Электромагнитные поля и волны.-2

недостаточно. В качестве второго условия можно использовать условие перио-

дичности структуры. Для периодических структур справедлива теорема Флоке,

которая утверждает, что при перемещении на период структуры d поле в перио-

дической структуре должно воспроизводиться с точностью до фазового множи-

теля e − jϕ , где ϕ -фазовый сдвиг поля на период структуры d, т.е.

E (1)		x = 0 = E (2 )		x = de jϕ ,	H (1)		x = 0 = H (2 )		x = de jϕ	(4.2)

Обычно величину фазового сдвига ϕ связывают с величиной постоянной

распространения волны в структуре β = ϕ , которая характеризует средний фа-

d

зовый сдвиг на единицу длины структуры. После удовлетворения уравнений

(4.1), (4.2) и решения полученных соотношений, будут найдены величины ϕ , β

и амплитуды волн в этой структуре. При этом может быть получен один из двух результатов: либо ϕ вещественно, и тогда волны распространяются в структуре без затухания; либо ϕ - комплексно, и тогда волны распространяется с большим затуханием, связанным, в основном, с процессом отражения волн от границы раздела сред. В первом случае структура работает в полосе пропускания, во втором – в полосе непропускания.

4.3.Плоские волны в периодической структуре - в зеркале

Многослойное диэлектрическое зеркало – это устройство, полученное пу-

тём последовательного нанесения на подложку чередующихся слоёв с высоким и низким коэффициентом преломления. В качестве подложки используют стек-

ло, кварц и другие, прозрачные для излучения материалы.

Электромагнитная волна, проходя через период структуры (слой с высо-

ким и низким коэффициентом преломления) частично отражается от него ос-

тальная же честь проходит дальше, где встречается с ещё одним периодом и та-

ким же образом на нём происходит частичное отражение и прохождение. Тогда подбирая определённое количество слоев, добиваемся необходимого коэффици-

ента отражения волны от структуры.

30

Расположим декартовую систему координат таким образом, чтобы плос-

кость yoz (рис.4.2) приходилась на начало периода структуры d=d1+d2. Среда 1

характеризуется проницаемостями ε1 и μ1 , среда 2– проницаемостями ε 2 и μ2 .

Для оптического диапазона волн примем μ1 = μ2 = μ0 , показатели преломления диэлектриков n1 и n2. Падающая плоская однородная электромагнитная волна

y	I	II	I	II
	среда	среда	среда	среда
	n		n	n

x

d1 d2

d

z

Рис. 4.2 – Модель периодов диэлектрического зеркала

распространяется слева направо в направлении оси х и будет иметь вид:

0

−ik x

0

−ik x

&

R

Ae

1 ,

&

R

AZ e 1

,

(4.3)

H

m

= z

0

E

m

= y

0

1

где Z1 = μ1 / ε 1 = Z 0 / n1 - волновое сопротивление; k1 = ω ε1μ1 = k0 n1 , k0 = 2λπ .

Отражённая волна в среде 1 имеет вид:

R

ik

х

ik х

&

−

z

0

Be

1

&

−

R

H

m

= −

,

E

m

= y

0

Be

1 .

(4.4)

Z1

Суммарное поле в первой среде должно быть записано в виде:

− ik1z

ik z

−ik z

ik

z

&

1 R

Ae

Be

1

&

1 R

H m = z0

(

−

), Em = y0

( Ae

1

+ Be 1

) при 0≤ х ≤ d1 (4.5)

Z1

Z1

31

Поле во второй среде также следует представить как суперпозицию двух полей: прошедшей через первую границу диэлектриков и отраженной, но уже от другой границы

− ik

2 x

ik

2 x

−ik

x

ik

x

&

(2)

R

Ce

De

&

(2)

R

H m = z0

(

−

), Em

= y0 (Ce

2

+ De

2 ) при d1 ≤ х ≤ d2,

(4.6)

Z 2

Z 2

где Z 2

= Z0 / n2 = 120π / n2

- волновое сопротивление второй среды; k2 = k0 n2 ,- вол-

новое число во второй среде и k0 =

2π

=

c

- в свободном пространстве.

