Основы физической оптики

181

можно использовать параксиальное приближение, т.е. считать, что амплитуда A(x,z) изменяется в направлении z намного медленнее, чем в направлении x. Уравнение, описывающее поведение пучка в нелинейной диэлектрической среде, получим, исходя из стандартной системы уравнений Максвелла:

rotH = ¶D

¶t

rotE = - ¶B

¶t

Для этого используем обычную процедуру, применяя к обеим частям второго из этих уравнений операцию rot:

¶

¶

¶2

D

rot( rotE ) = -

rotB = -m

rotH = -m

,

¶t

¶t 2

¶t

= -m ¶2

) - Ñ2

D

. Поскольку для диэлектрической среды

или grad( divE

E

¶t 2

) = 0 , то получаем:

grad( divE

= m ¶2

= -mew2

Ñ2

D

(8.11).

E

E

¶t 2

С учетом (8.10) выражения для пространственных

производных поля

E

имеют вид:

	¶2 E	=	¶2 A	× exp( ikz - iwt )
	¶x2		¶x2
¶2 E =	¶2 A exp( ikz - iwt ) + 2ik				¶A exp( ikz - iwt ) - k 2 A × exp( ikz
¶z 2	¶z2				¶z

В параксиальном приближении можно положить

¶2 A

второй производной ¶z2 , тогда (8.11) примет вид:

¶2 A + 2ik ¶A - k 2 A = -mew2 A ¶x2 ¶z

¶2 A << ¶A ¶z2 ¶z

(8.12a),

-iwt ) (8.12б).

ипренебречь

(8.13).

Здесь мы ограничились скалярным приближением, считая световой пучок линейно поляризованным. Поскольку рассматриваемая среда является оптически нелинейной, представим выражение для ее диэлектрической проницаемости ε в форме:

e = el + enl (		E		2 )	(8.14),

где el и enl – линейная и нелинейная составляющие диэлектрической

проницаемости. Но mel w2 = k 2 , поэтому:	¶2 A + 2ik	¶A = -menl w2 A или:
	¶x2	¶z

182

¶A i			¶2 A		imenl w2
¶z -		×	¶x2	=		A
	2k				2k

Правую часть этого уравнения запишем в форме:

ime	nl	w2e	l	=	ik 2e	nl	=	ik	×	e	nl
2kel					2kel			2		el

Но enl можно представить как enl=e– el=De. Т.к. e=n2, то: De = ( n2

enl

=

2n × Dnnl

=

2Dnnl

. Таким образом, (8.15) примет вид:

el

n2

n

¶A

-

i

×

¶2 A

=

ikDn

nl

A

¶z

2k

¶x2

n

(8.15).

(8.16).

)¢ = 2n × Dn и

(8.17).

Это уравнение для амплитуды светового пучка, распространяющегося в нелинейно – оптической среде. В правой части данного уравнения величина нелинейной добавки к показателю преломления среды nnl является функцией пространственных координат и зависит от локальной интенсивности светового поля. Рассмотрим различные механизмы оптической нелинейности, приводящие к изменениям показателя преломления среды на частоте распространяющегося в ней светового поля.

1. Керровская оптическая нелинейность, обусловленная нелинейной связью наведенной поляризации в среде и напряженности электрического поля в световой волне. Это изменение показателя преломления на частоте

падающей волны в среде с кубичной нелинейностью (см.				8.7). Величина
изменения показателя преломления определяется соотношением:
Dn( к ) = n			× I( x, z )	(8.18),
nl	( 2 )
где n(2) – нелинейный показатель		преломления среды.		Для обычных

материалов (газы, жидкости, стекло, кристаллы) величина n(2) очень мала, так что заметные изменения показателя преломления, приводящие к эффектам пространственного самовоздействия световых пучков, наблюдаются при интенсивностях света в сотни МВт/см2 и более. Данный механизм характеризуется очень высокой скоростью отклика (она ограничивается лишь инерционностью электронов).

