Теоретические положения оптимизации удельно-экономических показателей магнитных элементов

30

= 2π(a +0.5c +0.3c)(a +b +1.4c) =

= 2π a2

=

Sc

(1+0.8x)(1+ y

+1.4x)

lк

= S

c

l N

ок2

.

(5.22)

y

lк

к

Безразмерная поверхность охлаждения Т-МЭ для варианта 2

Nок2 описывается выражением

N

ок2

=

2π

(1+0.8x)(1+ y +1.4x)

.

y l

=

2

(1

+ y +0.47x)

к

y

После преобразований

Nок2 =

π(1+0.8x)(1+ y +1.4x)

.

(5.23)

y (1+ y +0.47x)

Как видно из выражений (5.18) и (5.23), значения величин Nок1 и Nок2 почти одинаковы. Объясняется это тем, что техноло-

гическое окно Т-МЭ, требуемое для намотки обмоток имеет не более (10÷12)% от общей поверхности охлаждения.

31

6. лЗьбъ ЙЦйеЦнкауЦлдап а оабауЦлдап ЗЦгауаз ещ

Порядок расчетов и инженерного проектирования МЭ достаточно полно изложен в работах [1, 2, 4, 5]. До этих расчетов, ориентируясь на техническое задание, должны быть выбраны: конструктивное типоисполнение, материалы для магнитопровода и обмоток, способ охлаждения, допустимая температура перегрева и др. Главными расчетными величинами, определяющими все последующие процессы проектирования, являются:

Магнитная индукция

7	Мв7 Мр2
B ≤ 12 Nос Nок Ks			.	(1.6)
	Р2	f (7γ−2)
	1	1*

Плотность тока в обмотках (усредненная)

N 7 N

М7

М2 f (2−γ)

j ≤ 12

ок

ос

j

р

1*

.

(2.6)

K

5

Р2

s

1

Сечение магнитопровода внутри катушек

Sc =

P1

.

(3.6)

4кф

n0 кзс

f1 кs

j B

Формула (3.6) получена из (1.5) для входной мощности P1 .

Подставляя значения В и j из (1.6) и (2.6), получаем

Sc

= 12

Nос8 Nок8

Мв7 М7j Мр4

=

Ks4

Р4 f

4(2γ−1)

1

1*

			7	7
= 3	N 2	N 2	М 4	М 4	М	р	= Sc.	(4.6)
	ос	ок	в	j
	Ks		Р	f (2γ−1)
			1	1*

Как видно из выражений (1.6), (2.6) и (4.6), все три исходные для проектирования МЭ величины содержат безразмерные поверхности охлаждения сердечников Nоc и катушек Nок, и чем

они больше, тем лучше.

32

В свою очередь величины Nоc , Nок и Ks являются функ-

циями относительных размеров х, у, z, оптимальные значения которых определяются из условия обеспечения наилучших показателей УЭП для заданных критериев минимума объема, веса или цены МЭ на единицу его входной мощности P1 .

Оптимизация показателей х, у, z проводится в разделе 7.

33

7. йинаеабДсаь ЙЦйеЦнкауЦлдап ийдДбДнЦгЦв ещ

7.1. йТМУ‚М˚В Ыр‡‚МВМЛfl ‰Оfl УФЪЛПЛБ‡ˆЛЛ

Цель оптимизации геометрических показателей МЭ: определить геометрические значения величин х0, у0, z0, Ks0 , обеспечи-

вающие наилучшие удельно-экономические показатели МЭ для заданных критериев минимума объема, массы (веса) и стоимости при известной входной мощности P1 . Для инженерной практики

удобен компромиссный вариант оптимизации, когда минимумы УЭП указанных выше трех критериев обеспечиваются близкими по своим значениям, например — отличаются на ±5%.

Минимумы УЭП определяются из [2] по выражению
								−	3
υ = ψ		Kэк	K		l	+l	K	4		,	(7.1)
i i	Kэс			s	к	c		s

где ψi — сомножитель, характеризующий условие оптимизации.

Например, для МЭ, проектируемых по условию обеспечения допустимого перегрева катушек и сердечников магнитопровода, он имеет значение

					1	(Nос Nок )0.5 .
ψi = ψτ	,τ			= Ks4			(7.2)
к			c
Если оптимизируется геометрия МЭ, не зависящая от физи-
ческих величин j и B , то ψτ		,τ		=1.
к				c

В данной книге оптимизация величин х, у, z будет проведена для случая, когда геометрия МЭ не зависит от физических величин B , j , f1 и др. Этот вариант является наиболее распростра-

ненным в инженерной практике, как дающий наиболее компактные, близкие к кубу, конструктивные формы МЭ и обеспечен простыми аналитическими приемами теоретических анализов.

Формула для оптимизации х, у, z имеет вид уравнения (7.1) при ψi =1 или уравнения (1.12), полученного в разделе 1.

