Математика. Дополнительные главы

Томский государственный университет систем управления и радиоэлектроники (ТУСУР)

А.А. Ельцов

Дополнительные главы математики 4-й семестр

Курс лекций Учебное пособие

Для специальности 09.03.01 « информатика и вычислительная техника»

ТОМСК – 2018

1

Приведён конспект лекций по дисциплине «Дополнительные главы математики». Курс прочитан весной 2018 года в группах 436-1,2,3 и включает в себя введение в теорию функций комплексного переменного, теорию числовых и функциональных рядов в комплексной форме, теорию степенных рядов (Тейлора и Лорана), ряды Фурье, преобразование и интеграл Фурье, преобразование Лапласа (операционное исчисление).

2

СОДЕРЖАНИЕ

1. Введение в теорию функций комплексного переменного	4
1.1. Комплексные числа и действия над ними …..………	4
1.2. Отображения. Образы и прообразы линий ………….	8
1.3. Некоторые функции комплексного переменного …..	9
1.4. Предел функции комплексного переменного,
непрерывность ………………………………………..	11
1.5. Голоморфные (аналитические) функции комплексного
переменного, геометрический смысл модуля и аргумента произ-
водной ...................................................................	14
1.5. Интеграл от функции комплексного переменного ……….	18
1.6. Теоремы Коши для односвязной и многосвязной областей.
Интегральная формула Коши ………………..…………..	21
2. Представление функций рядами …...………………………..	26
2.1. Числовые ряды ...…………………….………………….	26
2.2. Функциональные ряды ……………….………………….	38
2.3. Степенные ряды ………………..………………………....	48
2.4. Ряды Тейлора и Лорана ….………………………….……	49
2.5. Нули аналитических функций. Особые точки ……….……	52
2.6. Вычеты …………………………………………….………..	62
2.7. Вычисление интегралов с помощью вычетов ….…...	65
3. Ряды Фурье ……………………………………………………..	68
4. Интегральные преобразования ………………………………...	83
4.1. Преобразование Фурье, интеграл Фурье, синус и косинус
преобразования Фурье …………….……………………...	84
4.2. Преобразование Лапласа …………………………………..	88
Литература .……………………………………………….	95

3

1. Введение в теорию функций комплексного переменного

1.1 Комплексные числа и действия над ними

При решении алгебраических уравнений степени два и выше иногда приходится рассматривать конструкции вида

a b 1 , где a и b – некоторые действительные числа. На-

пример, подставляя формально конструкцию						1 2 1 в не
имеющее	действительных корней уравнение					x2 2x 5 0 ,
	1 2		2 2 1 2		5 . Действуя в получен-
получаем		1		1

ном выражении с конструкцией 1 2 1 как с двучленом по

правилам алгебры, известным из школы, раскрывая скобки и приводя подобные, имеем

(1)2 2 2

2

2

1

1

2 2 2

1 5 4 4 ( 1) 0 .

Таким образом,

конструкцию

1 2

1 можно

считать

корнем

новой природы

(не

действительным)

уравнения

x2 2x 5 0 .

Пусть i

– некоторый формальный символ, x и

y

– дейст-

вительные (вещественные) числа. Конструкции вида

z x iy

назовём комплексными числами,

x

действительной, а

y мни-

мой частями комплексного числа z x iy

и будем обозначать

их соответственно x Re z,

y Im z . Число x iy будем назы-

вать сопряжённым

(комплексно

сопряжённым)

к

числу

z x iy

и обозначать z . Два комплексных числа будем счи-

тать равными, если совпадают их действительные и мнимые части. На множестве комплексных чисел введём операции сложения и умножения по формулам:

z1 z2 (x1 iy1) (x2 iy2 ) (x1 x2 ) i( y1 y2 ) ; z1z2 (x1 iy1)(x2 iy2 ) (x1x2 y1 y2 ) i(x1 y2 x2 y1) .

4

Заметим, что z z			2Re z 2x , z z 2Imz 2y , следова-
тельно x Re z	z z	,	y Im z	z z	.
2				2i
Если действительные числа отождествить с комплексными
числами вида x 0 i ,			то складывая и умножая числа x 0 i и
y 0 i по приведённым выше формулам, получаем

(x 0 i) ( y 0 i) (x y) i (0 0) (x y) 0 i , (x 0 i)( y 0 i) (xy 0 0) i(x 0 y 0) xy 0 i .

Как видим, операции сложения и умножения комплексных чисел вида x 0 i не выводят за множество чисел этого вида (то есть получаются числа того же вида). Поэтому можно считать, что операции сложения и умножения совпадают с обычными операциями над действительными числами и считать комплексные числа расширением множества действительных чисел. Из введённых выше операций над комплексными числами следует, что для комплексного числа i 0 i 1 получаем

i2 (0 i 1)(0 i 1) (0 0 1 1) i(0 1 1 0) 1 0 i 1.

Заметим, что операции сложения и умножения комплексных чисел производятся как соответствующие операции над двучленами с раскрытием скобок и приведением подобных и учётом того, что i i 1. Слагаемые вида 0 и 0 i обычно опускаются.

Обратные операции определяются однозначно и задаются формулами:

z1 z2 (x1 iy1) (x2 iy2 ) (x1 x2 ) i( y1 y2 ) ;

	z1			x1 iy1			(x1 iy1 )(x2 iy2 )						(x1x2 y1 y2 ) i(x2 y1 x1 y2 )			.
				x iy
	z	2			2		(x iy	2	)(x iy	2	)		(x )2 ( y		)2
				2		2			2				2	2
		Каждому комплексному числу											z x iy	сопоставим точку
(x, y)				плоскости R2 . Этим устанавливается взаимно однознач-

ное соответствие между комплексными числами и точками плоскости. Операция сложения комплексных чисел совпадает с операцией сложения радиус-векторов точек (x, y) . Для опера-

ции умножения комплексных чисел не находится соответствующей операции над векторами.

5

z x iy

Модулем

z

комплексного числа

назовём длину

радиус-вектора точки (x, y) , то есть число

z

x2 y2 . Заме-

тим, что zz x2 y2

z

2 . Далее,

x

y

z x iy

x2 y2

i

.

x

2

y

2

x

2

y

2

Числа

x

и

y

являются соответственно ко-

x2

y2

x2

y2

синусом и синусом угла между радиус-вектором точки (x, y) и осью OX . Поэтому можем записать z z (cos isin ) . Эта

форма записи числа z называется тригонометрической формой комплексного числа. Угол при этом называется аргументом

числа z . Совершенно ясно, что числа, аргументы которых отличаются на 2 , совпадают. Среди всех значений аргумента числа z выбирают значение, называемое главным и обозначают его arg z .

Совмещая алгебраическую и тригонометрическую формы комплексного числа z , можем записать

z x iy Re z i Im z z (cos isin ) z cos i z sin .

Следовательно, x Re z

z

cos , y Im z

z

sin . Разде-

лив

мнимую

часть

на действительную, получаем

y

Im z

z

sin

tg ,

или выписывая крайние части соотно-

cos

x

Re z

z

шения, tg xy . Если x Re z 0 , то есть комплексное число z

лежит в правой полуплоскости (в первой или четвёртой четвер-

ти), то	arctg	y	Если же			x Re z 0 , то есть комплексное
		x
число z	лежит в левой полуплоскости (во второй или третьей
четверти), то arctg				y	.	Отметим частные случаи. Если
				x

6

число z действительное и положительное, то есть x Re z 0 , y Im z 0 , то 0 , если число z действительное и отрица-

тельное, то есть x Re z 0 , y Im z 0 ,	то . Если число
z мнимое, то есть x Re z 0 , то в случае		y Im z 0			, а
				2
в случае y Im z 0 можно взять либо		3	, либо .
	2			2

Подводя итог вышесказанному, получаем, что при выборе главного значения аргумента из промежутка [0,2 ) его находят

по формулам

y

если x 0, y 0,

arctg

,

x

,

если x 0, y 0,

2

y

arg z

arctg

,

если x 0,

x

3

,

если x 0, y 0,

2

y

2 arctg

, если x 0, y 0.

x

Удобным также является выбор главного значения аргумен-

та из промежутков [ , )

3

и

,

. Формулы для нахожде-

2

2

ния главного значения аргумента при выборе его из промежут-

[ , )

3

ков

и

,

предлагается написать самостоятельно.

2

2

Все

значения

аргумента обозначают Arg z . Отметим, что

Argz arg z 2k .

Полагая

ei cos isin , можем записать z

z

ei . Эта

форма записи числа z называется показательной формой записи комплексного числа. Так как

e i cos( ) isin( ) cos isin , то, складывая и вычитая с ei , получаем формулы Эйлера:

7

	ei e i		ei e i
cos		, sin		.
	2		2i
Далее,

ei 1 ei 2 (cos 1 isin 1)(cos 2 isin 2 )cos( 1 2 ) isin( 1 2 ) ei( 1 2 ) .

Поэтому

z1z2 z1 (cos 1 isin 1) z2 (cos 2 isin 2 )

z1 z2 cos( 1 2 ) i sin( 1 2 ) z1 z2 ei( 1 2 ) .

Таким образом, мы получили, что при умножении комплексных чисел их модули перемножаются, а аргументы складываются. Аналогично можно получить, что при делении комплексных чисел их модули делятся, а аргументы вычитаются.

Как следствие этих результатов, получаем формулы возведения комплексного числа в степень n и извлечения корня n - ой степени из комплексного числа, называемые формулами Муавра:

zn

z

n ein

z

n (cos n i sin n) ;

cos

2k i sin

2k , k 0,1,..., n 1 .

n z n

z

n

n

Заметим, что для любого действительного отрицательного числа главное значение аргумента равно , для любого действительного положительного числа главное значение аргумента равно 0 .

1.2. Отображения. Образы и прообразы линий

Пусть G и D – области на комплексной плоскости. Будем говорить, что задано отображение из G в D ( f : G D ), если для

всякой точки z G по некоторому правилу или закону поставлена в соответствие точка w D . Точка w f z называется образом точки z , а точка z - прообразом точки w при отображении f . Соответственно, если Г и L – кривые в комплексной

плоскости, то f Г - образ кривой Г, а	f 1 L z C : f z L
- прообраз кривой L при отображении	f .

8

Так как z и w комплексные числа,	то можем написать
w u iv f z f (x iy) u(x, y) iv(x, y) .	Таким образом,

отображению f : C C комплексной плоскости в комплексную

плоскость соответствует отображение	u		u(x, y)		действи-
	v		v(x, y)

тельной плоскости R2 в действительную плоскость R2 . Тогда графику функции z, f z в C C C 2 соответствует график отображения x, y,u(x, y),v(x, y) в R2 R2 R4 . В четырёхмер-

ном пространстве рисовать несколько проблематично. Поэтому для комплекснозначных функций комплексного переменного изучают образы и прообразы областей и кривых, лежащих на комплексной плоскости.

Всякая		кривая	на плоскости, заданная параметрически,
x x(t),	,	t [ , ] ,	может быть записана в комплексной форме
y y(t)
z z(t) x(t) iy(t) ,			t [ , ] . Будем пользоваться той формой

записи, которая нам удобна. Пусть кривая в исходной плоскости, назовём её плоскостью z , задана параметрически,

x x(t),	t [ , ] . Тогда образом этой кривой в плоскости, ко-
y y(t),

u u(x(t), y(t)),

торую назовём плоскостью w , будет кривая

v v(x(t), y(t)),

t [ , ] .

1.3. Некоторые функции комплексного переменного

Перечислим элементарные функции комплексного перемен-

ного. Всюду ниже константы	a, b, c, d	и так далее предпола-
гаются комплексными числами.
Линейное отображение	w az	и линейная функция

w az b . Рассмотрим этот оператор немного подробнее. Запишем числа a и z в показательной форме, a a ei arg a , z z ei arg z . Тогда

9

w az a ei arg a z ei arg z a z ei(arg z arg a) ,

w az b a ei arg a z ei arg z b a z ei(arg z arg a) b

Таким образом, при отображении w az комплексная плоскость в точке z растянулась в a раз и повернулась на угол arg a . При отображении w az b плоскость ещё и сдвину-

лась на число b .

Перечислим и некоторые другие функции комплексного переменного.

Дробно-линейная функция w az b . cz d

Степенная функция w zn и её частные случаи при различных n .

Дробно-рациональная функция

w an zn an 1zn 1 ... a1z a0 . bn zn bn 1zn 1 ... b1z b0

Показательная функция w ez ex iy exeiy . Логарифмическая функция

w Lnz ln z i(arg z 2k ) ln z iArgz

и её главное значение

w ln z ln z i arg z .

Тригонометрические функции комплексного переменного

sin z

eiz e iz

, cos z

eiz

e iz

,

2i

2

tgz

sin z

eiz e iz

, ctgz

cos z

i(eiz e iz )

.

cos z

i(eiz e iz )

sin z

eiz e iz

Гиперболические функции

shz

ez e z

, chz

ez e z

,

2

2

thz

shz

ez e z

, cthz

chz

ez e z

.

chz ez e z

shz ez e z

10