Отметим, что знак нелинейного показателя преломления n(2) определяет знак нелинейности среды. В случае n(2)>0 среда называется самофокусирующей, при n(2)<0 ее называют самодефокусирующей.

2. Термооптическая нелинейность – изменение показателя преломления при изменении температуры среды, обусловленном поглощением света. Величина изменения показателя преломления в этом случае определяется соотношением:

Dn( TO ) =	∂n	× dT [ I( x, z )]	(8.19),
nl	¶T

183

где ∂n - температурный коэффициент показателя преломления, а dT[I(x,z)] –

¶T

локальное изменение температуры среды вследствие поглощения света. Термооптическая нелинейность может быть значительно более сильной, чем керровская, однако она и значительно более медленная.

3. Оптическая нелинейность, обусловленная фоторефрактивным эффектом. Как отмечалось в п. 7.3, такая нелинейность обусловлена изменением показателя преломления вследствие линейного электрооптического эффекта при условии индуцирования светом в фоторефрактивном кристалле электрического поля пространственного заряда. Она может быть поистине гигантской, приводя к значительным возмущениям показателя преломления даже при микроваттных интенсивностях света. Однако она также значительно медленнее в сравнении с керровской и во многих случаях медленнее термооптической. Изменения показателя преломления для разных механизмов фоторефракции определяются выражениями:

Для фотовольтаического механизма:
Dn( phv ) = A × I −1		×		I( x, z ) Id			(8.20),
nl	d	1		+ I( x, z ) Id
где А – константа,	зависящая			от	физических характеристик и
электрооптических коэффициентов материала; Id –							так называемая темновая
интенсивность, определяемая условием σd					= σ ph I ,		т.е. интенсивность света,

при которой величина фотопроводимости материала равна его темновой проводимости.

Для дрейфового механизма:

Dn( drift ) = B ×		Ibg		× E		(8.21),
					ext
nl	Ibg	+ I( x, z )
где Ibg – интенсивность фоновой подсветки;				Eext –		напряженность внешнего

электрического поля, приложенного к кристаллу; B - постоянная, зависящая от физических характеристик и электрооптических коэффициентов материала.

Для диффузионного механизма:

Dndif

= -

1

n3r × E

( z ) = -

1

n3r ×

kBT

1

×

dne ( x )

(8.22).

e n ( x )

dx

nl

2 l

D

2 l

e

Отметим, что в случае диффузионного механизма транспорта электрических зарядов изменение показателя преломления носит нелокальный характер, т.е. оно определяется величиной градиента концентрации фотовозбужденных носителей заряда. Соответственно, эффекты самовоздействия световых пучков проявляются в данном случае не в самофокусировке или самодефокусировке пучков, а в их самоискривлении.

184

Уравнение (8.17) позволяет проследить, как изменяется профиль светового пучка в нелинейной среде при различных механизмах и величине оптической нелинейности, а также различных параметрах светового пучка. Его решение может быть получено в аналитической форме лишь в ряде частных случаев. В большинстве же ситуаций возможно только его численное решение.

Особый интерес представляют решения уравнения, отвечающие режимам сохранения поперечного профиля светового пучка, называемым режимами пространственных оптических солитонов. В таком случае решение (8.17) ищем в виде:

A( x,z ) = U( x )×exp( igz )

Тогда:

∂A( x,z ) = ig × A( x,z ) = ig ×U ( x )×exp( igz ),

¶z

¶2 A( x,z ) =

¶2U

× exp( igz ) .

¶x2

¶x2

Подставляя эти соотношения в (8.17), получим:

i

2

ikDnнл

igU × exp( igz ) -

×

¶ U × exp( igz )

=

×U ( x ) × exp( igz ),

2k

¶x2

n

что после упрощения дает:

U ¢¢ - 2kgU +

2k 2 Dnнл

×U = 0 или

n

2k 2 Dnнл

U ¢¢ +

-

2kg

×U = 0

n

где U ¢¢ =

¶2U .