λ

f

4.4. Вывод дисперсионного уравнения

Применяем граничные условия (4.1) для тангенциальных составляющих полей (4.5), (4.6), для границы раздела внутри структуры, т.е. при x=d1 получа-

ем:

	Ae− ik1d1		Beik1d1		Ce	− ik2d1		Deik2d1
(		−		) = (			−		),
	Z1					Z 2		Z 2
			Z1						,	(4.7)
	−ik d				−ik d
	( Ae 1 1 + Beik1d1 ) = (Ce					2 1 + Deik2d1 )

приводим (4.7) к общему знаменателю, используя соотношения для Z1 , Z2

−ik d		ik d			−ik	d	ik	d
n ( Ae	1 1 − Be		1 1) = n (Ce			2 1	− De	2 1),
1					2			(4.8)
Ae− jk1d1 +Be jk1d1 =Ce− jk2d1 +De jk2d1.
Равенства (4.8) дополним равенствами, полученными из (4.2)
n ( A − B) = n						ik	d
				(Ce− ik2d − De 2			)eiϕ ,
1			2					(4.9)
	−ik d				+ Deik2d )eiϕ .
A + B = (Ce				2

Объединяя уравнения (4.8) и (4.9), получаем систему однородных уравне-

ний с пятью неизвестными (A,B,C,D,φ ).

32

n ( Ae−ik1d1 − Beik1d1 ) = n

2

(Ce−ik2d1 − Deik2d1 ),

1

− jk d

+ Be

jk d

− jk

d

jk

d

Ae

1

1

=Ce

2 1 + De

2 1 ,

eiϕ (Ce−ik2d − Deik2d ),

(4.10)

n ( A− B)=n

1

2

−ik

iϕ

2

d

+ De

ik

d

A + B = e

(Ce

2

).

Можно составить определитель и решить его относительно ϕ , но это

приведет к очень громоздким преобразованиям. Поэтому будем последователь-

но находить А и В, затем исключим их из других уравнений. Затем найдем С и

D. Приступим к преобразованиям. Выразим из третьего и четвертого уравнений

(4.10) постоянные А и В

A = eiϕ [C(1 + n2 )e−ik2d + D(1 − n2 )eik2d ],

2				n1		n1
	e	iϕ		n2	(4.11)
B =			[C(1 −		)e−ik2d + D(1 +	n2	)eik2d ].
2				n1		n1

Используем теперь два первых уравнения системы (4.10) для исключения в них постоянных величин А и В

C [ e ik 2 d 1 −	e iϕ	(1 +	n 2	) e − ik 1 d 1 e − ik 2 d −	e iϕ	(1 −	n 2	) e − ik 1 d 1 e − ik 2 d ] =
2			n1	2			n1

D [ − e ik 2 d 1 +

e iϕ

(1 −

n 2

) e − ik 1 d 1 e ik 2 d +

e iϕ

(1 +

n 2

) e ik 1 d 1 e ik 2 d ]

(4.12)

2

n1

2

n1

C[e−ik 2d1

n2

−

eiϕ

(1 +

n2

)e−ik1d1 e −ik 2d −

eiϕ

(1 −

n2

)e−ik1d1 e−ik 2d ] =

n1

2

n1

2

n1

(4.13)

D[

n2

eik2 d1

+

eiϕ

(1 −

n2

)e−ik1d1 eik2 d

−

eiϕ

(1 +

n2

)eik1d1 eik2d ]

n1

2

n1

2

n1

Поделим друг на друга (4.13), (4.12). правую и левую части, сократим на

e−ik2d1 , при этом учтем, что d=d1+d2

n2

−

eiϕ

(1 +

n2

)e−ik1d1 e−ik2d2 +

eiϕ

(1 −

n2

)eik1d1 e−ik2d2 ]

n1

2

n1

2

n1

=

1 −

eiϕ

(1 +

n2

)e−ik1d1 e−ik2d2 −

eiϕ

(1 −

n2

)eik1d1 e−ik2d2 ]

