Исследование электромагнитного поля в круглом волноводе.-1

Федеральное агентство по образованию Российской Федерации ТОМСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ СИСТЕМ УПРАВЛЕНИЯ И РАДИОЭЛЕКТРОНИКИ

Кафедра электронных приборов (ЭП)

ИССЛЕДОВАНИЕ ЭЛЕКТРОМАГНИТНОГО ПОЛЯ В КРУГЛОМ ВОЛНОВОДЕ

Методические указания для студентов направления подготовки 210100 «Электроника и наноэлектроника», «Электроника и микроэлектроника» к

лабораторному практикуму по курсу: «Электродинамика и микроволновая техника»

2012

2

Федеральное агентство по образованию Российской Федерации ТОМСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ СИСТЕМ УПРАВЛЕНИЯ И РАДИОЭЛЕКТРОНИКИ

Кафедра электронных приборов (ЭП)

УТВЕРЖДАЮ Зав. Каф. ЭП

________ С.М. Шандаров

ИССЛЕДОВАНИЕ ЭЛЕКТРОМАГНИТНОГО ПОЛЯ В КРУГЛОМ ВОЛНОВОДЕ

Методические указания для студентов направления подготовки 210100 «Электроника и наноэлектроника», «Электроника и микроэлектроника» к

лабораторному практикуму по курсу: «Электродинамика и микроволновая техника»

Разработчик:

доцент каф. ЭП

_________ А.И. Башкиров

«___»_________2012

2012

3

Цель работы

1.Изучить свойства круглого волновода, методику расчета параметров, характеризующих режим работы линии передачи.

2.Исследовать конфигурацию электромагнитного поля направляемых волн в круглом волноводе.

Сведения из теории

Теория круглых волноводов микроволнового диапазона рассмотрена в том числе в учебной и методической литературе. В данном пособии использованы материалы, касающиеся круглых волноводов, изложенные в

[1 - 3].

Устройства, ограничивающие область, в которой распространяются электромагнитные волны, и направляющие движение электромагнитной энергии в заданном направлении, называются направляющими системами.

К их числу относятся всевозможные линии передачи, основными типами которых являются проводные линии, коаксиальные линии, металлические волноводы, полосковые линии.

Классификация направляемых волн проводится по признаку наличия у них продольной составляющей электрического или магнитного поля.

Принято называть Н – волнами (магнитными) или поперечно-

электрическими волнами, обозначаемыми символом ТЕ (Transversion Electric - поперечно-электрические) такие волны, у которых H Z 0 . Если

E Z 0 , то такие волны называются Е – волнами (электрическими) или поперечно-магнитными волнами, обозначаемые символом ТМ

(Transversion Magnetic - поперечно-магнитные). В некоторых линиях передачи, таких как коаксиальная или полосковая, могут быть равны нулю продольные составляющие и электрического, и магнитного поля

4

одновременно. Такие волны, для которых H Z 0 и E Z 0 называют Т–

волнами (поперечными) или поперечно-электромагнитными волнами,

обозначаемыми символом ТЕМ (Transversion Electro-Magnetic). В

направляющих системах могут также существовать смешанные

(гибридные) волны, у которых отличны от нуля все компоненты электромагнитного поля.

Круглые волноводы представляют собой металлическую трубу

круглого сечения радиусом а (рис. 1),	в которых	также как в
прямоугольных волноводах распространяются	Е - и Н -	волны, и не
распространяются волны типа Т.

Рис.1

E – волны

При анализе круглого волновода удобно использовать цилиндрическую систему координат r, , z, при этом ось z совмещена с осью волновода (рис.1). Уравнение Гельмгольца для продольной компоненты вектора напряженности электрического поля в цилиндрической системе координат имеет вид:

2		1				1			2
E z					E z						E z	2	E z	0 .	(1)
r	2		r		r		r	2			2

5

Для решения (1) применим метод разделения переменных, что приводит к двум независимым дифференциальным уравнениям

	d	2 Ф	m	2 Ф 0	,	(2)
	d	2

d 2 R		1 dR			(		m 2		(3)
dr 2		r dr				2	r 2 ) R 0 .

Решение уравнения (2) имеет вид

Ф ( ) A sin m

B cos m ,

где A						A	,	m целое число (m=0,1,2 …).
		A 2 B 2	;	arctg
1						B
	Функция		Ф должна быть четной относительно угла							. Поэтому,
постоянная А = 0 и
					Ф ( )			B cos m (	0 ) .	(4)

Уравнение (3) является уравнением Бесселя, его решение хорошо известно и может быть представлено в виде

R r C J m r D N m r ,

								6
где J m	r	и N m	r		- функции Бесселя		m - го порядка первого и
второго рода, функцию			N	m	r	называют также функцией Неймана m -
го порядка;	С	, D - произвольные постоянные.
Функция		Бесселя	второго			рода при	r	0 стремится к
бесконечности.		Так как напряженность поля в любой точке волновода

должна быть ограничена, то необходимо наложить условие										D/ = 0. Таким
образом, получаем продольную компоненту электрического поля в виде
		E		J		r cos m		e	j z	,	(5)
E	z		0 z		m		0

где Е0z=А1С/ - амплитуда продольной составляющей электрического поля.

Подставляя выражение для E z из (5) в соотношения, связывающие поперечные и продольные компоненты электромагнитного поля,

определяем поперечные составляющие поля.

Составляющие векторов поля волны типа Еmn в круглом волноводе имеют вид

E r

j

E 0 J m'

r

cos

m

exp

j

z

,

m

E

j

E

0 J m

r

sin

m

exp

j

z

,

2 r

E z

E 0 J m

r cos

m

exp

j

z ,

6

H r

j

a

mE 0 J m

r

sin

m

exp

j

z ,

2 r

H

j

a

E 0 J m'

r cos

m

exp

j

z

,

H z

0 .

7

В уравнениях (6) штрих означает дифференцирование по всему аргументу функций Бесселя. Чтобы найти , надо воспользоваться граничным условием

Еzr=a= 0.

Подставляя его в (6), получаем

J m	a 0 .	(7)
Значения аргумента, при которых функция Бесселя равна нулю
называются корнями функции Бесселя. Обозначая		n - й корень функции
Бесселя m – го порядка через	mn из последнего уравнения получаем

a

mn

(8)

где m = 0,1,2,3,…	порядок функции Бесселя,
n = 1,2,3,… -	номер корня в порядке возрастания.
Нумерация	Еmn – волн, отличающихся друг от друга по структуре

поля в плоскости поперечного сечения, волновода, осуществляется в

соответствии с порядковым номером	корня уравнения (7). Например,
корню 01 соответствует волна Е01 , корню		13 – волна Е13 и т.д. Индекс
m - соответствует числу стоячих	волн	поля, укладывающихся по

окружности волновода, т.е. число вариаций поля по угловой координате

поля	, а индекс n – число вариаций по радиальной координате r.
	Из уравнения (8) определяем			и находим кр . Для волн типа
Еmn	в круглом волноводе критическая длина волны определяется
выражением
		2 a		(9)
	кр		,

mn

8

где a — радиус волновода; mn — n - й корень уравнения Jm(х) = 0.

Выражения, определяющие длину волны в волноводе и фазовую скорость волны, имеют такой же вид, как и в теории прямоугольного волновода

	v			c
		ф
							,		(10)
			2
			1
					кр

,

(11)

2

1

кр.

где – длина волны в волноводе,

– длина волны в свободном пространстве.

H – волны

Решение уравнения Гельмгольца для продольной компоненты вектора напряженности магнитного поля в цилиндрической системе координат имеет вид:

2	1				1			2
H z				H z				H z	2	H	0 .	(12)
r 2		r		r		r 2	2			z

Дальнейшее решение аналогично проведенному для электрических волн. В результате получаем следующее выражение для продольной составляющей магнитного поля

							9
H	z	H 0 z J m		r cos	m	0 e j z .	(13)
Подставляя выражение		для H	z	из (13)	в	соотношения,	связывающие

поперечные и продольные компоненты электромагнитного поля,

определяем поперечные составляющие поля.

Выражения для составляющих векторов поля волн типа Нmn в

круглом волноводе имеют вид:

E	r	j	a mH		0	J	m	r	sin m	exp	j z ,
			2 r
E		j	a	H 0 J m'				r cos m		exp	j z ,
E z		0,									14
H r		j		H 0 J m'				r cos m		exp	j z ,
H		j	m	H 0 J m				r sin m		exp	j z ,
			2 r
H z		H 0 J m			r cos m				exp	j z ..

В уравнениях (14) штрих означает дифференцирование по всему аргументу функции Бесселя. Для определения поперечного волнового

числа	воспользуемся граничным условием	H	z	0 . Учитывая, что в
		n

круглом волноводе	дифференцирование			по нормали соответствует
дифференцированию	по радиусу,		можно получить		трансцендентное
уравнение
	J	/	a	0 .	(15)
		m

10

Отметим, что при выполнении равенства (15) согласно (14)

касательная к стенкам волновода составляющая						E электрического поля
равна нулю на поверхности стенок волновода. Обозначив								корни
уравнения (15), число		которых	бесконечно,			через	mn	находим
поперечное волновое число волн Нmn :
			a		mn .
	Для волн типа Hmn	в круглом волноводе критическая длина волны
равна
			2 a					16
		кр		,
			mn
где	mn — n - й корень уравнения		J m ( x )		0 .

Выражения,описывающие длину волны в волноводе и фазовую скорость, остаются такими же, как и для электрических волн (10) , (11).

Несмотря на конструктивные преимущества, круглые волноводы

используют значительно реже, чем прямоугольные. Это обусловлено поляризационной неустойчивостью основной волны типа Н11 в круглом волноводе. Поляризационная неустойчивость образуется из-за симметрии круглого волновода. Например, если на входе некоторой волноводной системы волна типа Н11 поляризована вертикально, то под влиянием различных случайных деформаций волноводной линии колебания на линии имеют уже другое направление плоскости поляризации. Так как возбуждающие устройства работают, как правило, лишь с колебаниями вполне определенной поляризации, круглые волноводы с волной Н11 не используют в качестве линии передачи СВЧсигналов. Однако если в круглом волноводе возбудить волны Н11 ортогональные друг другу и