Оптимальное и адаптивное управление.-4

Министерство высшего образования и науки РФ

Томский государственный университет систем управления

и радиоэлектроники

Кафедра экономической математики, информатики и статистики

«Оптимальное и адаптивное управление»

В.И.Смагин

Учебно-методическое пособие к лабораторным и практическим работам для магистрантов

Предлагаемые задания выполняются магистрантами в компьютерном классе с использованием пакета прикладных программ Scilab. В приложении к описанию даны варианты исходных данных к заданиям.

Томск – 2018

Аннотация

В учебно-методическом пособии приводятся задания к лабора-

торным работам, в которых рассмотрены задачи оптимального и адап-

тивного управления фондами потребления [1] и задачи управления фирмой [2]. Задания и рекомендации по выполнению лабораторных работ составлены по материалам, опубликованным в [3-8]. Лаборатор-

ные работы выполняются в системе Scilab.

Пособие разработано для магистрантов ФВС, используется при изучении курса “Оптимальное и адаптивное управление”.

СОДЕРЖАНИЕ

Лабораторная работа № 1…………………………………………..3 Лабораторная работа № 2…………………………………………..12 Лабораторная работа № 3…………………………………………..13 Лабораторная работа № 4…………………………………………..15 Лабораторная работа № 5…………………………………………..16 Лабораторная работа № 6…………………………………………..18 Лабораторная работа № 7…………………………………………..20 Лабораторная работа № 8…………………………………………..23 Лабораторная работа № 9……………………………………….….25 Лабораторная работа № 10..………………………………………..26 Лабораторная работа № 11………………………………………….28 Лабораторная работа № 12………………………………………….31 Лабораторная работа № 13………………………………………….34 ПРИЛОЖЕНИЕ……………………………………………………….37 ЛИТЕРАТУРА…………………………………………………………41

2

Лабораторная работа № 1

ИССЛЕДОВАНИЕ СТРАТЕГИЙ УПРАВЛЕНИЯ ФИРМОЙ

1. Описание модели производства, сбыта и хранения

n видов товаров

Рассмотрим модель производства n видов товаров в условиях

рынка. Вектор состояния x(k) представлен компонентами:
z1 (k )
v (k )
	1
z2		(k )
x(k ) v2		(k )		,	(33)
zn		(k )
v	n	(k )
w(k )

где zi (k) количество товаров i -го вида на рынке; vi (k) количе-

ство товаров i -го вида у потребителя, i 1,n ; w(k) прибыль. Математическая модель динамики изменения количества това-

ров у потребителей и на рынке, а также прибыли может быть записана

в следующем виде:

z1(k 1) (1 k11 )z1(k) s1(k) u1(k) , v1(k 1) (1 k21 )v1(k) s1(k) ,

z2 (k 1) (1 k12 )z2 (k) s2 (k) u2 (k) , v2 (k 1) (1 k22 )v2 (k) s2 (k) ,

………………….

………………….

zn (k 1) (1 k1n )zn (k) sn (k) un (k) ,

3

vn (k 1) (1 k2n )vn (k) sn (k) ,

w(k 1) w(k) c1s1(k) c2s2 (k) ... cnsn (k) k31z1(k) k32 z2 (k) ...

	... k3n zn (k) c01u1(k) c02u2 (k) ... c0nun (k) ,			(34)
где	ui (k) количество товаров,	выпускаемых за один такт,	i	1,n ,
k1i	коэффициенты потерь; k2i	коэффициенты потребления;		k3i
стоимость хранения единицы товаров; с0i себестоимости;			si	(k)

количество проданных товаров i -го			вида в один такт, i 1,n . Функ-
ции продаж определяются по формулам:
s (k) n exp( c )(1 v (k)Y					1 )z (k) ,				(35)
i	i	i	i	i	i
ni коэффициенты продаж; сi		цены на товары, i 1,n ; Yi							потен-

циальный спрос для i -го вида товара (объем рынка для i -го вида то-

вара).

Модель (34), (35) может быть представлена в следующем век-

торно-матричном виде:
x(k 1) A (x(k)) Bu(k) q(k) ,						(36)
где вектор (x(k)) следующий:
		z1 (k )
		v1 (k )
		zn (k )
		vn (k )
( x(k ))		w(k )			.
v		(k )z (k )
	1	1
v2		(k )z2 (k )
v	n	(k )z	n	(k )
4

В (36) введены дополнительно аддитивные возмущения q(k) , которые

учитывают возможные				ошибки			модели.			Характеристики		процесса
q(k)	описаны ниже. Матрица динамики A для данного объекта имеет
вид:
	a11	0	0		0		0	0		a1,2n 2	0		0
	a21	a22	0		0		0	0		a2,2n 2	0		0
A	0	0	0	a2n 1,2n 1			0	0		0	0	a2n 1,3n 1			,
	0	0	0	a	2n,2n 1	a	2n,2n	0		0	0	a	2n,3n 1
		0	a2n 1,3	a2n 1,2n 1			0	1	a2n 1,2n 2		a2n 1,2n 3	a2n 1,3n 1
a2n 1,1

где элементы матрицы определяются по формулам: a11 1 k11 n1 exp( c1 ),

a	n1 exp( c1 ) ,
1,2n 2		Y1

a21 n1 exp( c1 ),

a22 1 k21,

a	2,2n 2	n1 exp( c1 )		,
			Y1

a2n 1,2n 1 1 k1n nn exp( cn ),

a	2n 1,3n	1	nn exp( cn )		,
				Yn
a2n,2n 1 nn exp( cn ) ,
	a2n,2n 1 k2n ,
a	2n,3n 1	nn exp( cn ) ,
				Yn

a2n 1,1 k31 c1n1 exp( c1 ), a2n 1,3 k32 c2n2 exp( c2 ),

a2n 1,2n 1 k3n cnnn exp( cn ), ,

5

					cini		exp( ci )
	a	2n 1, j						, ,	j 2n 2,3n 1,					i 1,n .
							Yi
	Матрица B имеет вид:
						1	0	0		0		0
						0	0	0		0		0
						0	1	0		0		0
						0	0	0		0		0
		B				0	0	1		0		0		.
						0	0	0		0		1
						0	0	0		0		0
				c			c	c		c		c
						01	02	03		04			0n
	Начальное значение					x(0) и вектор возмущений q(k)								по предположе-

нию являются гауссовскими случайными величинами, для которых выполняются условия:

		M q(k) 0,				M q(k)qT ( j) Q(k) kj .					(37)
Здесь kj	символ Кронекера ( kj						1 при k = j и kj	0		при k j).
Предполагается, что начальное состояние и вектор возмущений
взаимно некоррелированы:
				M		x(0)qT (k ) 0 ,					(38)
				0			0	0		x0
	M		x(0)	x , M		(x(0) x )(x(0) x )T				P .	(39)

2. Описание модели производства, сбыта и хранения двух видов товаров

Рассмотрим модель производства двух видов товаров в условиях рынка. Вектор состояния x(k) состоит из пяти компонент:

6

z1 (k )			x1 (k )
v (k )			x		(k )
	1			2
x(k ) z		(k )	x (k )			,	(40)
	2			3
v2 (k )			x4 (k )
w(k )			x5 (k )

где z1 (k) , z2 (k) количество товаров 1-го и 2-го вида на рынке; v1 (k) , v2 (k) количество товаров 1-го и 2-го вида у потребителя, w(k) прибыль.

Математическая модель динамики изменения количества това-

ров у потребителей и на рынке, а также прибыли может быть записана

в следующем виде:
	z1(k 1) (1 k11 )z1(k) s1(k) u1(k) ,
		v1(k 1) (1 k21 )v1(k) s1(k) ,
	z2 (k 1) (1 k12 )z2 (k) s2 (k) u2 (k) ,
		v2 (k 1) (1 k22 )v2 (k) s2 (k) ,
	w(k 1) w(k) c1s1(k) c2s2 (k) k31z1(k) k32 z2 (k)
		c01u1(k) c02u2 (k) ,					(41)
где	u1 (k) , u2 (k)	количество товаров, выпускаемых за один такт;
k11 ,	k12 коэффициенты потерь;		k21 ,	k22	коэффициенты потребле-
ния;	k31 , k32 стоимость хранения единицы товаров; с01 , с02						себе-
стоимости; s1 (k) ,		s2 (k) количество проданных товаров 1-го и 2-го
вида в один такт (функции продаж). Формулы для s1 (k) , s2 (k)							имеют
вид:
	s (k) n exp( c )(1 v (k)Y					1 )z (k) ,	(42)
	1	1	1	1	1	1
		7

s (k) n		exp( c )(1 v (k)Y				1 )z (k) ,	(43)
2	2	2		2	2	2
n1 , n2 коэффициенты продаж;			с1 , с2 цены на товары; Y1 ,				Y2
потенциальный спрос на товар 1-го вида и 2-го вида.
В векторно-матричном виде модель следующая:
x(k 1) A (x(k)) Bu(k) ,						x(0) x0 ,	(44)
В (44) вектор (x(k))	представляется в виде:
				x1 (k )
				x2 (k )
				x3 (k )
	( x(k ))			x4 (k )
					.		(45)
				x5 (k )
			x1	(k )x2 (k )
			x3	(k )x4 (k )

Матрица динамики А для данного объекта имеет вид:

	1	k		n exp( c )		0		0	0	0		n1 exp( c1 )
			11	1	1									Y1
			n exp( c )			1 k		0	0	0			n1 exp( c1 )
			1	1			21							Y1
								1 k12 n2 exp( c2 )
A				0		0			0	0				0
				0		0		n2 exp( c2 )	1 k22	0				0
												c n exp( c )
k31			c1n1 exp( c1 )			0		k32 c2n2 exp( c2 )	0	1			1 1	1
														Y1

0
0
	n2 exp( c2 )					,
		Y2
n2 exp( c2 )
		Y2
	c2n2 exp( c2 )
		Y2

Матрица В и вектор управления следующие:

8

	1	0
	0	0
				u1	(k)
B 0
		1		, u(k)	.
	0	0		u2	(k)
	c	c
	01	02

ЗАДАНИЕ

1. Для модели фирмы, производящей два вида товаров (41) (43)

выполнить моделирование для следующих значений параметров:

u1 60, u2 65

количество товаров, выпускаемых фирмой за один

такт;

n1 1,95,

n2 1,8

коэффициенты продаж;

c1 2,5 у.е.,

c2 1,5 у.е. цены на товары;

c0,1

1,0 у.е., c0,2 0,9 у.е. себестои-

мости;

Y1 Y2

1000

потенциальный

спрос

(объем рынка);

k1,1

0,15,

k1,2

0,13

коэффициенты

потерь;

k2,1 0,1,

k2,2

0,055

коэффициенты

потребления;

k3,1

0,002 у.е.,

k3,2

0,001

у.е. стоимости хранения единицы товара за один день.

Моделирование выполнить на интервале времени от 0 до 140

(один такт соответствует 1 дню) для следующих начальных условий: z1(0) 150, z2 (0) 300, v1(0) 250, v2 (0) 170, w(0) w0 у.е.

Полученные графики переходных процессов привести в отчет (вели-

чина w0 приведена в таблице 4). Определить прибыль в последний день. Сделать выводы.

2. Исследовать влияние различных стратегий управления фир-

мой на полученную прибыль.

9

Стратегия 1. Увеличить цену 2-го вида товара c2 до величины

2,3у.е. Привести в отчет графики изменения прибыли. Определить прибыль в последний день исследуемого периода ( w140 ). Оценить воз-

можность реальной реализации этой стратегии. Сделать выводы.

Стратегия 2. Увеличить коэффициент продаж n2 до величины

3,2 (увеличение этого коэффициента можно осуществить, реализовав рекламную компанию). В модели учесть затраты на рекламу в 2у.е. в

течении первых 10 дней. Затем этот коэффициент должен уменьшаться по линейному закону в течение 60 дней до первоначальной величины n2 1,8 . Затем опять провести рекламную компанию в течение 10

дней.

Привести в отчет графики изменения прибыли. Определить при-

быль в последний день исследуемого периода ( w140 ). Сделать выводы.

Стратегия 3. Увеличить потенциальный спрос (объем рынков для 1-го и 2-го вида товаров). В модели учесть затраты на расширение рынка в 8у.е. в течении первых 60 дней. По окончании этого периода значения Y1 и Y2 принять равными 2000 (увеличение этих параметров осуществляется посредством расширения рынка в течении первых 60

дней, например, создав новые торговые точки в новом регионе). Если потребуется заимствование (банковское кредитование), определить объем и время заимствования, а также объем и время возврата кредита

(расчеты выполнить для 20% годовой ставки).

Привести в отчет графики изменения прибыли. Определить при-

быль в последний рабочий день исследуемого периода ( w140 ). Сделать выводы.

10