¶x2

(8.23).

(8.24),

Это уравнение для пространственных солитонов, которое называют также нелинейным уравнением Шредингера. Действительно, в данной форме записи аналогия с соответствующим уравнением очевидна. В то же время это

уравнение совпадает по форме с волновым уравнением для градиентного диэлектрического волновода. Соответственно, его решения представляют

собой собственные моды оптического волновода, индуцированного в нелинейной среде самим световым пучком. Следует отметить, что

нелинейная добавка к показателю преломления среды Dnnl может быть как положительной, так и отрицательной. Соответственно, нелинейная добавка g к постоянной распространения положительна либо отрицательна. В первом

случае (Dnnl>0) среда является самофокусирующей, а решение уравнения (8.24) представляет собой светлый солитон, т.е. световой пучок,

распространяющийся без дифракционного расплывания в нелинейно –

185

оптической среде. Противоположный случай соответствует самодефокусирующей среде. Собственное решение (8.24) при этом называют темным солитоном, под которым понимается как бы бездифракционное поведение неосвещенной области в световом поле.

Рассмотрим отдельно решения нелинейного уравнения Шредингера (или солитонного уравнения) для различных механизмов оптической нелинейности среды.

8.3.1. Пространственные оптические солитоны в среде с керровской нелинейностью

В данном случае нелинейное возмущение показателя преломления среды определяется нелинейной восприимчивостью третьего порядка и, как уже отмечалось, может быть записано в форме:

Dnnl = n( 2 ) × I( x, z ) = n( 2 ) ×U 2 .

Солитонное уравнение (8.24) примет вид:

	2k	2 n
U ¢¢ +		( 2 )	×U 2	- 2kg	×U = 0
		n

Далее, обозначая kn2 = a получим окончательно:

	n			α
	U -	1	×U ¢¢ =		×U 3
		2kg		g

Коэффициент a может быть как положительным, первом случае, для самофокусирующей среды, солитона имеет вид:

(8.25).

(8.26).

так и отрицательным. В решение для светлого

	2g 1 / 2
U ( x ) =			sec h( x )	(8.27),
	a

где x = ( 2kg )12 x – нормированная поперечная координата.

В случае самодефокусирующей среды решение дает профиль темного солитона в виде:

g 1 / 2
U ( x ) =			tanh( x / 2 )			(8.28),
a

где x = ( -2kg )12 x .

Таким образом, в случае среды с керровской нелинейностью профили световых пучков, соответствующих светлым и темным пространственным солитонам, выражаются в аналитической форме и определяются соотношениями (8.27) и (8.28). Рисунок 8.3 иллюстрирует поперечные профили интенсивности светлого и темного солитонов. Отметим, что для

186

темного солитона строгое решение предполагает постоянство амплитуды поля при ξ → ±∞ .

1,2
1
0,8
0,6
0,4
0,2					ξ
0
-5 -4 -3 -2 -1 0	1	2	3	4	5

Рис. 8.3. Профили интенсивности светлого (пунктир) и темного (сплошная) пространственных солитонов.

8.3.2. Пространственные оптические солитоны в среде с фоторефрактивной нелинейностью

В случае фотовольтаических солитонов, подставляя в (8.24) выражение (8.20) для Dnnl, получим:

U -

1

× ¶2U

=

k

× A ×

U 2

×U или:

2kg

+ U 2

¶x2

ng

1

U -

1

×U ¢¢ = b ×

U 3

(8.29),

2kg

1 + U 2

g

где

b =

kA

.

n

И, наконец, для фоторефрактивных солитонов при дрейфовом

механизме фоторефракции можно получить подобное уравнение в виде:

U -

1

×

¶2U

=

k

× D

×

Ibg

×U × Eext

или

2kg

¶x2

ng

Ibg

+ I( x,z )

U -

1

×U ¢¢ =

F

×

U

(8.30).