С учетом значений lc по (1.7) и lк по (1.9) указанные выше уравнения получают вид

34

−

3

K

r

(r n +n

1

′

4

эс

′

′

K

r

=

K

x + p z) .

υ=r

s

s

y +q x)+(m

+q

0

Kэк

r′

y

(7.3)

Выражение (7.3),

как функция υ(Ks ) для семейств кривых

при х, у, z неизменных имеет минимумы. Это позволяет записать систему уравнений для частных производных

∂υ

′

1

∂y

= r0 Ksn −(r0 Ksm

+ m )

= 0,

y

∂υ

= r K

q + q′− pK

x2

= 0,

∂x

s y

0

s

∂υ

′

z

2

∂z

= p − Ks (r0 Ksq +q

)

= 0.

y

Из тождества (7.4) получаем

y	=	m		+	m′	,
0		n			r0 Ks0n
x	=			y0 pKs0			,
0			r0 Ks0q + q′

(7.4)

(7.5)

(7.6)

z0 =

y0 Ks0

(r0 Ks0q −q′).

(7.7)

p

В выражениях (7.5), (7.6), (7.7) значения

Ks0

определяется

по точкам минимумов кривых υ(Ks ,r0 )

или по формуле

Ks0 =

α

m′

q′

при α = 0.5

+

.

(7.7а)

r0

q

m

Всегда должны выполняться тождества

Ks0 =

x0 z0

, z0 =

Ks0 y0

.

y0

x0

Подставляя в выражение (7.3) значения х, у, z без индекса

«0» из (7.5), (7.6), (7.7), получаем

−

1

m′

q′

υ = 2r′ Ks 4 n m r0

r0 Ks +

+ p q r0 Ks

+

. (7.8)

q

m

35

Выражение (7.8) достаточно точно оппроксимируется формулой

(r K

s

+α)2

υ = A4

0

,

(7.9)

Ks

где

m′

q′

α = 0.5

+

,

(7.10)

m

q

A = 2r′(

m n r0 +

p q ),

(7.11)

r

=

Kэк

r

.

(7.12)

Кэс

0

r′

Частная производная ∂υ ∂Ks = 0 дает

r0 Ks = α,

откуда

= α.

Ks0

(7.13)

r0

Области минимумов кривых υ = f (Ks ,r0 )

не являются уз-

кими, поэтому, кроме однозначного определения Ks0 по (7.13), можно брать величину этого коэффициента из кривых υ(Ks ,r0 ) в пределах Ks0мин < Ks0 < Ks0мак, соответствующих двум значениям υ =1.05υмин (левое и правое).

Расчеты параметра r0

Этот параметр определяется по выражению (7.12). Он показывает, как единицы объема катушек и магнитопровода МЭ отличаются в сравнительной оценке по весу (массе) или цене. При оптимизации по объему всегда Kэк = Кэс.

Экономические показатели единицы объема для массы определяются по формулам (1.3)

Kэк = Kзкgк, Kэс = Kзсgс;

36

для стоимости (цены) — по (1.4)

Kэк = KзкgкЦк, Kэс = KзсgсЦс.

Численные значения Kэк и Kэс зависят от выбранных для

обмоток и магнитопровода материалов.

Обмотки могут быть выполнены проводниками из меди или алюминия их сечения — круглыми, прямоугольными (шинки), ленточными, многожильными; изоляция — низковольтная или высоковольтная, да еще разделять по классам термостойкости. Указанные разнообразия имеют вполне определенные значения коэффициента заполнения катушек Kзк , удельного веса провод-

ников gк и их цены Цк.

Магнитопроводы выполняются из сталей (электротехнические, сплавы, пермаллой и др.) или быть прессованными (ферриты, оксиферы и др.). Это определяет значения коэффициентов заполнения Kзс, удельного веса gс и цены Цс сердечников.

В целом численные значения Kэк и Kэс имеют большой

диапазон. Например, если проводники круглые, алюминиевые, с низковольтной изоляцией, а магнитопровод из сталей, то получится Kэк Kэс 0.15. При замене залей на феррит Kзк Kзс 0.2.

Если алюминий заменить на медь, то для магнитопровда из сталей Kэк Kэс 0.25. При выполнении обмоток из медной шинки с

низковольтной изоляцией, а сердечник из сталей Kэм Kэс 0.45. Замена здесь сердечника из сталей на феррит даст Kэм Kэс 0.6 .

Для ценовых данных соотношение экономических показателей может быть в пределах 2.5 1.5.

Таким образом, для каждого конкретного случая оптимизаций величин x0 , y0 , z0 и Ks0 нужно подсчитать свое значение r0 по формуле (7.12).

Вданной книге будут проводиться анализы для (4 5) значе-

ний r0 , например: 2, 1, 0.5, 0.15.

