matem2013-04gia9fipi

Математика. 9 класс

Вариант 2 – 5

Математика. 9 класс

Вариант 2 – 6

Малина на рынке стоит 160 рублей за килограмм, а в супермаркете — 200

16

Модуль «Реальная математика»

рублей за килограмм. На сколько процентов малина на рынке дешевле, чем

в супермаркете?

.

В таблице представлены нормативы по технике чтения в 3 классе.

Ответ:

14

На одной прямой через равные промежутки по одну

17

сторону от дороги установили три столба. Крайние

Отметка

Количество прочитанных слов в минуту

находятся на расстояниях 6,7 м и 7,9 м от дороги.

I и II четверти

III и IV четверти

7,9

?

6,7

Найдите расстояние, на котором находится от дороги

«2»

59 и менее

69 и менее

средний столб. Ответ дайте в метрах.

«3»

60–69

70–79

«4»

70–79

80–89

Ответ:

.

«5»

80 и более

90 и более

На диаграмме показано содержание питательных

18

Какую отметку получит третьеклассник, прочитавший в апреле 66 слов

веществ в рисе.

с момента запуска двигателя. Наwwwоси

.ctege.info

за минуту?

рис

1) «2»

2) «3»

3) «4»

4) «5»

белки

На графике показана

зависимость температуры

двигателя от

времени

жиры

15

абсцисс

откладывается

время

углеводы

в минутах, прошедшее от момента запуска двигателя, на оси ординат —

прочее*

температура двигателя

в градусах Цельсия. Определите по

графику,

Какое утверждение относительно содержания веществ в рисе верно?

за сколько минут двигатель нагреется с 50 ◦C до 80 ◦C.

1) Углеводы

составляют примерно

три четверти

содержания

100

90

питательных веществ в рисе.

80

2) В рисе содержится в два раза больше белков, чем жиров.

3) В 1 килограмме риса содержится примерно 200 граммов белков.

70

60

4) Содержание жиров в рисе превосходит содержание углеводов.

50

40

В соревнованиях

по толканию ядра

участвуют 9

спортсменов

30

19

из Великобритании, 3 спортсмена из Франции, 4 спортсмена из Германии и

20

9 — из Италии. Порядок, в котором выступают спортсмены, определяется

10

жребием. Найдите вероятность того, что спортсмен, выступающий

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

последним, окажется из Германии.

Ответ:

.

Ответ:

.

c 2013 Федеральный институт педагогических измерений	c 2013 Федеральный институт педагогических измерений
Копирование не допускается	Копирование не допускается

Математика. 9 класс

Вариант 2 – 7

Математика. 9 класс

Вариант 2 – 8

20 Мощность прибора (в ваттах) можно вычислить по формуле P = U2 , где

R

U — напряжение питания (в вольтах), а R — сопротивление прибора (в омах). Пользуясь этой формулой, найдите сопротивление R, если U = 15 В, а P = 10 Вт. Ответ дайте в омах.

Ответ:		.

Часть 2

При выполнении заданий 21–26 используйте бланк ответов № 2. Сначала укажите номер задания, а затем запишите его решение и ответ. Пишите чётко и разборчиво. Обращаем Ваше внимание на то, что записи в черновике не будут учитываться при оценивании работы.

Модуль «Алгебра»

21 Решите уравнение x3 − 3x2 − 8x + 24 = 0.

22Расстояние между городами A и B равно 490 км. Из города A в город B со скоростью 55 км/ч выехал первый автомобиль, а через час после этого навстречу ему из города B выехал со скоростью 90 км/ч второй

www.ctegeавтомобиль.Наinfoкаком расстоянии от города A автомобили встретятся? 23 Постройте график функции y = |x − 1| − |x + 3| + x + 4 и найдите

значения m, при которых прямая y = m имеет с ним ровно две общие точки.

Модуль «Геометрия»

√

24 В треугольнике ABC угол B равен 56◦, угол C равен 64◦, BC = 3 3. Найдите радиус описанной около этого треугольника окружности.