2kg

g

+U 2

1

Таким образом, получено два похожих уравнения, соответствующих режимам пространственных оптических солитонов в средах с фотовольтаическим и дрейфовым механизмами фоторефракции. Можно видеть, что в случае фотовольтаических солитонов, при малой интенсивности световых пучков, (8.29) приводится к виду солитонного уравнения для сред с керровской нелинейностью. Отметим, что во всех случаях правая часть уравнений может быть как положительной, так и отрицательной. Это соответствует случаям самофокусирующей и самодефокусирующей

187

нелинейностей. Для фотовольтаического эффекта знак нелинейности определяется направлением фотовольтаического тока. Для дрейфового механизма фоторефракции это соответствует прямой или обратной полярности приложенного к кристаллу внешнего электрического поля. В результате решения данных уравнений дают режимы светлых и темных пространственных солитонов.

8.4. Другие нелинейно – оптические эффекты

Кроме рассмотренных выше, существует еще целый ряд нелинейно– оптических эффектов, к которым относятся:

а) вынужденное комбинационное рассеяние света и вынужденное рассеяние Мандельштама– Бриллюэна;

б) параметрическая генерация света; в) оптическое выпрямление;

г) исчезновение красной границы фотоэффекта; д) оптическое просветление и оптическое затемнение среды.

Остановимся кратко на сути некоторых из них.

А. Вынужденное рассеяние света

Эффект комбинационного рассеяния света, называемого также рамановским рассеянием, представляет собой процесс неупругого рассеяния света на оптических колебаниях молекул или внутримолекулярных колебаниях. При таком рассеянии частота рассеянного света отличается от частоты падающей волны.

При комбинационном рассеянии спектр прошедшего через вещество излучения содержит комбинационные частоты ω0 ± mΩ , где ω0 - частота падающей волны; Ω - частота молекулярных колебаний, m - целое.

Составляющие, имеющие частоты, меньше чем частота падающей волны, называют стоксовыми компонентами. Составляющие с более высокой частотой – антистоксовы компоненты. Результат рассеяния зависит от исходного состояния молекулы. Если молекула находится в основном (невозбужденном) состоянии, то при поглощении кванта с энергией hω0 она переходит в возбужденное состояние с энергией hω0 + hΩ . Время жизни в таком состоянии должно быть очень маленьким, если эта энергия не соответствует одному из разрешенных состояний. При переходе на разрешенный уровень молекула может оказаться как в основном состоянии, так и в возбужденном. В первом случае изменение частоты излучения не происходит, во втором частота рассеянного излучения оказывается ниже частоты падающего. Это стоксова линия.

Если молекула находится в возбужденном состоянии, то она может перейти в невозбужденное состояние в результате рассеяния. Энергия

188

рассеянного кванта в этом случае больше, чем энергия падающего. Это антистоксова линия. Интенсивность антистоксовых линий всегда ниже, чем стоксовых. Это обусловлено большей населенностью основного состояния в условиях термодинамического равновесия.

При вынужденном комбинационном рассеянии (ВКР) световая волна возбуждает молекулярные колебания, на которых потом происходит рассеяние этой волны. При ВКР резко возрастает интенсивность антистоксовой компоненты. ВКР, в отличие от спонтанного КР, возникает при интенсивностях света, превышающих некоторую пороговую величину. Эффективность преобразования падающей волны в рассеянные при ВКР очень сильно возрастает и теоретически может достичь 100%.