Взаключение отметим, что выражение (7.9) и его состав-

ляющие части (7.10) (7.13) справедливы для МЭ всех конструктивных исполнений.

37

7.2.йФЪЛПЛБ‡ˆЛfl „ВУПВЪрЛЛ ТЪВрКМВ‚˚ı П‡„МЛЪМ˚ı ˝ОВПВМЪУ‚

Значения конструктивных коэффициентов С-МЭ определе-

ны и представлены в разделе 2:
для lк: r = 2, m =1, n = 1, q = 0.7 ;										(по 2.5)
для lc : r′ = 2 , m′ = 0.5π, q′ = 1,						p = 1.				(по 2.9)
Получаем:
m′			q′			0.5π		1
α = 0.5		+			= 0.5		+		=1.5.	(по 7.10)
	m		q			1		0.7
A = 2r′( m n r0 +				p q ) = 2.2(			1 1 r0 + 1 0.7 ) =
		= 4(			r0 +0.84).					(по 7.11)
Теперь для построения кривых υ(r0 , Ks )									для С-МЭ получаем
υ(r0 , Ks ) = 4(					r0 +0.84)4 (r0 Ks +1.5)2 .					(7.14)

Здесь сомножитель 4 можно убрать, как масштабный. Семейство кривых по (7.14) показано на рис. 7.1. Построены

они по точкам табл. 7.1.

Таблица 7.1 — Построение кривых υ(r0 , Ks ) по (7.14) (рис. 7.1)

				Значения υ для Ks =							Значения Ks0
											по (7.7а)
		0.02	0.2		0.3	0.5	1		1.5	2
r0	= 2	7.52	4.7		4.46	4.29	4.27		4.37	4.5	0.75
r0	= 1.5	6.87	4.19		3.94	3.73	3.62		3.66	3.73	1
r0 = 1		6.03	3.59		3.34	3.1	2.9		2.88	2.9	1.5
r0	= 0.5	5.06	2.93		2.69	2.44	2.19		2.1	2.06	3
r0 = 0.15		3.84	2.18		1.98	1.76	1.52		1.4	1.33	10

38
υ
Ksк = 1	= 2
r0
r0	=1.5
r0	=1
r0	= 0.5
r0	= 0.15
Рис. 7.1	Ks
Как видно из рис. 7.1 и табл. 7.1, кривые υ(r0 , Ks ) являются
очень пологими со слабо выраженным минимумом. Это даст
большую свободу выбора значений x0 , z0 для заданных r0 .
Для каждой из кривых на рис. 7.1 по формулам (7.5), (7.6) и
(7.7) определены показатели величин x0 , y0 и z0 . Данные приве-
дены в табл. 7.2.

Таблица 7.2 — Оптимальные значения x0 , z0 , y0 для С-МЭ

Минимумы УЭП			Параметры
для	r0	Ks0		x0		z0	y0
Цены при медных	2	0.75		0.85		1.75	2
обмотках
Цены при алюминиевых	1.5	1		1		1.6	2
обмотках
Объема	1	1.5		1.2		2.5	2
Массы (веса) при медных	0.5	3		1.7		3.5	2
обмотках
Массы при алюминиевых	0.15	10		3		6.5	2
обмотках
Компромисснойгеометрии	1	1		1		2	2

39

Особенности параметров табл. 7.2 следующие. Значение y0 не зависит от r0 и Ks0 и остается равным 2.

Значения x0 и z0 увеличиваются с увеличением параметра r0 . Слабая зависимость показателя υ от значений Ks дает

большие свободы значений х и z для инженерных расчетов. Очень хорошие показатели имеет компромиссная геомет-

рия.

7.3. йФЪЛПЛБ‡ˆЛfl „ВУПВЪрЛЛ ·рУМВ‚˚ı П‡„МЛЪМ˚ı ˝ОВПВМЪУ‚

Значения конструктивных коэффициентов Б-МЭ определе-

ны и представлены в разделе 3:

для lк: r = 2, m =1, n =1, q = 1.4 ;

(по 3.6)

для lc : r′ = 2 , m′ = 0.25π,

q′ = 1, p = 1.

(по

3.11)

Получаем:

m′

q′

0.25π

1

α = 0.5

+

= 0.5

+

= 0.75.

(по 7.10)

m

q

1

1.4

A = 2r′(

m n r0 +

p q ) = 2.2(

1 1 r0 + 1 1.4 ) =

= 4(

r0 +1.18).

(по 7.11)

Для построения кривых υ(r0 , Ks )

согласно выражению (7.9)

получаем для Б-МЭ

υ = A4

(r0 Ks

+α)

= 4(

r0 +1.18)4 (r0 Ks +0.75)2 .

Ks

Ks

Опуская масштабное число 4 будем иметь

υ(r0 , Ks ) = (

r0 +1.18)4 (r0 Ks +0.75)2 .

(7.15)

Ks