Математика.-1

Томский государственный университет систем управления и радиоэлектроники

Приходовский М.А.

Математика Учебное пособие (курс лекций) 2 семестр

для специальности 09.03.03 прикладная информатика в экономике

Томск

ТУСУР

2017

1

Электронное пособие составлено и скорректировано с учѐтом реального проведения лекций на ФСУ в гр. 446-1-2 весной 2017 года.

2

Оглавление по темам
ГЛАВА 1. ИНТЕГРАЛЫ.	5
§1. Определения и основные методы.	5
§2. Интегрирование рациональных дробей.	11
§3. Интегрирование иррациональностей и тригонометрических
выражений.	17
§4. Определѐнный интеграл и его приложения.	27
§5. Несобственный интеграл.	38
§6. Кратные интегралы.	46

ГЛАВА 2. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ.		60
§ 1. Дифференциальные уравнения 1-го порядка.		60
§ 2.	Дифференциальные уравнения порядка n.	70
§ 3.	Линейные дифференциальные уравнения порядка n.	74
§ 4.	Системы дифференциальных уравнений.	87
§ 5.	Комплексные числа, их связь с дифф.уравнениями.	90

ГЛАВА 3. РЯДЫ.		104
§ 1. Числовые ряды.		104
§ 2.	Функциональные ряды.	117
§ 3.	Степенные ряды.	120
§ 4.	Ряды Тейлора и Лорана.	126
§ 5.	Ряды Фурье.

3

Оглавление по номерам лекций
Лекция 1. 14.02.2017	5	- 15
Лекция 2. 21.02.2017	16	- 26
Лекция 3. 28.02.2017	27	- 38
Лекция 4. 07.03.2017	38	- 49
Лекция 5. 14.03.2017	50	- 59
Лекция 6. 21.03.2017	60	- 69
Лекция 7. 28.03.2017	70	- 79
Лекция 8. 04.04.2017	79	- 89
Лекция 9. 11.04.2017	90 - 101
Лекция 10. 18.04.2017	102 -114
Лекция 11. 25.04.2017	115 -125
Лекция 12. 02.05.2017	126 -134
Лекция 13. 16.05.2017	135 - 143
Лекция 14. 23.05.2017	144 - 152
Лекция 15. 30.05.2017	153 - 154
Приложение 1. Вопросы на доказательства.	155
Приложение 2. Мелкие и устные вопросы на знание теории
(для коллоквиумов).		161
Приложение 3. Задачи из лекций.		166
Литература		172

4

ЛЕКЦИЯ № 1. 14. 02. 2017

ГЛАВА 1. ИНТЕГРАЛЫ.

§1. Определения и основные методы. Определение. Если F (x) f (x) , то F(x) называется

первообразной от функции f (x) .

Свойство. Если F(x) первообразная, то F(x) C (для любого

C R ) тоже является первообразной для той же самой функции	f (x) .
Это легко доказать, действительно, (F(x) C) = f (x) 0 =	f (x) .

Таким образом, первообразных бесконечно много, то есть, если поднять или опустить на любую высоту график F(x) , снова будет первообразная.

Свойство. Если F1 (x) и F2 (x) две различные первообразные

функции f (x) , то F1 (x) F2 (x) С .

Доказывается так: (F1 (x) F2 (x)) С , то есть f (x) f (x) 0 . Определение. Множество всех первообразных от одной и той же

функции f (x) называется неопределѐнным интегралом этой функции.

Обозначение: f (x)dx F(x) C .

Свойства линейности.

1.af (x)dx a f (x)dx

2.f (x) g(x)dx f (x)dx g(x)dx

Замечание.

Для произведения свойство f (x)g(x)dx f (x)dx g(x)dx не существует. Чтобы убедиться в этом, достаточно рассмотреть любые 2

	простейшие функции, например	f (x) x ,						g(x) x . Тогда:
	f (x)g(x)dx x xdx = x2 dx =		1		x3		C , в то же время
			3
	x 2 2								x 4
						C =				C .
	f (x)dx g(x)dx xdx xdx =	2							4

5

Впрочем, можно даже рассмотреть

f (x)

произвольную, g(x) 1.

Тогда f (x)g(x)dx f (x)dx F(x) C ,

f (x)dx g(x)dx f (x)dx 1dx = F (x) x C .

Таблица основных интегралов.

0dx C

x a dx

x a 1

C

( a 1 )

a 1

1

dx ln | x | C

x

1

dx arctgx C

1

dx

1

arctg

x

C

2

2

a

2

x

1

x

a

a

1

dx arcsin x C

1

dx arcsin

x

C

1

x 2

a 2 x 2

a

a x dx

a x

C

ex dx ex C

ln a

cosxdx sin x C ;

sin xdx cosx C

1

dx tgx C

1

dx ctgx C

2

sin

2

x

cos

x

Объяснение причины возникновения модуля в

1

dx ln

x

C .

x

1

Функция

ln x существует только на правой полуоси, тогда как

x

имеет две ветви, на правой и левой полуоси. Получалось бы противоречие, что производная от несуществующей функции есть на

левой полуоси. Функция ln x является чѐтным продолжением ln x на

левую полуось, и именно она там является первообразной для 1 при x

x 0.

6

Методы интегрирования.

1. Преобразования подынтегральных выражений.

Различные преобразования, например, арифметические (домножить и поделить, прибавить и отнять), выделение полного квадрата, разбиение многочлена на множители, преобразования по тригонометрическим формулам, и т.д. нередко помогают упростить исходное выражение, разбить его на несколько более простых слагаемых, которые уже сводятся к интегралам табличного типа. На практике рассмотрены разнообразные примеры на виды этих преобразований. Часто нужно домножить и поделить, чтобы сформировать готовое выражение, являющееся производной от известной функции. Например,

Пример. x2dx = 13 3x2 dx = 13 x3 C .