2

n1

2

n1

33

n 2

−

e iϕ

(1 +

n 2

)e ik 1 d 1 e ik 2 d 2 +

e iϕ

(1 −

n 2

)e − ik 1 d 1 e ik 2 d 2 ]

= −

n1

2

n1

2

n1

1 −

e iϕ

(1 +

n 2

)e ik 1 d 1 e ik 2 d 2

+

e iϕ

(1 −

n 2

)e − ik 1 d 1 e − ik 2 d 2 ]

(4.14)

2

n1

2

n1

Анализируя (4.14), можно заметить, что выражение имеет вид

n2

− eiϕ a

n2

− eiϕ a

n1

= −

n1

,

(4.15)

1 − eiϕ b

1 − eiϕ b

где a и b коэффициенты перед eiϕ в числителе и знаменателе левой части (4.14),

(4.15) и их сопряженные величины a и b . Запишем (4.15) в виде
	n2	−	n2	eiϕb −eiϕ a + e2iϕ ab = −	n2	+	n2	eiϕb + eiϕ a −e2iϕ a b	(4.16)
	n1		n1		n1		n1

Преобразуем (4.16), перенеся все слагаемые влево.

	2	n2	− eiϕ [a + a +	n2	(b + b )] + eiϕ b + eiϕ (b a + a b) = 0 .	(4.17)
		n1		n1

		где								a + a +					n2		(b +b ) =
															n1
		(1+			n2			)cos(k d + k d ) −(1−														n2	)cos(k d − k d ) +											n2		(1+			n2		)cos(k d + k d ) +
					n1							1	1			2		2				n1						1	1		2	2		n1					n1						1	1			2	2
		+	n2			(1−				n2		)cos(k d −k d								) = (1+						n2	)2 cos(k d + k d								2		) −(1−					n2		)2 cos(k d −k d								)
			n1							n1				1		1		2	2							n1					1	1	2									n1					1		1	2	2
		1										n2		−i ( k1d1 + k					2 d	2			1							n2		i ( k1d1 − k2 d 2						1								n2				i ( k1d1	+ k2 d 2
ab		= [					(1		+				)e								) -					(1		-			)e							] ×[					(1		+			)e					) +
		2										n1											2							n1								2								n1

1(1 - n2 )e −i ( k1d1 − k2 d 2 ] =

2n1

[	1	(1 +	n2	)2 -		1		(1 -			n2	) 2 -			1	(1 -			n22			)e 2 ik1d1			+	1	(1 -	n22			)e − 2 ik1d1			]
			n																n 2
4				4							n			4											4			n		2
		1								1									1								1
					1				n2				1				n2			1			2						1		2
		a b = [					(1 +				)2 −			(1 −				)2 −					(1 −	n2	)e−2ik1d1 +					(1 −		n2	)e+2ik1d1 ] .
																								2								2
				4					n	4							n		4					n			4					n
								1						1									1								1
																					34

Откуда ab + a b =					1		[(1+			n2	)2 − (1−						n2					)2 ] = 2				n2			.
					2					n							n									n
									1										1					1
Подставим эти выражения в (4.17), поделим (4.17) на eiϕ и учтем , что
eiϕ + e−iϕ = 2 cosϕ , получим
cosϕ =	1		n1	[(1+		n2		)	2 cos(k d					1	+ k				d		2		) − (1−					n2		)2 cos(k d		1	− k	2		d		2		)]	(4.18)
	4 n2					n1						1			2													n1			1
Это уравнение можно записать в несколько другом виде
cosϕ = cos(k d ) ×cos(k												d		) -		1		(		n1				+	n2		)sin(k d ) ×sin(k								d				)]		(4.19)
													2																								2
1					1				2							2 n2								1							1		2
																									n1

Полученное уравнение является дисперсионным уравнением, с помощью которого можно определять на заданной частоте и заданных размерах di слоев величину фазового сдвига волны на периоде структуры ϕ , или решать обрат-

ную задачу. Уравнение (4.19) называется дисперсионным. Из него находится ко-

эффициент затухания и число слоев для построения зеркала с заданными пара-

метрами коэффициента отражения.

