Электромагнитные поля и волны.-2

декс n – число вариаций поля по углу ϕ ; m – число вариаций по радиусу r; р –

число полуволн по оси z. Основной является мода T00 p , при которой m=0, n=0.

Индекс р в обозначении типа колебания иногда опускают, т.к. он р>>m,n. Ос-

новной тип колебания TEM 00 p имеет резонансные частоты

f ( p) = p × F , где F = υ∂ (2l )	(8.24)
0

Резонансные частоты для колебаний TEM nmp определяются соотношением:

f nmp = [p + m + 0,5n ]× F .	(8.25)
0
КолебанияTEMnmp , различающиеся по индексам m и n, называются в от-
крытых резонаторах угловыми модами, а различающиеся по индексу р –	акси-
альными модами.

r	r	r	r
0	0	0	0
	TEM10 p	TEM 01p	TEM 20 p
TEM 00 p

Рис.8.5 Распределения электрического поля для четырёх простейших угло-

вых мод в плоскости z-const в цилиндрическом резонаторе.

Каждый тип колебаний, имея индексы m, n, характеризуется определен-

ной структурой поля. На рис. 8.5 показаны картины распределения электриче-

ского поля в резонаторе для четырёх простейших мод в поперечной плоскости.

Видно, что при малых индексах n и m поле сконцентрировано в центре зеркала,

100

TEM10 p

оказывают-

затем быстро спадает к краям. Что уменьшает дифракционные потери на краю зеркала.

С увеличением индексов m и n повышается напряжённость электрическо-

го поля на краю зеркал и возрастают дифракционные потери. Моды с большими

индексами m и n в открытых резонаторах существовать не могут.

Из (8.25), резонансные частоты колебаний и TEM 01p

ся в промежутке между частотами TEM 00 p , а частоты колебаний TEM 00 p сов-

падают с TEM 20 p , т.е. наблюдается вырождение колебаний. Режим работы от-

крытого резонатора считают одномодовым, если в нём возбуждены только ко-

лебания TEM 00 p , т.е. когда структура поля в поперечной плоскости соответст-

вует основной угловой моде, но допускаются колебания с разными р,

т.е наличие разных аксиальных мод.

В многомодовом режиме в открытом резона- 0 z торе наблюдается несколько различных угловых

мод TEM nmp , отличающиеся индексами n и m.

l

Резонатор с плоскими зеркалами, называемый

Рис. 8.6. Открытый	интерферометром Фабри - Перо (рис.8.6), концен-
резонатор с плоскими	трирует пучок волн в меньшей степени, чем конфо-
зеркалами.	кальный. При круглой апертуре в нём создаются та-
	кие же волны, но с большей напряжённостью на

краях зеркал. Поэтому дифракционные потери в этом случае больше (пунктир-

ные линии на рис. 8.7). Резонансные частоты колебаний при плоских зеркалах рассчитываются по формуле (8.25).

8.4.2. Добротность открытого резонатора

Представим поле резонатора в виде двух волн равных амплитуд, распро-

страняющихся вдоль оси z в противоположных направлениях и взаимно перехо-

дящих при отражениях одна в другую. Совокупность таких волн образует стоя-

чую волну. В действительности же в резонаторе чисто стоячей волны нет, так

101

как небольшая часть электромагнитной энергии поглощается отражающими зеркалами, а также излучается в окружающее пространство вследствие дифрак-

ции волн на краях зеркал.

Пусть запасённая энергия W делится поровну между полями прямой и об-

ратной волн. Энергия прямой волны, заключённая на промежутке 0 ≤ z ≤ l (рис. 8.6), проходит через сечение z=l за время l υгр , где υгр = 1 εμ = υ . Средний по-

ток энергии этой волны через поперечное сечение резонатора за

100
40	TEM10 p	Плоские
20	TEM 00 p	зеркала
10
4		Конфокальные
2	TEM 20 p	сферические
		зеркала
1,0

0,4

TEM10 p

0,2

TEM 00 p

0,1

0,04

0,4

0,6

0,8

1,0

1,2

1,4

N = a 2lλ

Рис. 8.7. Зависимость дифракционных потерь мощности рдиф % (вертикаль-

ная ось) от N за один цикл движения волны (отражение от двух зеркал) для

разных мод в конфокальном резонаторе.

102

единицу времени равен(W 2)(υl ) и определяет среднюю (за период колебаний)

мощность падающей волны, ибо усреднение за время lυ , если длина резонато-

ра l = p(λ0 2), даёт тот же результат, что и усреднение за период колебаний.

При падении волны на отражающую поверхность (зеркало) в плоскости z=l часть энергии её теряется. Средняя мощность этих потерь в плоскости z =l

приближённо равна W υ(1 - R2 ); где R2 – коэффициент отражения плоской вол- 2l

ны по мощности. Такая же мощность теряется и при отражении от зеркала в плоскости z=0. Стало быть, полная мощность потерь в резонаторе в два раза больше и определяется выражением

P	=	W	υ(1 - R2 ) .	(8.26)
cp		l

Подставим найденное значение мощности потерь в выражение добротности

Q = ω

W

=

ω0

×

l

=

k × l

=

2π

×

l

.

(8.27)

0 Pcp

υ

- R2

- R2

λ

1 - R2

0

1

1

0

Полученная формула характеризует добротность открытого резонаторы без учёта дифракционных потерь. Если учесть потери на краях зеркала за счёт дифракции и не идеального отражения от зеркала, то формула Q0 примет вид

	Q =	2πl	×	1		.	(8.28)
				1 - R2 + p
	0	λ p
					дифр
где p дифр = Р дифр	Р бег	-		относительные			дифракционные потери

мощности на краях зеркал за один проход вдоль резонатора (см. рис.8.7). Мож-

но получить выражение добротности с учетом потерь на зеркалах в открытом резонаторе, с учетом затухания волны в заполняющей его среде α , и прочие отмеченные ранее потери. Для этого обозначим относительные потери мощно-

сти при отражении от двух зеркал, имеющих разные коэффициенты отражения

p

= P

P = р

−

R

2

−

R

2

,

(8.29)

+ 1

+ 1

k

k

бег

дифр

1

2

скорость волны в среде υ¶ и, принимая во внимание, что 2 p >> n + m , получаем

103

добротность из (8.27)с учётом (8.29) в виде:

Q

=

2l ×ω0

υ∂

=

2πp

.

(8.30)

0

4lα + p

k 4lα + p

−

R

2

−

R

2

+ 1

+ 1

дифр

1

2

Дифракционные

потери характеризуются

волновым

параметром

N = a 2(lλ ), называемым также числом Френеля. На рис. 8.7 сплошными кри-

выми показана зависимость дифракционных потерь мощности от числа N за один цикл движения волны (отражение от двух зеркал) для разных типов коле-

баний в резонаторе. При больших N для расчета дифракционных потерь могут быть использованы приближенные выражения: рдиф≈0,30N-3 - для резонатора с плоскими зеркалами, и рдиф≈10,9N-4,94N - для резонатора с конфокальными зер-

калами. Так как численные значения индекса р весьма велики, то (например,

при l = 10 см, λ0 = 10 мкм = 10-3 см, R2 = 0,98, α = 0 , pдифр=0) собственные

добротности открытых резонаторов оптического диапазона порядка 106 ÷107 .

Следует отметить , что резонатор с плоскими зеркалами весьма чувстви-

телен к перекосам отражающих поверхностей. Даже небольшое нарушение па-

раллельности отражающих поверхностей приводит к появлению излучения энергии во внешнее пространство и уменьшает добротность резонатора.

l

l

a

z

Рис. 8.8. Конфокальный открытый резонатор Резонатор, образованный двумя одинаковыми отражающими поверхно-

стями сферической формы (рис. 8.8), называемый конфокальным сферическим резонатором, у которого фокусы обоих отражающих зеркал лежат в одной точ-

ке, характеризуется меньшим уровнем потерь на излучение. Резонансные часто104

ты и добротности можно определять по выше приведенным формулам.