25В треугольнике ABC угол B равен 36◦, AB = BC, AD — биссектриса. Докажите, что треугольник ACD — равнобедренный.

26В окружности с центром в точке O проведены две хорды AB и CD.

Прямые AB и CD перпендикулярны и пересекаются в точке M, лежащей вне окружности. При этом AM = 17, BM = 3, CD = 10√21. Найдите OM.

c 2013 Федеральный институт педагогических измерений	c 2013 Федеральный институт педагогических измерений
Копирование не допускается	Копирование не допускается

Математика. 9 класс

Вариант 1 – 1

Математика. 9 класс

Вариант 1 – 2

Критерии оценивания заданий с развёрнутым ответом

Решение.

За первые три часа пути автомобиль, выехавший из города А,

Модуль «Алгебра»

проехал 150 километров и расстояние от него до города В стало

равным 600 км. Далее, скорость сближения двух автомобилей

x2 + 3x + y2 = 2,

равна 120 км/ч, значит, они

встретятся через 5 часов после

21

6.

выезда второго автомобиля. Таким образом, первый автомобиль

Решите систему уравнений x2 + 3x

−

y2 =

−

Решение.

до встречи находился в пути 8 часов, и проехал за это время

400 километров.

Сложим два уравнения системы:

Ответ: 400 км.

2

2

Содержание критерия

Баллы

2x + 6x = −4;

x + 3x + 2 = 0;

(x + 1)(x + 2) = 0,

Ход решения задачи верный, получен верный ответ

3

откуда получаем x = −2 или x = −1.

Ход решения правильный, все его шаги

2

Вычтем из первого уравнения системы второе:

2y2 = 8;

y2 = 4,

присутствуют, но допущена ошибка или описка

вычислительного характера

откуда получаем y = −2 или y = 2.

Другие случаи, не соответствующие указанным

0

Таким образом, решения системы (−2; −2), (−2; 2), (−1; −2),

критериям

(−1; 2).

Максимальный балл

3

Ответ: (−2; −2), (−2; 2), (−1; −2), (−1; 2).

23

Постройте график функции y = x − 2| − |x + 1| + x − 2 и найдите

Содержание критерия

Баллы

www.ctegeзначения.minfo, при которых прямая|

y = m имеет с ним ровно две

Все преобразования выполнены верно, получен

2

общие точки.

верный ответ

Решение.

По ходу решения допущена одна ошибка

1

Раскрывая модули, получаем, что график функции совпадает

вычислительного характера или описка, с её учётом

с прямой y = x + 1 при x < −1, совпадает с прямой y = −x − 1 при

решение доведено до конца

Другие случаи, не соответствующие указанным

0

−1 ≤ x ≤ 2 и совпадает с прямой y = x − 5 при x > 2.

График изображён на рисунке.

критериям

y

Максимальный балл

2

– 11 0

22 Расстояние между городами A и B равно 750 км. Из города A

1

2

x

в город B со скоростью 50 км/ч выехал первый автомобиль, а

через три часа после этого навстречу ему из города B выехал со

– 3

скоростью 70 км/ч второй автомобиль. На каком расстоянии от

Прямая y = m имеет с графиком данной функции ровно две

города A автомобили встретятся?

общие точки при m = −3 и m = 0.

c 2013 Федеральный институт педагогических измерений	c 2013 Федеральный институт педагогических измерений
Копирование не допускается	Копирование не допускается

Математика. 9 класс Вариант 1 – 3 Математика. 9 класс Вариант 1 – 4

Ответ: m = −3, m = 0.

25

В треугольнике

ABC угол

B равен 36◦,

AB = BC,

AD —

биссектриса. Докажите, что треугольник ABD — равнобедренный.

Содержание критерия

Баллы

Доказательство.

График построен верно, дан верный ответ на вопрос

4

A

Треугольник

ABC

равнобедренный,

Ход решения правильный, все его шаги

3

поэтому

ACB = BAC = 72◦.

Значит,

присутствуют, но в ходе решения допущена ошибка

BAD =

BAC

= 36◦. Таким

образом,

углы

B

D

вычислительного характера или описка;

2

C

Или: допущена ошибка или описка при записи ответа;

ABD и BAD равны, поэтому треугольник ABD —

равнобедренный.

Или: график построен правильно, ответ на вопрос

отсутствует

Содержание критерия

Баллы

Доказательство верное, все шаги обоснованы

3

Другие случаи, не соответствующие указанным

0

критериям

Доказательство в целом верное, но содержит

2

неточности

Максимальный балл

4

Другие случаи, не соответствующие указанным

0

критериям

Модуль «Геометрия»

Максимальный балл

3

В треугольнике ABC угол B равен

72◦,

угол C равен 63◦,

24

26

В окружности с центром в точке O проведены две хорды AB и CD.

BC = 2√

2

. Найдите радиус описанной около этого треугольника

Прямые AB и CD перпендикулярны и пересекаются в точке M,

окружности.

√

46

лежащей вне окружности. При этом AM = 36, BM = 6, CD = 4

.

Решение.

www.ctege.info

Найдите OM.

Угол A треугольника ABC равен A = 180◦ − B − C = 45◦.

Решение.

Радиус описанной окружности равен

BC

= 2.

Обозначим r радиус окружности, точкой K

A

B M

Ответ: 2.

2 sin A

середину отрезка AB, а точкой L середину отрезка

K

C

L

CD. Поскольку

треугольники

AOB

и

COD

Содержание критерия

Баллы

равнобедренные, OK и OL перпендикулярны AB

O

Ход решения верный, все его шаги выполнены

2

D

и CD соответственно.

правильно, получен верный ответ

Отрезок AB равен AM − BM = 30. Четырёхугольник OKML

Ход решения верный, все его шаги выполнены

1

является прямоугольником, поэтому OL =

AB

+ BM = 21.

правильно, но даны неполные объяснения или

2

Из

прямоугольного

треугольника

ODL

находим

допущена одна вычислительная ошибка

r = √

= 25.

OL2 + DL2

Другие случаи, не соответствующие указанным

0

Из

прямоугольного

треугольника

OKB

находим

критериям

√

= 20.

2

− KB

2

OK =

r

Максимальный балл

2

Из

прямоугольного

треугольника

OKM

находим

c 2013 Федеральный институт педагогических измерений	c 2013 Федеральный институт педагогических измерений
Копирование не допускается	Копирование не допускается

Математика. 9 класс				Вариант 1 – 5
OM = √			= 29.
		OK2 + KM2
	Ответ: 29.
		Содержание критерия		Баллы
	Ход решения верный, все его шаги выполнены			4
	правильно, получен верный ответ
	Ход решения верный, все его шаги выполнены			3
	правильно, но даны неполные объяснения или
	допущена одна вычислительная ошибка
	Другие случаи, не соответствующие указанным			0
	критериям
			Максимальный балл	4

www.ctege.info

c 2013 Федеральный институт педагогических измерений Копирование не допускается

Математика. 9 класс

Вариант 2 – 1

Математика. 9 класс

Вариант 2 – 2

Критерии оценивания заданий с развёрнутым ответом

Ответ: 220 км.

Содержание критерия

Баллы

Модуль «Алгебра»

Ход решения задачи верный, получен верный ответ

3

21

Решите уравнение x3 − 3x2 − 8x + 24 = 0.

Ход решения правильный, все его шаги

2

присутствуют, но допущена ошибка или описка

Решение.

вычислительного характера

Раскладывая на множители левую часть уравнения, получаем

Другие случаи, не соответствующие указанным

0

(x − 3)

x2 − 8

= 0. Таким образом, корни уравнения x = −2√2,

√

2

x = 3

.

критериям

x = 2

,

Ответ: −2√2, 2√2, 3.

