Электромагнитные поля и волны.-2

7. Круглый диэлектрический волновод Тема курсовой работы: Разработка круглого оптического волновода [10, 14,

15, 16, 17, 19, 26, 27, 28, 29, 38].

Технические требования: Рабочая частота f0 ;

Параметры слоев: n1; n2; n3=n0;

Тип волны в волноводе задается (например,Н10);

Мощность на входе волновода Р мВт.

Задача и цель работы: определение составляющих электромагнитного по-

ля диэлектрического волновода круглого сечения; получение дисперсионного уравнения и расчет геометрии оптического волновода, определение диапазона волн, в пределах которого распространяется только заданный тип волны; опре-

деление параметров волны: постоянной распространения β, фазовой скорости,

длины волны;. определение мощности, передаваемой по волокну. Изображение картины электромагнитных полей в волноводе.

7.1. Введение

Реальные волноводы, используемые в оптической связи, представляют собой гибкие волокна из прочных диэлектрических материалов. Поперечное се-

чение таких волноводов имеет размеры, сравнимые с размерами человеческого волоса. Диэлектрический волновод круглого сечения (рис.7.1) для оптического диапазона волн, называется также волокном в оболочке, имеет следующие па-

раметры: диэлектрический цилиндр радиуса а1 (волокно), выполнен из мате-

риала с показателем преломления n1, окружен концентрическим диэлектрическим цилиндром (оболочка) радиуса а2 из материала с показателем преломления n2 , оболочка, в свою очередь, окружена защитным покрытием n3.

Показатель преломления сердцевины может быть постоянным, ступенча-

тым или градиентным, показатель преломления оболочки обычно постоянен по сечению. Показатель преломления сердцевины должен быть больше показателя преломления оболочки. Обычно выполняется условие n1 >n2 и µ 1=µ 2=µ 0=µ. Об-

ласть II на распространение волны в волокне не оказывает существенного влия-

ния, так как вся энергия (информация) передается по сердцевине и лишь ее ма70

лая часть – по оболочке, и представляет экспоненциально спадающее вдоль ра-

диуса поле. Но область II поддерживает волокно в пространстве, защищая от воздействия среды, температуры и нарушений границы. Размер радиуса а2 бе-

рётся таким, чтобы вне этой области II, в пространстве защитного покрытия,

поле полностью отсутствовало.

Вторая причина использования

				Z	оболочки связана с механизмом рас-
					пространения поля в волокне. На опре-
					деленной частоте волокно способно на-
					правлять конечное число типов волн
	II		a1	r	(мод). Если диаметр сердцевины (2а1)
		I
			n1	ϕ	много больше длины волны оптическо-
					го диапазона, то возможно существова-
				a2
			n2		ние большого числа мод, т.к. для мно-
					гомодовых волноводов справедливо ус-
					ловие 2 a1	π			>> 1,
	Рис.7.1. Поперечное сечение волок-							n12 − n 22
						λ

на в оболочке.	Если желательно ограничить чис-

ло мод, то это можно сделать выбором радиуса волокна. Размер радиуса серд-

цевины при одномодовом режиме работы а1 должен быть как можно меньше.

Если нельзя сделать малой величиной радиус а1, то делают его несколько мик-

рон, а условием n1 / n2 близким к единице, добиваются одномодового режима.

7.2. Поля волн в круглом диэлектрическом волноводе (ДВ)

Будем считать волокно идеальным диэлектриком без потерь, в котором показатель преломления постоянный, сторонние токи отсутствуют и свободные заряды ρ = 0 . Для выполнения поставленной задачи необходимо решить волно-

вые уравнения (2.24), получить компоненты векторов поля, удовлетворить их граничным условиям. Так как металлические стенки в диэлектрическом волно-

воде отсутствуют, то возможно существование в нем как гибридных мод (ЕН,

НЕ), когда одновременноEz ¹ 0, H z ¹ 0 , так и простейших мод (Е, Н).

71

Для 1-ой и 2-ой сред, волновые уравнения Гельмгольца (2.24) будут оди-

наковы по форме, отличия только будут после решения их в константах интег-

рирования и в поперечных числах, зависящих от диэлектрических проницаемо-

стей и условий конечности полей. Воспользуемся общим решением уравнения Гельмгольца (2.33) из раздела 2

F (r,α ) = D × J n (

κ 2 - β 2

× r)einα e−iβz = DJ n (gr)einα e−iβz

(7.1)

Для нахождения поперечных составляющих поля в разных средах используем инвариантные соотношения (2.12) и (2.13). Найдем поля в каждой среде ДВ.

Область 1– волокно (рис 7.1), для которой параметры имеют вид:

r<a , n =

, κ

= ω

=

2π

= κ n , g χ =

> 0 ,

κ 2 − β 2

(7.2)

ε

ε μ

ε

λ

1 1

1

1

1

r1

0 1

1

β = k1 sinθ = k0 n1 sinθ (см. рис.6.2), тогда

χ = κ	0	n 2	- n 2 sin 2	θ = κ	0	п	1 - sin 2 θ = k	0	n cosθ	(7.3)
		1	1			1			1

При определении электромагнитных полей в волокне вместо функции F в

(7.1) подставляем продольные составляющие Ezв и Hzв, используем (2.34) для получения других составляющих поля и введем индекс «в» в обозначения со-

ставляющих поля волокна. Тогда

Ezв = AJ n (χr)einα e−iβz

E

= -

i

[ Aβχ J

'

( χr ) + iωμ

n

BJ

( χr )] × e inα e −iβz

rв

χ 2

n

0

n

r

E

αв

= -

i

[iβ

n

AJ

( χr ) - χωμ

BJ

'

( χr )] × e inα e −iβz

(7.4)

χ 2

n

0

n

r

H zв = BJ n ( χr )e in α e − iβ z

H

= -

i

[-iωε

n

AJ

( χr ) + χβ BJ

' ( χr )] × e inα e −iβz

χ

1 r

rв

2

n

n

H

αв

= -

i

[ χωε

AJ ¢

( χr ) + iβ

n

J

( χr )] × e inα e −iβz

(7.5)

χ

1

2

n

r

n

Штрих в функциях Бесселя - дифференцирование их по аргументу χr (рис.7.2).

72

Область II - оболочка, при r>a1; n2 = ε 2 ; g γ = κ 2 2 - β 2 < 0

Поле в оболочке должно уменьшаться с ростом радиуса r, поперечная по-

стоянная в (7.2) должна быть g<0 , т.е. должна быть мнимой величиной:

g iγ = ±i

β 2 − κ 2

2

, т.е. β > k2

(7.6)

Решением уравнения (2.33) для 2-ой области при мнимых аргументах бу-

дут модифицированные функции Ханкеля первого рода и второго рода

− γ r − i [( n + 0 , 5 )

π

]

(1 )

( i γ r ) =

2

× e

2

K n

(7.7)

π i γ r

γ r − i[( n + 0 , 5 )

π

]

K n( 2 ) ( -iγ r ) =

2

× e

2 .

- π iγ r

В этих функциях аргумент мнимый, при больших его значениях в области

а1<r<∞ функции становятся

пропорциональными:

K n(1) (iγr ) e − γr ;

K n( 2 ) (-iγr ) eγr . Очевидно, только функция Kn(1) (iγr) с экспоненциальным спа-

дом вдоль радиуса с физической точки зрения является подходящей для описа-

ния поля мод в оболочке. А функция K n( 2 ) ( - iγ r ) должна быть отброшена, по-

скольку она экспоненциально растёт с ростом r. Окончательно поля в оболочке,

с индексом «о» , будут иметь следующий вид:

Ez 0 = CK n(1) (iγr)einα

Er 0

= -

1

[βγCK n(1)¢(iγr) + ωμ 0

n

DKn(1) (iγr)] × einα

(7.8)

γ 2

r

E

= -

1

[β

n

CK (1) (iγr) - γωμ

DK (1)¢

(iγr)] × einα

γ 2

α 0

r

n

0

n

H z 0 = DKn(1) (iγr)einα

H r 0

= -

1

[-ωε 2

n

CK n(1) (iγr) + γβDKn(1)¢(iγr)] × einα

(7.9)

γ 2

r

H

α 0

= -

1

[γωε

CK (1)¢(iγr) + β

n

DK (1)

(iγr)] × einα

γ 2

2

n

r

n

73

Множитель e−iβz в этих уравнениях опущен. Для определения постоян-

ных А,В,С,D используем граничные условия для тангенциальных компонент:

Е

= Е

Е

= Е

Е

α в

= Е

α 0 .

(7.10)

при r=a, α - любом τ 1

τ 2 или

rв

r 0

и

Нτ 1 = Нτ 2

Н rв = Н r 0

Н α в = Н α 0

Подчиняя уравнения (7.4), (7.5) и (7.8), (7.9) граничным условиям, получаем

AJ

n

(χa) = CK (1) (iγa)

(7.11)

n

β n

AJ n (χа) +

iωμ

'

(χа) = -

βn

(1)

(iγa) +

ωμ

'(1)

(iγа)

ВJn

CK n

γ

DK n

χ 2

а

χ

γ 2 a

BJ

n

(χa} = DK

(1)

(iγa)

n

− i

ωε 1 AJ ' (χa) +

β

n

BJ (χa) = − ωε 2 CK ' (1) (iγα ) +

β

n

DK (1) (iγa)

χ

n

χ 2 a

n

γ

n

γ

2 a

n

Если из (7.11) и (7.13) выразить амплитудные коэффициенты C,D ,

(7.12)

(7.13)

(7.14)

т.е.

C = A	J n (χa)		и D = B	J n (χa)		,	(7.15)
	K (1)	(iγa)		K (1)	(iγa)
	n			n

и подставить в (7.12) и (7.14), то после преобразования, получим соотношение между амплитудами z-ых компонент электрического и магнитного полей:

В

=

i aχγ [ε γJ '

(χa)K (1) (iγa) + iε

2

χJ

n

(χa)K '(1)n

(iγa)]

1

n

n

. (7.16)

A

n

ω (ε1 − ε 2 )μβ J n ( χa)K (1)n (iγa)

При проведении преобразований было использовано равенство

χ2 +γ2 =k12 −k22 =ω2(ε1 −ε2)μ

(7.17)

7.3.Уравнение собственных значений и дисперсионное уравнение

Из системы однородных уравнений (7.11.6.17) ÷ (7.14.6.20), исключая А,В,С,D, можно определить постоянную распространения β, составив опреде-

литель. Система однородных уравнений имеет решение только в том случае, ес-

ли определитель этой системы уравнений равен нулю. Условие равенства нулю определителя называется уравнением собственных значения для нахождения собственных значений β направляемых мод волнового уравнения Гельмгольца.

Составим определитель:

74

				A
			Jn (χa)
	n β			Jn (χa)
	a χ 2
	0

− i ωεχ 1 J'n (χa)

					B
		iωμ			0
					J'n (χa)
			χ
	Jn (χa)
	n β				Jn (χa)
	a χ 2

C

D

- K (1)n (iγa)

0

′(iγa)

n β

K (1)n (iγa)

− ωμ

K (1)n

a γ 2

γ

=0

(7.18)

0

− K (1)n (iγa)

(1)′

ωε

2

n β

γ

K n (iγa)

K (1)n

(iγa)

a γ 2

Вычисление [26] определителя (7.18) приводит к дисперсионному урав-

нению для определения собственных значений β в виде:

ε

aγ 2

J'

(χa)

+iγa

K(1)'(iγa)

aγ 2

J'

(χa)

+iγa

K(1)(iγa)

ε

βκ

2

1

n

n

n

n

1

2

×

= n

-1

= Dn

(7.19)

ε

χ

J

(χa)

K

(1)

(iγa)

χ

J

(χa)

K

(1)

(iγa)

ε

χ

2

n

n

n

n

2

2

При проведении преобразований снова была использована формула (7.17).

Функция

Kn(1) (iγr) Kn(1) ( y) =

π

e− y называется

функцией

Мак-

2 y

дональда от мнимого аргумента и при γ >>1 быстро уменьшается (рис. 7.3).

Рис.7.3. Зависимости функции Мак-

Рис.7.2. Зависимости функции Бесселя

дональда первого рода и Ханкеля

нулевого порядка и ее производной от

(I0(γr), I1(γr)-второго рода) от аргу-

аргумента χr .

мента γr .

75

Дисперсионное уравнение Dn (7.19.6.24) можно получить в более компактной форме. Если ввести обозначения нормированных поперечных [15] чисел

χa =

χ

,

γa = γ

; обозначение функциям

1 J| n (

χ

)

- K n | (γ

)

sn (χ ) =

,

t n (γ ) =

;

(7.19а)

χ Jn (χ )

при ε =

ε1

, μ

=

μ1

γ

K n (γ

)

выражение нормированной частоты в виде

ε 2

μ2

2πa

2πa

F = k a

=

=

n 2 - n 2 ,

εμ - 1

εμ - 1

(7.19б)

λ

2

λ

2

1

2

соотношение

β 2

(

1

+

1

) =

χ

2 + εμγ

2

(

1

+

1

) = εμ

+

1

, то получим

(7.19в)

k 2

χ

2

γ

2

χ

2 + γ

2

χ

2

γ

2

χ

2

γ

2

εμ +

Dn (

χ

,γ

) = [ε × sn (

χ

) -tn (γ

)]×[μ × sn (

χ

) -tn

(γ

)]- n2 (

1

+

1

)(

1

) = 0

(7.20)

χ 2

γ 2

χ 2

γ 2

D1

= [ε × s n (

χ

) - t n (γ

)] ×[ μ × s n (

χ

) - t n (γ

)],

D

= n

2 (

1

+

1

)(

εμ

+

1

)

, причем D1=D2

(7.21)

χ

2

γ 2

γ 2

2

χ 2

Полученные соотношения (7.19), (7.20) или (7.21) называются дисперсионными уравнениями и представляют решение задачи о распространении на-

правляемых мод в оптическом волокне с оболочкой. Но уравнение (7.19) или

(7.20) связывают два неизвестных параметра χ и γ . Для их определения необ-

ходимо еще одно уравнение. Его мы получим из (7.2) и (7.6), в которых про-

дольное волновое число β для быстрых (в волокне) и медленных (в оболочке )

волн имеет одинаковую величину и позволяет записать выражение

γ 2 + ω 2 ε 2 μ = ω 2 ε 1 μ − χ 2

= β 2 .

(7.22)

Умножая (7.22) на а2, т.е. нормируя, получим

(aγ )2 + (aχ )2 = (aω)2 μ(ε

1

- ε

2

) = (aω)2 με

0

(n2

- n

2 )

1

2

(7.23)

или F (γ

χ

2 = (R × a)2 , где R2 = ω 2 με

)2 + (

)2 =

(n2

- n2 )

R

0

1

2

Совместное решение уравнений (7.20) или (7.21) и (7.23), позволяет опре-

делить значения поперечных чисел γ

,

χ

, продольного числа -

β из (7.22), и,

76

следовательно, параметров волны. Решение будет рассмотрено дальше.

7.4. Анализ дисперсионного уравнения

1.В круглом диэлектрическом волноводе в общем случае при разных n ³1

существуют все шесть составляющих электромагнитного поля (7.4), (7.5). Такие поля называют гибридными модами и обозначают ЕНnm или НЕnm. Индексу n

соответствует изменение поля по угловой координате. Индекс m означает номер корня функции Бесселя (вводится далее, рис.7.2 и таблица 1) и дает изменение полей по радиусу. Каждому значению индекса n соответствует два решения дисперсионного уравнения (7.20), отличающихся [15] отношением коэффици-

ентов В/А в (7.16):

Ez (r,α )

=

B

= Z

02

μ sn (

χa) − tn

(γa)

= Z

02

μ sn

(

χ

) − tn

(γ

)

= Z

02 M

(7.24)

H

z

[r,π /(2n)]

A

1

−

1

β

ε s

n

(χ ) − t

n

(γ )

n

2

2

χa

γa

κ 2

где Z02 волновое сопротивление для 2-й среды. Численный анализ показывает,

что для одного из решений дисперсионного уравнения значение квадратного корня меньше, а для другого больше единицы. Если М<1, то гибридная волна обозначается НЕnm , если М>1 , то тип ЕНnm .

2. Частным случаем решения задачи о полях в круглом диэлектрическом волноводе является случай n=0, отсутствие изменений поля моды по углу α ,

поля такие называются симметричными. Тогда в соотношении (7.19) правая часть оказывается равной нулю. При этом (7.19) распадается на два различных уравнения собственных значений: для поперечно-электрических (ТЕ) и попе-

речно-магнитных (ТМ) - мод.

ТМ-моды

ε1 γ J1 (χa)

+ i

K1

(1) (iγa)

= 0

(7.25)

ε 2

χ

J0 (γa)

K0

(1) (iγa)

ТЕ-моды

γ

J1

(χa)

+ i

K1(1) (iγa)

= 0

(7.26)

χ

J

0

(χa)

K(1) (iγa)

0

Здесь использовано для

преобразования

производных

соотношение

Z 0! = −Z1 , справедливое для любых цилиндрических функций.

77

Чтобы показать, что (7.26) соответствует моде ТЕ, надо положить n=0, то-

гда в (7.16) амплитуда В=∞. Чтобы сохранить В конечным, необходимо А=0. Это означает, что в (7.4) продольная компонента Еz обращается в нуль, т.е. мода,

становится типа Н или ТЕ, и удовлетворяет уравнению собственных значений

(7.26)

Если удовлетворяется (7.25), необходимо сначала воспользоваться равен-

ством (7.20), чтобы исключить в (7.16) n в знаменателе. В результате этих пре-

образований получается одинаковое для обеих симметричных мод уравнение

В = in

χγa[γJ '

ω (ε

1

− ε

2

)βJ

n

(χa)K (1)

(iγa)

'(iγa)] A .

(7.16б)

1

(χa)K (1)

(iγa) + iχJ

n

( χa)K (1)

n

1

1

Составляющие полей получаются из (7.4), (7.5), (7.8), (7.9) и, очевидно,

для электрического типа это Ere , Eze , Hϕe , для магнитного - H re , H ze , Eϕe . 3.Важным параметром любой моды является частота отсечки, или гра-

ничная, или критическая частота, на которой перестает существовать (отсе-

кается) мода как физическая волновая структура. Поле этой моды в оболочке на граничной частоте больше не уменьшается по экспоненте при удалении от во-

локна. Степень уменьшения поля с увеличением радиуса определяется величи-

ной γ и функцией K n( 1 ) (γr ) . При больших значениях γ функция экспоненци-

ально падает (рис.7.3), а поле оказывается сконцентрированным внутри волокна

и немного в оболочке. С уменьшением γ поле волновода переходит в про-

странство оболочки, т.е. оказывается вне волокна. При γ = 0 поле почти выходит из волокна в оболочку (7.6). Частота, при которой это происходит, и называется

частотой отсечки и определяется условием γ =

β 2 − k22

= 0 , а после подстановки

в (7.22) χ c

=

ωс

=

2πf c

, критическая частота равна

v2

( (ε1 − ε 2 )μ

0 ) −1

fc

=

χc a

=

c

(7.27)

λc

2πa (ε1 − ε 2 )μ0

78

В таблице 7.1 приведены функции и их корни, определяющие критиче-

ский режим наиболее часто используемых мод, а также выражения длин волн и

частот критического режима [26].

Таблица 7.1. Соотношения для критического режима всех мод .

Моды

Функция

Номеркорня

Значение

Формула критич-

Значения

для опреде-

корня

n

Еnm,

ления

функции

функции

ской длины волны

Hnm

fc

bnm

bnm = χc a

или частоты

ТЕ0m

b01

2,045

2πa

b02

5,52

ТH0m

0

J 0 (χc a) = 0

λc 0m

=

ε1r

-1

m≥1

b03

8,654

b0 m

НЕ10

b11

0

λc11 = ∞

ЕН1m

b12

3,83

2πa

1

J1 (χc a) = 0

λc1m =

ε1r

−1

НЕ1m

b13

7,02

b1m

m≥1

fc

= c / λc

b21

2,445

2π a

λ cnm

=

ε 1 r − 1

b22

5,538

b nm

2, 3,

ЕНnm

J n (χc a) = 0

b23

8,417

χc a

fc =

2πa

b31

10,173

(ε1 - ε 2 )μ

4. Основным типом волны называется мода, критическая частота которой

минимальная или равна нулю (или критическая длина волны которой равна бес-

конечности). Из таблицы 7.1, видно, что в ДВ основным является гибридный тип волны НЕ10 ( λc11 = ∞ ). Ближайшими к нему будут моды ТЕ01 и ТH01 .

5 Фазовая скорость волн определяется [15] с учетом (7.2), (7.19), (7.22)

vф =

ω

=

v

2

× k

2

=

v

2

= v2

χ 2 + γ

2

(7.28)

β

β

χ 2 + ε r μr γ 2

1 + (γ / k2 )2

где

γ 2 + ω 2ε 2 μ = β 2 ,

(k2 a)2 =

χ

2 + γ

2

,

ε r μr − 1

(βa)2 = (k2 a)2 + γ

2 =

χ

2 + γ

2

+ γ

2 =

χ

2 + ε r μrγ

2

ε r μr − 1

ε r μr − 1

При (

γ

) 2 ≤ 0 , 01

можно пользоваться выражением для скорости в виде

χ

vф = v2 [1 - 0,5(ε r μr

-1) × (γ

χ )2 ]

(7.29)

79