Примечание

Систему уравнений (4.10) можно решать с помощью других преобразова-

ний. Вводим замену функций для упрощения выражения(4.10):

eik1d = a, eik2d = b, eiϕ = c. (4.20)

Тогда система (4.10) принимает вид:

A

1

+

Ba

=

C

1

+ Db

a

b

n 1

n 2

A

− Bn

1

a = C

− Dn

2

b

a

b

(4.21)

1

A

+ B

=

C

c +

Dbc

b

n

2

1 − Bn 1

=

+ Dn

An

C

c

2 bc

b

Выразим из первых двух уравнений (4.21) постоянные А и В, записав их в виде:

A	n1	+ Bn a = C	n1	+ Dn b,	A	n1	− Bn a = C	n2	− Dn	b .
	a	1	b	1		a	1	b	2
					35

Вычитая из одного равенства другое и суммируя, получаем

2Bn1a = C(

n1

−

n2

) + D(n1b + n2b), 2 A

n1

= C (

n1

+

n 2

) + Db ( n

1 − n

2 ) .

a

b

b b

b

Откуда выражаем А и В

A = C (

a

+

n 2 a

) + D (

ab

−

n 2 ab

)

2b 2 n1b

2

2 n1

(4.22)

1

n 2

b

n 2 b

B = C (

−

) + D (

+

)

2 ab

2 n

1

ab

2 a

2 n

a

1

Подставим (4.22) в оставшиеся два уравнения (4.21), получим:

a

n2 a

ab

n2 ab

1

n2

b

n2 b

1

C(

+

) + D(

−

) + C(

−

) + D(

+

) = C

c + Dbc

2b 2n1b

2

2n1

2ab 2n1ab

2a 2n1a

b

C(

a

+

n2 a

) + D(

ab

−

n2 ab

) − C(

1

−

n2

) + D(

b

+

n2 b

) = C

n2

c − Dbc

n2

2b 2n1b

2

2n1

2ab 2n1 ab

2a 2n1 a

n1b

n1

сгруппируем попарно слагаемые и вынесем общие множители:

C

(1 +

n2

)

a

+

D

(1 −

n2

)ab +

C

(1 −

n2

)

1

+

D

(1 +

n2

)

b

= С

1

c + Dbc ,

2

2

2

ab

n1

b

n1 b

n1

n1

2

a

C2 (1+

n2

)

a

+

D

(1−

n2

)ab− C2

(1−

n2

)

1

−

D

(1+

n2

)

b

= C

n2

c

− D

n2

b c ,

n

b

2

n

n

ab

2

n

a

n

n

1

1

1

1

1

b

1

переносим слагаемые, содержащие С, в левую часть равенства, а слагаемые с D

в правую:

С2

(1+

n2

)

a

+ C2 (1−

n2

)

1

−C

1

c = Dbc−

D

(1−

n2

)ab−

D

(1+

n2

)

b

(4.23)

n

b

n

ab

b

2

n

2

n

a

1

1

1

1

С2

(1+

n2

)

a

−C2 (1−

n2

)

ab1 −C

n2

c

=−

D

(1−

n2

)ab+D2 (1+

n2

)

b

−D

n2

bc

(4.24)

n

b

n

n

2

n

n

a

n

1

1

1 b

1

1

1

Поделим выражение(4.23 ) на (4.24) сократим общие коэффициенты:

[

1

(1+

n2

)

a

+

1

(1−

n2

)

1

−

1

c]

[bc−12 (1−

n2

)ab−

1

(1+

n2

)

b

]

2

n

b

2

n

ab

b

n

2

n

a

[

1

1

]

=

[−

1

1

bc]

1

(1+

n2

)

a

−

1

(1−

n2

)

1

−

n2

c

1

(1−

n2

)ab+

1

(1+

n2

)

b

−

n2

,

2

2

n1 b 2

n1

ab n1 b

n1

2

n1

a n1

получим

(1+

n2

) a 2 +(1−

n2

)−2 ac

=

(1−

n2

) a 2 +(1+

n2

)−2ca

n

n

n

n

1

1

1

1

(1+

n2

) a 2 −(1−

n2

)−2

n2

ca

(1−

n2

) a 2 −(1+

n2

)+ 2

n2

ca

.