О рассеянии Мандельштама – Бриллюэна говорят, имея в виду дифракцию света на акустических колебаниях решетки или среды (в жидкостях). Этот эффект с квантовой точки зрения интерпретируется как эффект трехчастичного взаимодействия. В результате таких взаимодействий фотон может как исчезать, так и рождаться. При большой интенсивности света возможно усиление акустических колебаний, что, в свою очередь, ведет к увеличению интенсивности рассеяния. Этот эффект и есть вынужденное рассеяние Мандельштама - Бриллюэна. С позиций классической физики процесс генерации акустических волн может рассматриваться как результат электрострикции, т.е. возникновения упругих деформаций в электрическом поле световой волны. Возрастание мощности акустических колебаний наблюдается, если приток энергии от поля световой волны компенсирует

потери на затухание звука.
Пороговая	плотность мощности	для	вынужденного рассеяния
Мандельштама –	Бриллюэна составляет 107	- 109	Вт/см2. Частотные сдвиги

при ВРМБ значительно меньше, чем при ВКР.

Б. Исчезновение красной границы фотоэффекта.

Суть данного эффекта заключается в исчезновении порогового характера появления фототока в экспериментах по фотоэффекту в случае использования очень мощного светового излучения. Это является результатом двухили многофотонного поглощения, когда атом практически одновременно поглощает по крайней мере два фотона. Вероятность таких актов поглощения зависит от интенсивности света и может быть заметной в сильных световых полях.

189

РЕКОМЕНДУЕМАЯ ЛИТЕРАТУРА

1.Никольский В.В., Никольская Т.И. Электродинамика и распространение радиоволн. – М.: Наука, 1989.

2.Борн М., Вольф Э. Основы оптики. – М.: Наука, 1973. - 720 с.

3.Ярив А., Юх П. Оптические волны в кристаллах.– М.: Мир, 1987.– 616 с.

4.Гончаренко А.М. Гауссовы пучки света. – Минск: Наука и техника, 1977. –

144с.

5.Виноградова М.Б., Руденко О.В., Сухоруков А.П. Теория волн. – М.: Наука.

Гл. ред. физ. - мат. лит, 1979. - 384 с.

6.Акаев А., Майоров А. Оптические методы обработки информации. – М.: Высшая школа, 1988.

7.Информационная оптика / Под ред. Н.Н.Евтихиева. – М.: Изд-во МЭИ, 2000. – 612 c.

8.Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Электродинамика сплошных сред. – М.: Наука, 1982. – 624 с.

9.Интегральная оптика / Под ред. Т.Тамира. – М.:Мир, 1978. – 344 с.

10.Страховский Г.М., Успенский А.В. Основы квантовой электроники. – М.:

“ Высшая школа”, 1973. – 312 с.

11.Гольдштейн Л.Д., Зернов Н.В. Электромагнитные поля и волны. – М.: ” Сов. радио”, 1971.

12.Вихман Э. Квантовая физика. – М.: Наука. Гл. ред. физ. - мат. лит, 1977. –

416с.

13.Тарасов Л.В. Введение в квантовую оптику. – М.: Высшая школа, 1987.

14.Ярив А. Квантовая электроника. – М.: Сов. Радио, 1980.

15.Петров М.П., Степанов С.И., Хоменко А.В. Фоторефрактивные кристаллы в когерентной оптике. – М.: Наука, 1992. – 320 с.

16.Цернике Ф., Мидвинтер Дж. Прикладная нелинейная оптика. – М.: Мир, 1976.

190

Учебное издание

Шандаров Владимир Михайлович

ОСНОВЫ ФИЗИЧЕСКОЙ ОПТИКИ

Учебное пособие

по дисциплине «Основы физической оптики» для бакалавров направления 210700.62 "Инфокоммуникационные технологии и системы связи" (профиль - "Оптические системы и сети связи"), бакалавров направления 200600 Фотоника и оптоинформатика, студентов направления подготовки 210100 «Электроника и микроэлектроника» (Магистерская программа «Волноводные, нелинейные и периодические структуры оптоэлектроники и фотоники»).

Редактор Компьютерная верстка

Подписано в печать ____. Усл. печ. л.. Тираж 60 экз. Заказ .

Томский государственный университет систем управления и радиоэлектроники 634050, г. Томск, пр. Ленина, 40