Введение в математический анализ. Дифференциальное исчисление

Доказательство. Запишем xn - yn = xn

1 - yxnn : Так как (xn) есть последовательность более высокого порядка роста чем последовательность (yn), то, по определению 37, lim yxnn = 0. В силу теоремы 17, после-

довательность xn 1 - yxnn бесконечно большая и, учитывая, что для всех достаточно больших номеров 1 - yxnn > 0, получаем, что

xn - yn ! 1. Так как lim xn-yn =

xn

	lim	1 -	yn	= 1; то последовательности
			xn

(xn - yn) и (xn), по определению 38, эквивалентные.

First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit

Итак, в силу теоремы 19, только тогда, когда бесконечно большие последовательности

(xn) и (yn) одного порядка роста, возникают трудности с нахождением предела последо-

вательности (xn - yn).

First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit

Пример 21. Найти
lim pn + 1 - pn :	(2.4)

First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit

p

Решение. Последовательности xn = n + 1 и p

yn = n эквивалентные бесконечно большие

xn	n+1	= 1.
последовательности lim yn	= lim q n

Для раскрытия этой неопределённости воспользуемся приёмом, основанном на форму-

ле:

a2 - b2 = (a - b)(a + b):

Сомножители (a - b) и (a + b) называ-

ют сопряжёнными. Перепишем (2.4) в виде

lim

p

-p

n+1

n

и домножим числитель и знаме-

1

pn + 1 - pn .

жённое

натель на выражение

pn + 1 + pn сопря-

First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit

Тогда получим

lim

p

- p

n + 1

n

1

(n + 1) - n

= lim

p

+ p

= lim

n + 1

n

= lim

= (1 -				10:17
				1) =
1
	p			+ p			=
		n + 1
					n
1
	p			+ p			= 0;
		n + 1
					n
		p					p

т.к. последовательность zn = n + 1 + n бесконечно большая. В дальнейшем приём, который мы использовали при решении примера 21, будем называть методом “Умножить на сопряжённое”.

First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit

p p

Пример 22. Найти lim 4n + 1 - n :

First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit

p

Решение.pПоследовательности xn = 4n + 1 и yn = n бесконечно большие одного по-

рядка роста	lim yn = lim q		= 2 . Для
		n
	xn	4n+1

раскрытия этой неопределённости воспользуемся методом "Умножить на сопряжённое".

First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit

Тогда получим

p

- p

4n + 1

n

1

+1

10:17

= lim

(4n + 1) - n

= lim

= (

)

=

lim

1

-

=

3n

1

p

p

+ p

+ p

4n + 1

4n + 1

n

n

n 3 +

1

=

= lim

n

= + ;

1

pn 1 + n1

+ 1

1

q

1

т.к. доминанта числителя имеет более высо-

кий порядок роста чем доминанта знамена- p

теля ( n n).

First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit

Второй способ решения.

Для раскрытия неопределённости воспользуемся "Методом доминант". Тогда получим

lim p

- p

= (

4n + 1

-

) =

n

1

=1

r

-

n

!

;

lim pn

4 + 1

1

+

1

как произведение бесконечно большой последовательности на сходящуюся к единице

последовательность (см. следствие 1 теоремы 17).

First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit

Пример 23.

Найти

lim p3

- p3

:

(2.5)

n + a

n

p4

- p3

Пример 24.

Найти lim

n5+2

n2+1

p5

-p

:

n4+3

n3-1

САМОСТОЯТЕЛЬНАЯ РАБОТА Предел последовательности.

First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit