Введение в математический анализ. Дифференциальное исчисление

Возьмём "	0	= 1	:	S
		2

Тогда вне U"0(-1) лежат все члены после-

довательности с нечётными номерами, т.е.

бесконечное множество членов последовательности.

Итак, мы построили U"0(-1); вне которой на-

ходится бесконечное множество членов последовательности xn = (-1)n-1:

Следовательно, в силу определения 20, число

(-1) не является пределом данной последовательности.

First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit

Определение 21. Будем говорить, что

(xn); xn 2 Rk стремится к бесконечно удаленной точке, или стремится к 1, если вне каждой U"(1) находится лишь конечное число точек последовательности

(xn):

Тот факт, что (xn) стремится к бесконечности, будем кратко записывать так:

lim xn = 1 или xn ! 1:

First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit

Определение 22. Если существует точка x0 2 Rk такая, что xn ! x0; то последовательность (xn) называется сходящейся. В противном случае (xn); xn 2 Rk; называется расходящейся.

Заметим, что если последовательность (xn) стремится к бесконечности, то эта последовательность - расходящаяся.

First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit

Пример 4. Показать, что последовательность xn = (-1)n-1 расходится.

First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit

Решение. Предположим, что 9a 2 R; к которому сходится последовательность xn =

(-1)n-1: Тогда a 6= 1 (см. пример 2) и a 6= -1

(см. пример 3).

S

First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit

Возьмём "0 =	minfd(a;1);d(a;-1)g	> 0:	S
	3

Тогда вне U"0(a) лежат все члены последо-

вательности xn = (-1)n-1; т.е. бесконечное множество членов последовательности. S Итак, мы построили U"0(a); вне которой на-

ходится бесконечное множество членов последовательности xn = (-1)n-1:

Следовательно, в силу определения 20, по-

следовательность xn = (-1)n-1 не сходится к числу a.

Тогда, в силу определения 22, последовательность xn = (-1)n-1 расходится.

First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit

Теорема 3. Последовательность в Rk может иметь только единственный предел.

First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit

Возьмем " = Тогда

Доказательство. Доказательство					будем
вести методом от противного.					S
Пусть xn	!	3	:!	x1, причём x0
		x0 и xn			6= x1: S

d(x0;x1)

U"(x0) \ U"(x1) = ;:

First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit

!

Опр. 18

(xn

x0)

)

=

(9N0 = N(") 2 N такое, что 8n > N0 : xn 2 U"(x0):)

(xn

x1)

Опр. 18

9

2 N

8

=

1

такое, что

1

!2

"

1)

( N

= N(")

n > N

: xn

U

(x ):)

Тогда

8n0 > maxfN0; N1g

: xn0

2 U"(x0) \ U"(x1);

что противоречит условию

S

U"(x0) \ U"(x1) = ;:

First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit

Определение 23. Последовательность (xn), xn 2 Rk называется ограниченной, если 9M 2 R такое, что 8n 2 N : d(0; xn) M:

First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit