Оптимальное и адаптивное управление.-1
.pdfМинистерство высшего образования и науки РФ
Томский государственный университет
систем управления и радиоэлектроники
Кафедра экономической математики, информатики и статистики
Оптимальное и адаптивное управление
Учебно-методическое пособие по курсу «Оптимальное и адаптивное управление» для выполнения практических занятий и проведения самостоятельной работы для студентов ВУЗа
Томск – 2018
Пособие составлено в соответствии с тематикой практических занятий и самостоятельной работы по курсу «Оптимальное и адаптив-
ное управление». Пособие содержит темы и содержание практических занятий, методические указания к их проведению.
Пособие разработано для магистрантов ФВС, используется при изучении курса «Оптимальное и адаптивное управление».
СОСТАВИТЕЛЬ: Смагин В.И.
2
СОДЕРЖАНИЕ |
|
Раздел 1. Предмет курса, определения и классификация |
|
оптимальных и адаптивных систем. Модели управляемых |
|
систем…………………………………………………………… |
4 |
Практическое занятие № 1…………………………………… |
4 |
Раздел 2. Оптимальное управление…………………………… |
13 |
Практическое занятие № 2……………………………………. |
13 |
Раздел 3. Алгоритмы локально-оптимального управления…. |
14 |
Практическое занятие № 3……………………………………. |
14 |
Практическое занятие № 4……………………………………. |
15 |
Практическое занятие № 5……………………………………. |
17 |
Лабораторная работа № 6………………………………………. |
19 |
Раздел 4. Алгоритмы идентификации…………………………. |
21 |
Практическое занятие № 7……………………………………. |
21 |
Практическое занятие № 8……………………………………. |
23 |
Раздел 5. Адаптивное управление по локальному критерию |
25 |
Практическое занятие № 9……………………………………. |
25 |
Практическое занятие № 10..…………………………………. |
27 |
Самостоятельная работа................……………………………... |
33 |
ПРИЛОЖЕНИЕ…………………………………………………. |
34 |
ЛИТЕРАТУРА…………………………………………………... |
38 |
3
Раздел 1. Предмет курса, определения и классификация оптимальных и адаптивных систем. Модели управляемых систем
Практическое занятие № 1. Модель производства, сбыта и хранения
n видов товаров
Рассмотрим модель производства n видов товаров в условиях
рынка. Вектор состояния x(k) представлен компонентами: |
|
|||||
z1 (k ) |
|
|
||||
v (k ) |
|
|
||||
|
1 |
|
|
|
||
z2 |
(k ) |
|
|
|||
|
|
|
|
|
||
x(k ) v2 |
(k ) , |
|
|
|||
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
||
zn |
(k ) |
|
|
|||
v |
n |
(k ) |
|
|
||
|
|
|
|
|||
w(k ) |
|
|
||||
где zi (k) количество товаров i -го вида на рынке; vi (k) |
количе- |
|||||
|
|
|
|
|
||
ство товаров i -го вида у потребителя, |
i 1,n ; |
w(k) прибыль. |
||||
Математическая модель динамики изменения количества това- |
ров у потребителей и на рынке, а также прибыли может быть записана в следующем виде:
z1(k 1) (1 k11 )z1(k) s1(k) u1(k) , v1(k 1) (1 k21 )v1(k) s1(k) ,
z2 (k 1) (1 k12 )z2 (k) s2 (k) u2 (k) , v2 (k 1) (1 k22 )v2 (k) s2 (k) ,
………………….
………………….
4
zn (k 1) (1 k1n )zn (k) sn (k) un (k) , vn (k 1) (1 k2n )vn (k) sn (k) ,
w(k 1) w(k) c1s1(k) c2s2 (k) ... cnsn (k) k31z1(k) k32 z2 (k) ...
... k3n zn (k) c01u1(k) c02u2 (k) ... c0nun (k) ,
|
|
|
|
|
|
|
|
где |
ui (k) количество товаров, |
выпускаемых за один такт, |
i |
1,n , |
|||
k1i |
коэффициенты потерь; k2i |
коэффициенты потребления; |
k3i |
|
|||
стоимость хранения единицы товаров; с0i себестоимости; |
si |
(k) |
|
количество проданных товаров i -го вида в один такт, i 1,n . Функ-
ции продаж определяются по формулам:
si (k) ni exp( ci )(1 vi (k)Yi 1 )zi (k) ,
ni коэффициенты продаж; сi цены на товары, i 1,n ; Yi потен-
циальный спрос для i -го вида товара (объем рынка для i -го вида то-
вара).
Модель может быть представлена в следующем векторно-
матричном виде: |
|
x(k 1) A (x(k)) Bu(k) q(k) , |
(1) |
где вектор (x(k)) следующий:
5
|
|
z1 (k ) |
|
||
|
|
v1 (k ) |
|
||
|
|
|
|||
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
zn (k ) |
|
||
|
|
|
|||
|
|
vn (k ) |
|
||
( x(k )) |
|
w(k ) |
. |
||
|
|
|
|||
v |
(k )z (k ) |
||||
|
1 |
1 |
|
|
|
v2 |
(k )z2 (k ) |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
v |
n |
(k )z |
n |
(k ) |
|
|
|
|
|
В (1) введены дополнительно аддитивные возмущения q(k) , которые
учитывают возможные |
ошибки |
|
модели. |
Характеристики |
процесса |
||||||||||
q(k) |
описаны ниже. Матрица динамики A для данного объекта имеет |
||||||||||||||
вид: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a11 |
0 |
0 |
|
0 |
|
0 |
0 |
|
a1,2n 2 |
0 |
|
0 |
|
|
|
a21 |
a22 |
0 |
|
0 |
|
0 |
0 |
|
a2,2n 2 |
0 |
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
A |
0 |
0 |
0 |
a2n 1,2n 1 |
|
0 |
0 |
|
0 |
0 |
a2n 1,3n 1 |
|
, |
||
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
0 |
0 |
0 |
a |
2n,2n 1 |
a |
2n,2n |
0 |
|
0 |
0 |
a |
2n,3n 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
0 |
a2n 1,3 |
a2n 1,2n 1 |
|
0 |
1 |
a2n 1,2n 2 |
a2n 1,2n 3 |
a2n 1,3n 1 |
|
|
|||
a2n 1,1 |
|
|
|
где элементы матрицы определяются по формулам: a11 1 k11 n1 exp( c1 ),
a |
n1 exp( c1 ) , |
||
1,2n 2 |
|
Y1 |
|
|
|
a21 n1 exp( c1 ),
a22 1 k21,
a2,2n 2 n1 exp( c1 ) ,
Y1
6
a2n 1,2n 1 |
1 k1n nn exp( cn ), |
||||
a |
2n 1,3n 1 |
nn exp( cn ) |
, |
||
|
|
Yn |
|
||
|
|
|
|
|
|
a2n,2n 1 nn exp( cn ) , |
|||||
|
|
a2n,2n 1 k2n , |
|
|
|
|
|
|
a |
2n,3n 1 |
nn exp( cn ) |
, |
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Yn |
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
a2n 1,1 |
k31 c1n1 exp( c1 ), |
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
a2n 1,3 |
k32 c2n2 exp( c2 ), |
|
|
|
||||||||||
|
|
a2n 1,2n 1 k3n cnnn exp( cn ), , |
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
cini |
|
exp( ci ) |
|
|
|
|
|
|
|||||||
a |
2n 1, j |
|
, , j 2n 2,3n 1, |
i 1,n . |
||||||||||||||
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
Yi |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Матрица B имеет вид: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
1 |
|
|
|
0 |
0 |
0 |
0 |
|
|||||||
|
|
|
0 |
|
|
|
0 |
0 |
0 |
0 |
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
0 |
|
|
|
1 |
0 |
0 |
0 |
|
|||||||
|
|
|
0 |
|
|
|
0 |
0 |
0 |
0 |
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
B |
0 |
|
|
|
0 |
1 |
0 |
0 |
. |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
0 |
|
|
|
0 |
0 |
0 |
1 |
|
|||||||
|
|
|
0 |
|
|
|
0 |
0 |
0 |
0 |
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
c |
|
|
c |
|
c |
c |
c |
|
||||||||
|
|
|
01 |
|
|
02 |
03 |
04 |
|
0n |
||||||||
Начальное значение |
x(0) |
и вектор возмущений q(k) |
по предположе- |
нию являются гауссовскими случайными величинами, для которых выполняются условия:
M q(k) 0, M q(k)qT ( j) Q(k) kj .
7
Здесь kj символ Кронекера ( kj 1 при k = j и kj 0 при k j).
Предполагается, что начальное состояние и вектор возмущений взаимно некоррелированы:
M x(0)qT (k ) 0 ,
M x(0) x0 , M (x(0) x0 )(x(0) x0 )T Px0 .
Описание модели производства, сбыта и хранения двух видов товаров
Рассмотрим модель производства двух видов товаров в условиях рынка. Вектор состояния x(k) состоит из пяти компонент:
z1 (k ) |
x1 (k ) |
|||||
v (k ) |
x |
|
(k ) |
|
||
|
1 |
|
|
2 |
|
|
x(k ) z |
|
(k ) |
x (k ) , |
|||
|
2 |
|
|
3 |
|
|
v2 (k ) |
x4 (k ) |
|
||||
w(k ) |
x5 (k ) |
где z1 (k) , z2 (k) количество товаров 1-го и 2-го вида на рынке; v1 (k) , v2 (k) количество товаров 1-го и 2-го вида у потребителя, w(k) прибыль.
Математическая модель динамики изменения количества това-
ров у потребителей и на рынке, а также прибыли может быть записана в следующем виде:
z1(k 1) (1 k11 )z1(k) s1(k) u1(k) , v1(k 1) (1 k21 )v1(k) s1(k) ,
8
z2 (k 1) (1 k12 )z2 (k) s2 (k) u2 (k) , v2 (k 1) (1 k22 )v2 (k) s2 (k) ,
w(k 1) w(k) c1s1(k) c2s2 (k) k31z1(k) k32 z2 (k)c01u1(k) c02u2 (k) ,
где u1 (k) , u2 (k) количество товаров, выпускаемых за один такт; k11 , k12 коэффициенты потерь; k21 , k22 коэффициенты потребле-
ния; k31 , k32 стоимость хранения единицы товаров; с01 , с02 себе-
стоимости; s1 (k) , s2 (k) количество проданных товаров 1-го и 2-го вида в один такт (функции продаж). Формулы для s1 (k) , s2 (k) имеют вид:
s1(k) n1 exp( c1 )(1 v1(k)Y1 1 )z1(k) , s2 (k) n2 exp( c2 )(1 v2 (k)Y2 1 )z2 (k) ,
n1 , n2 коэффициенты продаж; с1 , с2 цены на товары; Y1 , Y2
потенциальный спрос на товар 1-го вида и 2-го вида.
В векторно-матричном виде модель следующая: x(k 1) A (x(k)) Bu(k) , x(0) x0 ,
где вектор (x(k)) представляется в виде:
9
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x1 (k ) |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x2 (k ) |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x3 (k ) |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
( x(k )) |
x4 (k ) |
. |
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x5 (k ) |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x1 |
(k )x2 (k ) |
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x3 |
(k )x4 (k ) |
|
|
|
|
|
|
|
|||
Матрица динамики А для данного объекта имеет вид: |
|
|
|
|||||||||||||||||
|
1 |
k |
n exp( c ) |
0 |
|
|
0 |
|
|
0 |
0 |
|
|
n1 exp( c1 ) |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
11 |
1 |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Y1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n1 exp( c1 ) |
||||
|
|
|
n exp( c ) |
|
1 k |
|
|
0 |
|
|
0 |
0 |
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
1 |
1 |
|
|
21 |
|
|
|
|
|
|
|
|
Y1 |
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 k12 n2 exp( c2 ) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
A |
|
|
|
0 |
|
0 |
|
0 |
0 |
|
|
|
0 |
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
0 |
|
|
n2 exp( c2 ) |
|
1 k22 |
0 |
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
c n exp( c ) |
||||
k31 |
c1n1 exp( c1 ) |
0 |
|
k32 |
c2n2 exp( c2 ) |
0 |
1 |
|
|
1 1 |
1 |
|
||||||||
|
|
Y1 |
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Матрица В и вектор управления следующие: |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
1 |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
u1 |
(k) |
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
B 0 |
1 , |
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
u(k) |
|
|
|
. |
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
0 |
0 |
|
|
|
u2 |
(k) |
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
c |
c |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
01 |
02 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n2 exp( c2 ) |
|
|
|
, |
|
|
|
Y2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
n2 exp( c2 ) |
|
|
||||
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Y2 |
|
|||
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
c2n2 exp( c2 ) |
|
|
|||
|
|
|||||
|
|
Y2 |
|
|
|
10