8.4.3. Электромагнитные поля колебаний в открытом резонаторе

Поперечные размеры зеркал много больше длины волны.

Поле в резонаторе на основном типе колебаний TEM 00 p представляется в

			&	&		&	&	&	&
плоскости поперечного сечения составляющими			E x	, E y	или	H x	, H y	( Er	, Eϕ
	&	&
или	H r	, Hϕ ) векторов поля. Но каждая из этих проекций при удалении от оси z

имеет вид спадающей функции, т.е. отличается от той, которая наблюдается в металлических волноводах и резонаторах. В случае простейшего колебания

TEM 00 p в открытом резонаторе при изменении координаты x или у (r или φ ), на-

блюдается (рис.8.5) спад амплитуды поля от максимальной величины до нуля, в

то время как в металлических волноводах и резонаторах при индексах m или n

равных нулю, поля не изменяются вдоль соответствующей координаты x или у(r

или φ ). Конкретный вид компонент	&	&		&	&	&	&		&	&
	E x	, E y	или	H x	, H y	( Er	, Eϕ	или	H r	, Hϕ )

векторов электромагнитного поля находят решением (решается численным ме-

тодом) интегрального уравнения вида

		∫φ (x′, y′)K (x.y, x′, y′)dx′dy′ = qφ (x, y) ,					(8.33)
		S
	где φ (x, y) = φ (x, y,0) →любая проекция			&		&
				H x	или	H y ; S − поперечное сече-
	ние; K (x, y, x′, y′) =	e-i(k×l-π / 2)	e-ik[( x-x¢)2 +( y- y¢)2 ]/(2l )		-ядро функции,		учитывающее
		λl

дифракцию на краю зеркала; x′, y′, z′ = 0 - координаты точки интегрирования; x, y, z - координаты точки наблюдения; q- называется собственным значением

этого уравнения, при котором уравнение имеет нетривиальные решения. Таких значений уравнения (8.33) множество [12,51] и обозначают их qmn ; функции

φ (x, y) при этих qmn называются собственными функциями и обозначаются

φmn (x, y) .

105

Литература

1.Система образовательных стандартов. Работы студенческие учебные и выпускные квалификационные. Общие требования и правила оформления.

Томск ОС ТАСУР. 6. 1-97,2001г., 39с.

2.Л.А.Боков, В.А. Замотринский, А.Е. Мандель Электродинамика и распространение радиоволн: Уч. пособие. - Томский государственный университет систем управления и радиоэлектроники (Томск), Кафедра сверхвысокочастотной и квантовой радиотехники. - Электрон. текстовые дан. - Томск: ТУСУР, 2011. - 301с. – Режим доступа: http://edu.tusur.ru/training/publications/738

3.Б.М. Петров Электродинамика и распространение радиоволн: Учебник для вузов. - М.: Горячая линия - Телеком, 2007.-558 с. (100)

4.В.В. Никольский, Т.И. Никольская Электродинамика и распространение радиоволн: Учебное пособие для вузов - М., Наука, 1989.-543 с. (35)

5.С.И.Баскаков Электродинамика и распространение радиоволн: Учебное пособие для вузов - М.:высшая школа, 1992.-416 с. (44)

6.Л.А.Боков Электромагнитные поля и волны: Уч.пособие. – Томск: Том. гос. ун-т систем управления и радиоэлектроники, 2003-214 с. (46)

7.А.Е.Мандель, В.А.Замотринский Распространение радиоволн: Уч.пособие. – Томск: Том. гос. ун-т систем управления и радиоэлектрони-

ки, 2006.--164 с. (60).

8.Замотринский В.А., Падусова Е.В., Соколова Ж.М., Шангина Л.И. Электромагнитные поля и волны: Уч.-метод. пособие. – Томск: Том. гос. ун-т систем управления и радиоэлектроники, 2007.-187с. (80)

9.Электродинамика и распространение радиоволн [Электронный ресурс] : учебно-методическое пособие по организации самостоятельной работы студентов специальности 210302 «Радиотехника» / разраб. А. Е. Мандель, разраб. Л. А. Боков, разраб. Соколова; Министерство образования и науки Российской Федерации (М.), Томский государственный университет систем управления и радиоэлектроники (Томск), Кафедра сверхвысокочастотной и квантовой радиотехники. - Электрон. текстовые дан. - Томск : ТУСУР, 2010. - 37 с. Режим доступа: http://edu.tusur.ru/training/publications/15

10.Федоров Н. Н. «Основы электродинамики»: Учебное пособие для ву-

зов. – М.: «Высш. школа», 1980, - 399 с., ил.

11.Григорьев А.Д. Электродинамика и техника СВЧ. Учеб. для вузов по спец. «Электронные приборы» - М.: Высшая школа, 1990.- 335с. (86экз)

106

12.Лебедев И. В. Техника и приборы СВЧ. Том 1. Техника СВЧ.. Учебник для студ. вузов. – М.: Высшая школа, 1970. – 440 с.

13. Кущ Г.Г. , Соколова Ж.М., Шангина Л.И. Приборы и устройства оптического и СВЧ диапазонов: [Электронный ресурс] Учебное пособие / - Томск: Томск. гос. ун-т систем упр. и радиоэлектроники, 2012. - 414. – Ре-

жим доступа: http://edu.tusur.ru/training/publications/ 716.

14.Методические указания к курсовому проектированию по дисциплине «Электродинамика и РРВ» – К расчёту резонаторов СВЧ. Учеб. пособие.- Томск: ТИРИЭТ,1994. 101 с.

15.Пюшнер Г. Нагрев энергией сверхвысоких частот. Пер. с англ./ Под ред. Э.Я.Пастрона. – М.: Энергия, 1968. – 312 с.

16.СВЧ энергетика./ Под ред. Э. Окресса. Пер. с англ. / Под ред. В. Г. Алыбина, Э. Я. Пастрона. т.т 1, 2, 3. – М.: изд. Мир, 1971.

17.Маркузе Д. Оптические волноводы. – М.: Мир, 1974. -532с.

18.Ярих А., Юх П. Оптические волны в кристаллах. – М.: МИР, 1987.- 29с.

19.Ярих А. Введение в оптическую электронику. Пер. с англ./ Под ред. О.В. Богданкевича. – М.: Высшая школа, 1983.

20.Бушминский И.П. Изготовление элементов конструкций СВЧ. Волноводы и волноводные устройства. Учеб. Пособие. – М.: Высшая школа, 1974. - 304с.

21.Брандт А.А. Исследование диэлектриков на СВЧ. – М.: изд.

физико - математической литературы, 1963. – 403 с.

пец. вузов / под ред. Г.И. Веселова -М.:- Высшая школа, 1988 г.-280с 23.Микроэлектронные устройства СВЧ: Учеб. пособие для радиотехнических вузов / Г.И. Веселов, Е.Н. Егоров, Ю.Н.Алехин и др.; под ред. Г.И. Веселова. — М.: Сов. Радио, 1988. — 279 с. (29экз)

22. .Пименов Ю. В. Техническая электродинамика : Учебное пособие для вузов / Ю. В. Пименов, В. И. Вольман, А. Д. Муравцов ; ред. Ю. В. Пименов. - М. : Радио и связь, 2002. - 536 с. (23)

23. Семенов Николай Александрович. Техническая электродинамика : Учебное пособие для вузов / Н. А. Семенов. - М.: Связь, 1973. - 479с. (20)

24.Техническая электродинамика: Учебное пособие для вузов/ Ю.В. Пименов и др. – М.: Радио и связь, 2002. – 536 с. (23 экз.)

107

Учебное издание

Ж.М.Соколова.

ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫЕ ПОЛЯ И ВОЛНЫ

Учебное методическое пособие по выполнению курсовой работы для студентов

специальности 210401.65 «Физика и техника оптической связи» и специальности 210302.65 «Радиотехника»

Формат 60x84 1/16. Усл. печ. л..

Тираж 30 экз. Заказ ….

Отпечатано в томском университете

систем управления и радиоэлектроники.

634050, Томск, пр. Ленина, 40. Тел. [phone].

108