(4.25)

n1

n1

n1

n1

n1

n1

36

Освободимся от знаменателей и введём замену:

x = 1 (1 + n2 )ab + 1 (1 - n2 ) b

2							n1										2							n1						a
x¢ =		1			(1 +				n2		)ab -								1			(1 -			n2			)			b
2									n1								2								n1						a
																												(4.26)
y =	1			(1 -			n2			)			a		+		1			(1 +			n2			)			1
2							n1						b				2						n1						ab
y ¢ =			1			(1 -			n2			)		a		-		1			(1 +			n2			)			1
2									n1					b			2							n1						ab

Тогда уравнение (4.25) примет вид:

( x − c )( y +	n 2
	n 1

	c ) = ( y − c )( x ′ −	n 2	c )
		n 1

Перемножим скобки и перегруппируем:

xy′ + x

n2

c − cy′ −

n2

c2 = x′y − y

n2

c − cx′ +

n2

c2

n

n

n

n

1

1

1

1

n2

( x + y) - y¢ + x¢ = 2

n2

c + ( x¢y - xy¢)c−1

(4.27)

n1

n1

Возвращаясь к замене (4.26) получаем:

n

1

n

1

n b

+

1

n a

+

1

n 1

-

2

1+

2

×a×b +

1-

2

1-

2

1+

2

n1 2

n1

2

n1 a

2

n1 b

2

n1 a×b

n

1

n

a

1

n

1

1

n

1

n

b

-

2

2

+

2

+

2

2

=

1-

2

1+

2

1+

ab-

2

1-

n1 2

n1 b

n1 a×b

n1

n1 a

n

1

n

1

n

b 1

n

a

1

n

1

2

2

2

2

2

2 n

c +

2

2

-

1+ n

ab-

1- n

a × 2

1- n

b + 2

1+ n

a×b

1

1

1

1

1

1

n

1

n

b 1

n

a 1

n

1

−1

2

2

2

2

- 2

×b

×c

1+ n

ab+ 2

1- n

a × 2

1- n

b - 2

1+ n

a

1

1

1

1

После упрощения получаем:

n2

+ c

-1

=

n2

1

[(1 +

n2

+

(1 -

n2

b

+ (1 -

n2

a

+

(1 +

n2

1

] +

2

(c

)

(

)ab

)

)

)

n1

n1

2

n1

n1

n1

a

n1 b

ab

(4.28)

1

n2

n2

b

n2

a

n2

1

+

[(1 +

)ab - (1 -

)

- (1 -

)

+ (1 +

)

].

2

n1

n1

a

n1 b

n1 ab

Используем замену (4.20) и разложение косинуса cos(ϕ ) =

e jϕ +e- jϕ

вме-

2

сто формулы (4.28) получим:

37

1

n

2

n

2

cos(ϕ ) =

1

+

cos(k1d1

+ k2 d 2 ) + 1

−

cos(k

2 d

− k1d1 )

+

2

4

n1

n1

					1 n															n		2																												n									n		2
				+									1		1	+									cos(k					d						+ k					d			) −					1					1 +									cos(k						d			+ k			d		)
																																	1							2		2																										2			2					1
					4																							1																																														1
								n2												n1																														n2										n1
Распишем сумму косинусов и перегруппируем:
							1										n			2							n
cos(ϕ ) =														1 +								1 +					1		(cos(k d															)cos(k d														) − sin(k d )sin(k d																			))
																																								1			1												2		2										1	1						2		2
							4										n1										n2
																																																																																или
		1						n												n
											2
+				1	−									1		−				1				(cos(k							d						)cos(k								d				) − sin(k												d					)sin(k d						))
																													2						2									1			1													2			2								1
		4						n1																																																												1
																			n2
cos(ϕ ) =									1											n		2						n																		n		2										n									cos(k d						)cos(k								) +
														1		+									1 +						1							+ 1				−									1					−				1												1						2	d	2
																																																																					1
									4
																				n1								n2																		n1												n2
1						n			2										n													n				2									n									sin(k d												)sin(k							)
				1 −									1 −							1						− 1 +													1 +								1																	1					2	d		2
																																																												1
4						n1
																		n2														n1													n2

