Оптимальное и адаптивное управление.-4
.pdfМинистерство высшего образования и науки РФ
Томский государственный университет систем управления
и радиоэлектроники
Кафедра экономической математики, информатики и статистики
«Оптимальное и адаптивное управление»
В.И.Смагин
Учебно-методическое пособие к лабораторным и практическим работам для магистрантов
Предлагаемые задания выполняются магистрантами в компьютерном классе с использованием пакета прикладных программ Scilab. В приложении к описанию даны варианты исходных данных к заданиям.
Томск – 2018
Аннотация
В учебно-методическом пособии приводятся задания к лабора-
торным работам, в которых рассмотрены задачи оптимального и адап-
тивного управления фондами потребления [1] и задачи управления фирмой [2]. Задания и рекомендации по выполнению лабораторных работ составлены по материалам, опубликованным в [3-8]. Лаборатор-
ные работы выполняются в системе Scilab.
Пособие разработано для магистрантов ФВС, используется при изучении курса “Оптимальное и адаптивное управление”.
СОДЕРЖАНИЕ
Лабораторная работа № 1…………………………………………..3 Лабораторная работа № 2…………………………………………..12 Лабораторная работа № 3…………………………………………..13 Лабораторная работа № 4…………………………………………..15 Лабораторная работа № 5…………………………………………..16 Лабораторная работа № 6…………………………………………..18 Лабораторная работа № 7…………………………………………..20 Лабораторная работа № 8…………………………………………..23 Лабораторная работа № 9……………………………………….….25 Лабораторная работа № 10..………………………………………..26 Лабораторная работа № 11………………………………………….28 Лабораторная работа № 12………………………………………….31 Лабораторная работа № 13………………………………………….34 ПРИЛОЖЕНИЕ……………………………………………………….37 ЛИТЕРАТУРА…………………………………………………………41
2
Лабораторная работа № 1
ИССЛЕДОВАНИЕ СТРАТЕГИЙ УПРАВЛЕНИЯ ФИРМОЙ
1. Описание модели производства, сбыта и хранения
n видов товаров
Рассмотрим модель производства n видов товаров в условиях
рынка. Вектор состояния x(k) представлен компонентами: |
|
||||
z1 (k ) |
|
|
|||
v (k ) |
|
|
|
||
|
1 |
|
|
|
|
z2 |
(k ) |
|
|
||
|
|
|
|
|
|
x(k ) v2 |
(k ) |
, |
(33) |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
zn |
(k ) |
|
|
||
v |
n |
(k ) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
w(k ) |
|
|
|
где zi (k) количество товаров i -го вида на рынке; vi (k) количе-
ство товаров i -го вида у потребителя, i 1,n ; w(k) прибыль. Математическая модель динамики изменения количества това-
ров у потребителей и на рынке, а также прибыли может быть записана
в следующем виде:
z1(k 1) (1 k11 )z1(k) s1(k) u1(k) , v1(k 1) (1 k21 )v1(k) s1(k) ,
z2 (k 1) (1 k12 )z2 (k) s2 (k) u2 (k) , v2 (k 1) (1 k22 )v2 (k) s2 (k) ,
………………….
………………….
zn (k 1) (1 k1n )zn (k) sn (k) un (k) ,
3
vn (k 1) (1 k2n )vn (k) sn (k) ,
w(k 1) w(k) c1s1(k) c2s2 (k) ... cnsn (k) k31z1(k) k32 z2 (k) ...
|
... k3n zn (k) c01u1(k) c02u2 (k) ... c0nun (k) , |
|
(34) |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
где |
ui (k) количество товаров, |
выпускаемых за один такт, |
i |
1,n , |
|||
k1i |
коэффициенты потерь; k2i |
коэффициенты потребления; |
k3i |
|
|||
стоимость хранения единицы товаров; с0i себестоимости; |
si |
(k) |
|
|
|
|
|
|
|
|||||
количество проданных товаров i -го |
вида в один такт, i 1,n . Функ- |
|||||||||
ции продаж определяются по формулам: |
|
|
|
|
|
|
|
|||
s (k) n exp( c )(1 v (k)Y |
1 )z (k) , |
(35) |
||||||||
i |
i |
i |
i |
i |
i |
|
|
|||
|
|
|
|
|
||||||
ni коэффициенты продаж; сi |
цены на товары, i 1,n ; Yi |
потен- |
циальный спрос для i -го вида товара (объем рынка для i -го вида то-
вара).
Модель (34), (35) может быть представлена в следующем век-
торно-матричном виде: |
|
|
|
|
|
|
x(k 1) A (x(k)) Bu(k) q(k) , |
(36) |
|||||
где вектор (x(k)) следующий: |
|
|
|
|
|
|
|
|
z1 (k ) |
|
|
||
|
|
v1 (k ) |
|
|
||
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
zn (k ) |
|
|
||
|
|
|
|
|||
|
|
vn (k ) |
|
|
||
( x(k )) |
|
w(k ) |
. |
|
||
|
|
|
|
|||
v |
(k )z (k ) |
|
||||
|
1 |
1 |
|
|
|
|
v2 |
(k )z2 (k ) |
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
v |
n |
(k )z |
n |
(k ) |
|
|
|
|
|
|
|
||
4 |
|
|
|
|
|
|
В (36) введены дополнительно аддитивные возмущения q(k) , которые
учитывают возможные |
ошибки |
|
модели. |
Характеристики |
процесса |
||||||||||
q(k) |
описаны ниже. Матрица динамики A для данного объекта имеет |
||||||||||||||
вид: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a11 |
0 |
0 |
|
0 |
|
0 |
0 |
|
a1,2n 2 |
0 |
|
0 |
|
|
|
a21 |
a22 |
0 |
|
0 |
|
0 |
0 |
|
a2,2n 2 |
0 |
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
A |
0 |
0 |
0 |
a2n 1,2n 1 |
|
0 |
0 |
|
0 |
0 |
a2n 1,3n 1 |
|
, |
||
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
0 |
0 |
0 |
a |
2n,2n 1 |
a |
2n,2n |
0 |
|
0 |
0 |
a |
2n,3n 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
0 |
a2n 1,3 |
a2n 1,2n 1 |
|
0 |
1 |
a2n 1,2n 2 |
a2n 1,2n 3 |
a2n 1,3n 1 |
|
|
|||
a2n 1,1 |
|
|
|
где элементы матрицы определяются по формулам: a11 1 k11 n1 exp( c1 ),
a |
n1 exp( c1 ) , |
||
1,2n 2 |
|
Y1 |
|
|
|
a21 n1 exp( c1 ),
a22 1 k21,
a |
2,2n 2 |
n1 exp( c1 ) |
, |
|
|
|
Y1 |
|
|
|
|
|
|
a2n 1,2n 1 1 k1n nn exp( cn ),
a |
2n 1,3n |
1 |
nn exp( cn ) |
, |
|
|
|
Yn |
|
||
|
|
|
|
|
|
a2n,2n 1 nn exp( cn ) , |
|||||
|
a2n,2n 1 k2n , |
|
|||
a |
2n,3n 1 |
nn exp( cn ) , |
|||
|
|
|
Yn |
|
|
|
|
|
|
|
a2n 1,1 k31 c1n1 exp( c1 ), a2n 1,3 k32 c2n2 exp( c2 ),
a2n 1,2n 1 k3n cnnn exp( cn ), ,
5
|
|
|
cini |
exp( ci ) |
|
|
|
|
|
|
|
|||||
a |
2n 1, j |
, , |
j 2n 2,3n 1, |
i 1,n . |
||||||||||||
|
Yi |
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Матрица B имеет вид: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
1 |
0 |
0 |
|
0 |
0 |
|
|||||
|
|
|
|
|
0 |
0 |
0 |
|
0 |
0 |
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
0 |
1 |
0 |
|
0 |
0 |
|
|||||
|
|
|
|
|
0 |
0 |
0 |
|
0 |
0 |
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
B |
|
|
0 |
0 |
1 |
|
0 |
0 |
. |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
0 |
0 |
0 |
|
0 |
1 |
|
|||||
|
|
|
|
|
0 |
0 |
0 |
|
0 |
0 |
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
c |
c |
c |
|
c |
c |
|
|||||||
|
|
|
|
|
01 |
02 |
03 |
04 |
|
0n |
||||||
Начальное значение |
x(0) и вектор возмущений q(k) |
по предположе- |
нию являются гауссовскими случайными величинами, для которых выполняются условия:
|
|
M q(k) 0, |
M q(k)qT ( j) Q(k) kj . |
(37) |
|||||||
Здесь kj |
символ Кронекера ( kj |
1 при k = j и kj |
0 |
при k j). |
|||||||
Предполагается, что начальное состояние и вектор возмущений |
|||||||||||
взаимно некоррелированы: |
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
M |
|
x(0)qT (k ) 0 , |
|
|
|
(38) |
|
|
|
|
|
0 |
|
|
0 |
0 |
|
x0 |
|
|
M |
|
x(0) |
x , M |
(x(0) x )(x(0) x )T |
|
P . |
(39) |
2. Описание модели производства, сбыта и хранения двух видов товаров
Рассмотрим модель производства двух видов товаров в условиях рынка. Вектор состояния x(k) состоит из пяти компонент:
6
z1 (k ) |
x1 (k ) |
|
|||||
v (k ) |
x |
|
(k ) |
|
|
||
|
1 |
|
|
2 |
|
|
|
x(k ) z |
|
(k ) |
x (k ) |
, |
(40) |
||
|
2 |
|
|
3 |
|
|
|
v2 (k ) |
x4 (k ) |
|
|
||||
w(k ) |
x5 (k ) |
|
где z1 (k) , z2 (k) количество товаров 1-го и 2-го вида на рынке; v1 (k) , v2 (k) количество товаров 1-го и 2-го вида у потребителя, w(k) прибыль.
Математическая модель динамики изменения количества това-
ров у потребителей и на рынке, а также прибыли может быть записана
в следующем виде: |
|
|
|
|
|
|
|
|
z1(k 1) (1 k11 )z1(k) s1(k) u1(k) , |
|
|||||
|
|
v1(k 1) (1 k21 )v1(k) s1(k) , |
|
||||
|
z2 (k 1) (1 k12 )z2 (k) s2 (k) u2 (k) , |
|
|||||
|
|
v2 (k 1) (1 k22 )v2 (k) s2 (k) , |
|
||||
|
w(k 1) w(k) c1s1(k) c2s2 (k) k31z1(k) k32 z2 (k) |
|
|||||
|
|
c01u1(k) c02u2 (k) , |
(41) |
||||
где |
u1 (k) , u2 (k) |
количество товаров, выпускаемых за один такт; |
|||||
k11 , |
k12 коэффициенты потерь; |
k21 , |
k22 |
коэффициенты потребле- |
|||
ния; |
k31 , k32 стоимость хранения единицы товаров; с01 , с02 |
себе- |
|||||
стоимости; s1 (k) , |
s2 (k) количество проданных товаров 1-го и 2-го |
||||||
вида в один такт (функции продаж). Формулы для s1 (k) , s2 (k) |
имеют |
||||||
вид: |
|
|
|
|
|
|
|
|
s (k) n exp( c )(1 v (k)Y |
1 )z (k) , |
(42) |
||||
|
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
|
|
|
7 |
|
|
|
|
s (k) n |
exp( c )(1 v (k)Y |
1 )z (k) , |
(43) |
||||
2 |
2 |
2 |
2 |
2 |
2 |
|
|
n1 , n2 коэффициенты продаж; |
с1 , с2 цены на товары; Y1 , |
Y2 |
|||||
потенциальный спрос на товар 1-го вида и 2-го вида. |
|
||||||
В векторно-матричном виде модель следующая: |
|
||||||
x(k 1) A (x(k)) Bu(k) , |
|
x(0) x0 , |
(44) |
||||
В (44) вектор (x(k)) |
представляется в виде: |
|
|
|
|||
|
|
|
|
x1 (k ) |
|
|
|
|
|
|
|
x2 (k ) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
x3 (k ) |
|
|
|
|
( x(k )) |
|
x4 (k ) |
|
|
||
|
|
. |
(45) |
||||
|
|
|
|
x5 (k ) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x1 |
(k )x2 (k ) |
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x3 |
(k )x4 (k ) |
|
Матрица динамики А для данного объекта имеет вид:
|
1 |
k |
n exp( c ) |
0 |
|
0 |
0 |
0 |
|
n1 exp( c1 ) |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
11 |
1 |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
Y1 |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
n exp( c ) |
|
1 k |
|
0 |
0 |
0 |
|
n1 exp( c1 ) |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
1 |
1 |
|
|
21 |
|
|
|
|
|
|
Y1 |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 k12 n2 exp( c2 ) |
|
|
|
|
|
|
|
|
A |
|
|
|
0 |
|
0 |
|
0 |
0 |
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
0 |
|
n2 exp( c2 ) |
1 k22 |
0 |
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
c n exp( c ) |
||||
k31 |
c1n1 exp( c1 ) |
0 |
|
k32 c2n2 exp( c2 ) |
0 |
1 |
|
|
1 1 |
1 |
|
|||||
|
|
|
Y1 |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n2 exp( c2 ) |
|
|
|
, |
|
|
|
Y2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
n2 exp( c2 ) |
|
|
||||
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Y2 |
|
|||
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
c2n2 exp( c2 ) |
|
|
|||
|
|
|||||
|
|
Y2 |
|
|
|
Матрица В и вектор управления следующие:
8
|
1 |
0 |
|
|
|
|
0 |
0 |
|
|
|
|
|
u1 |
(k) |
||
B 0 |
|
|
|||
1 |
, u(k) |
. |
|||
|
0 |
0 |
|
u2 |
(k) |
|
|
|
|
||
|
c |
c |
|
|
|
|
01 |
02 |
|
|
|
ЗАДАНИЕ
1. Для модели фирмы, производящей два вида товаров (41) (43)
выполнить моделирование для следующих значений параметров:
u1 60, u2 65 |
количество товаров, выпускаемых фирмой за один |
|||||||||||
такт; |
n1 1,95, |
n2 1,8 |
|
коэффициенты продаж; |
c1 2,5 у.е., |
|||||||
c2 1,5 у.е. цены на товары; |
c0,1 |
1,0 у.е., c0,2 0,9 у.е. себестои- |
||||||||||
мости; |
Y1 Y2 |
1000 |
|
потенциальный |
спрос |
(объем рынка); |
||||||
k1,1 |
0,15, |
k1,2 |
0,13 |
|
|
коэффициенты |
потерь; |
k2,1 0,1, |
||||
k2,2 |
0,055 |
|
|
коэффициенты |
потребления; |
k3,1 |
0,002 у.е., |
|||||
k3,2 |
0,001 |
у.е. стоимости хранения единицы товара за один день. |
Моделирование выполнить на интервале времени от 0 до 140
(один такт соответствует 1 дню) для следующих начальных условий: z1(0) 150, z2 (0) 300, v1(0) 250, v2 (0) 170, w(0) w0 у.е.
Полученные графики переходных процессов привести в отчет (вели-
чина w0 приведена в таблице 4). Определить прибыль в последний день. Сделать выводы.
2. Исследовать влияние различных стратегий управления фир-
мой на полученную прибыль.
9
Стратегия 1. Увеличить цену 2-го вида товара c2 до величины
2,3у.е. Привести в отчет графики изменения прибыли. Определить прибыль в последний день исследуемого периода ( w140 ). Оценить воз-
можность реальной реализации этой стратегии. Сделать выводы.
Стратегия 2. Увеличить коэффициент продаж n2 до величины
3,2 (увеличение этого коэффициента можно осуществить, реализовав рекламную компанию). В модели учесть затраты на рекламу в 2у.е. в
течении первых 10 дней. Затем этот коэффициент должен уменьшаться по линейному закону в течение 60 дней до первоначальной величины n2 1,8 . Затем опять провести рекламную компанию в течение 10
дней.
Привести в отчет графики изменения прибыли. Определить при-
быль в последний день исследуемого периода ( w140 ). Сделать выводы.
Стратегия 3. Увеличить потенциальный спрос (объем рынков для 1-го и 2-го вида товаров). В модели учесть затраты на расширение рынка в 8у.е. в течении первых 60 дней. По окончании этого периода значения Y1 и Y2 принять равными 2000 (увеличение этих параметров осуществляется посредством расширения рынка в течении первых 60
дней, например, создав новые торговые точки в новом регионе). Если потребуется заимствование (банковское кредитование), определить объем и время заимствования, а также объем и время возврата кредита
(расчеты выполнить для 20% годовой ставки).
Привести в отчет графики изменения прибыли. Определить при-
быль в последний рабочий день исследуемого периода ( w140 ). Сделать выводы.
10