c)π =