Преобразуем выражения в скобках и получим уравнение аналогичное (4.19):

cos(ϕ) = cos(k d )cos(k d			2	) −	1	(	n1	+	n2	)sin(k d )sin(k d			2	).	(4.29)
1	1	2		2			n2	1			1	2
									n1

4.5. Анализ дисперсионного уравнения и выводы

a) Полученное дисперсионное уравнение представляет зависимость фазо-

вого набега волны ϕ на периоде многослойной структуры d, имеющей различ-

ные диэлектрические параметры сред и размеры слоев. Если будет задана рабо-

чая частота, то можно определить величину затухания волны, рабочую полосу частот.

Пусть на центральной частоте f0 заданного диапазона каждый слой явля-

ется четвертьволновым . Тогда k10 d1 = k20 d 2 = π / 2 . Из (4.19) получим

cos ϕ0

=

1

n1

[(1+

n2

) 2 cos π − (1−

n2

) 2 ] = −

1

n1

[2 + 2(

n2

) 2 ] = −

1

(

n1

+

n2

) (4.30)

4 n2

n1

n1

4 n2

n1

n2

n1

2

Если заданы виды материалов слоев, то коэффициенты преломления из-

вестны. Например, для MgF2 – n 1=1,38, ZnS – n 2=2,3; тогда cosϕ0 = −1,13.

Отрицательное значение cosϕ0 и больше единицы говорит о том, что угол

ϕ0 комплексная величина, лежащая во второй четверти, т.е. ϕ0 = π + iβ = ϕ ′ + iϕ ′′ .

38

cosϕ0 = cos(π - iβ ) = cos π cos iβ + sin π × sin iβ = -chβ , так как

	e β	+ e	− β
chβ =				= 1,13	, откуда e2 β − 2,26eβ + 1 = 0
		2

Решая это квадратное уравнение относительно eβ , получим e β = 1,656 , а e− β = 0,6 . Это означает, что при прохождении одного периода структуры поле уменьшает свою амплитуду в 1,656 раза. Если структура будет иметь N перио-

дов, то поле уменьшится по амплитуде в eNβ раз, т.е коэффициент прохожде-

ния Т полем N периодов равен T = e Nβ , а выражение для отраженной волны на-

ходится	как R = 1 − T = 1 − e Nβ . Так	например, при N=8 величина
T = e8β	= 0,0168 раза и, следовательно,	отражение от такой структуры будет

равно R = 1 − 0,0168 0,983 .

По расчетным зависимостям коэффициента прохождения и коэффициента отражения слоев (рис.4.3) можно оценить вклад каждого периода структуры.

				1
1
e7 ×b (l)				1−e7 ×b (l)0.5
0.5
0	6 .10 7	8 .10 7	1 .10 6	0
4 .10 7				2 .10 7 4 .10 7 6 .10 7 8 .10 7 1 .10 6
		λ		λ

Рис. 4.3. Зависимости коэффициента прохождения и коэффициента отраже-

ния от длины волны для структуры оптического зеркала из N=8 периодов.

b) Можно найти амплитудно - частотную характеристику структуры вбли-

зи средней частоты диапазона ( λ = λ0 ). Для этого введем											λ = λ − λ0 следующим
образом
	2π		2π λ0			π λ0	π π	λ0		π π λ
k1d1 =		n1d1 =		4	=	2 λ =	2 + 2	( λ	−1) =		− 2 λ ;
	λ		λ							2
											0
						39