Когда сформировали выражение 3x 2 , а заодно поделили на 3 перед интегралом, теперь уже точно невозможно перепутать или

забыть коэффициент.
Аналогично, допустим, что мы помним,	что (eax ) aeax .	Тогда
можно постараться сформировать готовое	выражение типа	aeax

внутри интеграла. Тем самым мы автоматически докажем, что при интегрировании такое выражение на этот коэффициент делится, а не домножается:

Пример. eaxdx = 1a aeaxdx = 1a eax C .

Тригонометрические преобразования: Пример. Вычислить cos2 xdx .

Решение. Применим формулу понижения степени.
		cos2	xdx =				1 cos2x				dx		=		1	1dx		cos2xdx =
								2							2
1			1							x			1
		x			sin 2x			C	=					sin 2x C .
2			2							2			4

7

Пример. Вычислить

x

dx .

x a

x

x a a

a

Решение.

dx =

dx = 1

dx =

x a

x a

x a

1dx a

1

dx = x a ln

x a

C .

x a

Ответ. x a ln

x a

C .

2. Замена переменной.

Бывают такие случаи, когда функция имеет вид f (g(x)) , то есть явно видно, что всѐ выражение зависит от какого-то однотипного блока, например всѐ выражается через sin x или x . Делается замена на t , только нужно не забыть пересчитать dx , потому что dx dt , если только замена не является простым линейным сдвигом t x a .

Пример.

Вычислить

x

1

dx .

x

Решение. Сделаем замену t

x , тогда x t 2 ,

dx (t 2 ) dt ,

dx 2tdt .

1

t 1

x

dx =

2tdt

= (2t 2)dt = t 2 2t C .

x

t

Обратная замена: t 2 2t C =

2 2

x

x

C =

x

2

x C .

Более того, область определения исходной функции

(0, ) из-за

наличия в ней квадратного корня, точка 0 не входит в область определения, так как корень там и в знаменателе, так что знак модуля

в ответе является излишним, ответ можно записать так: x 2 x C .

Если в функции присутствуют корни разного порядка, например x и 3 x , то замена должна происходить через корень порядка НОК (наименьшее общее кратное). Причина в том, что именно при этом все корни переводятся в целые степени от t .

Если t 6 x , тогда: x t 6 , dx 6t 5 dt .

8

Объяснение, почему все корни выразятся через целые степени t :

1

2

= 6

2 t 2 ,

3 x x 3

x 6

x

1

3

= 6

3 t 3 .

x x 2

x 6

x

3. Подведение под знак дифференциала.

Если интеграл имеет вид f (g(x))g (x)dx , то есть в функции

присутствует какой-то множитель, который достаточно легко подлежит интегрированию, а в остальном множителе есть явная зависимость от его первообразной, то это значит, что подынтегральная функция есть производная от композиции f (g(x)) .

Тогда можно g (x)dx объединить и назвать d (g(x)) , и далее g(x)

можно будет повсеместно заменить на t . Рассмотрим, как это действует, на примерах.

Пример. Вычислить sin 2 x cosxdx .
Решение.	sin 2 x cosxdx = sin 2 xd(sin x) , фактически здесь уже
подготовлена	замена t sin x , более того, дифференциал

пересчитывать не нужно, потому что под дифференциалом и так

сформировано то же самое, что будет	называться t . То есть, это
частный случай замены переменных, только более простой.
Итак, вид интеграла получается t 2 dt	=	1	t 3 C .
	3

Сделаем обратную замену, и вот ответ: 13 sin 3 x C .

1							1
			3						2		2
Проверка:		sin		x		=		3sin		x sin x = sin		x cos x , то есть
	3						3

именно исходную подынтегральную функцию мы и получили.

4. Интегрирование по частям.

Существует более общий метод, чем подведение под знак дифференциала. Иногда вовсе не требуется, чтобы первообразная от

9

того множителя, который подводится под dx, была как-то связана с остальной частью функции. Запишите формулу:

udv uv vdu

Такой короткий вид легче выучить наизусть, а теперь запишем более подробно, чтобы понять смысл.

u(x)v (x)dx u(x)v(x) v(x)u (x)dx .

Если есть два множителя, и один из них интегрируется довольно легко (он обозначен v ) то можно перейти к интегралу, в котором наоборот, u понижено до производной, а v повышено до первообразной. Иногда именно это помогает упростить дальнейшие вычисления.

Доказательство формулы.

Вспомним, что по правилу дифференцирования произведения, которое мы доказывали в прошлом семестре: u(x)v(x) =

u (x)v(x) u(x)v (x) . Тогда u(x)v (x) = u(x)v(x) u (x)v(x) .

Тогда и неопределѐнные интегралы от этих двух функций совпадают:

u(x)v (x)dx = u(x)v(x) dx u (x)v(x)dx .

Но первообразная от производной, это сама функция и есть, т.е.

u(x)v(x) dx u(x)v(x) C .
Поэтому	u(x)v (x)dx = u(x)v(x) u (x)v(x)dx .
Пример. Вычислить xex dx .
Решение.	Если обозначить u x ,	v e x , то при переходе к	u

степенной понизится степень, в данном случае она вообще перейдѐт в 1. А вот для второго множителя переходим к первообразной, но там

не усложняется, остаѐтся точно так же как и было, e x . Поэтому на следующем шаге интеграл содержит вообще не два множителя, а один!

10