Максимальный балл

3

Содержание критерия

Баллы

23

Постройте график функции y = |x − 1| − |x + 3| + x + 4 и найдите

Все преобразования выполнены верно, получен

2

значения m, при которых прямая y = m имеет с ним ровно две

верный ответ

общие точки.

По ходу решения допущена одна ошибка

1

Решение.

вычислительного характера или описка, с её учётом

Раскрывая модули, получаем, что график функции совпадает

решение доведено до конца

с прямой y = x + 8 при x < −3, совпадает с прямой y = 2 − x при

Другие случаи, не соответствующие указанным

0

−3 ≤ x ≤ 1 и совпадает с прямой y = x при x > 1.

критериям

График изображён на рисунке.

y

Максимальный балл

www2 .ctege.info5

22 Расстояние между городами A и B равно 490 км. Из города A в

город B со скоростью 55 км/ч выехал первый автомобиль, а через

час после этого навстречу ему из города B выехал со скоростью

1

90 км/ч второй автомобиль. На каком расстоянии от города A

0

x

автомобили встретятся?

– 3

1

Решение.

Прямая y = m имеет с графиком данной функции ровно две

За первый час пути автомобиль, выехавший из города А,

общие точки при m = 1 и m = 5.

проехал 55 километров и расстояние от него до города В стало

Ответ: m = 1, m = 5.

равным 435 км. Далее, скорость сближения двух автомобилей

равна 145 км/ч, значит, они встретятся через 3 часа после

выезда второго автомобиля. Таким образом, первый автомобиль

до встречи находился в пути 4 часов, и проехал за это время

220 километров.

c 2013 Федеральный институт педагогических измерений	c 2013 Федеральный институт педагогических измерений
Копирование не допускается	Копирование не допускается

Математика. 9 класс

Вариант 2 – 3

Математика. 9 класс

Вариант 2 – 4

В треугольнике ABC угол

25

B равен 36◦,

AB = BC,

AD —

Содержание критерия

Баллы

биссектриса. Докажите, что треугольник ACD

— равнобедренный.

График построен верно, дан верный ответ на вопрос

4

Доказательство.

Ход решения правильный, все его шаги

3

A

Треугольник ABC равнобедренный, поэтому

присутствуют, но в ходе решения допущена ошибка

ACB = BAC = 72◦. Значит,

вычислительного характера или описка;

BAC

B

Или: допущена ошибка или описка при записи ответа;

BAD =

= 36◦;

D

C

Или: график построен правильно, ответ на вопрос

2

ADC = ABD + BAD = 72◦.

отсутствует

Таким образом, углы ADC и ACD равны, поэтому треугольник

Другие случаи, не соответствующие указанным

0

ACD — равнобедренный.

критериям

Максимальный балл

4

Содержание критерия

Баллы

Доказательство верное, все шаги обоснованы

3

Доказательство в целом верное, но содержит

2

Модуль «Геометрия»

неточности

В треугольнике ABC угол B равен

56◦,

угол C равен 64◦,

Другие случаи, не соответствующие указанным

0

24

критериям

BC = 3√

. Найдите радиус описанной около этого треугольника

3

Максимальный балл

3

окружности.

Решение.

окружности с центром в точке O проведены две хорды AB

www.ctege

В

.info

26

Угол A треугольника ABC равен A = 180◦ − B − C = 60◦.

и CD. Прямые AB и CD перпендикулярны и пересекаются в

Радиус описанной окружности равен

BC

= 3.

точке M, лежащей вне окружности. При этом AM = 17, BM = 3,

2 sin A

Ответ: 3.

CD = 10√

. Найдите OM.

21

Содержание критерия

Баллы

Решение.

Ход решения верный, все его шаги выполнены

2

Обозначим r радиус окружности, точкой

K

A

B M

правильно, получен верный ответ

середину отрезка AB, а точкой L середину отрезка

K

C

L

CD. Поскольку треугольники AOB и COD

Ход решения верный, все его шаги выполнены

1

равнобедренные, OK и OL перпендикулярны AB

O

правильно, но даны неполные объяснения или

D

и CD соответственно.

допущена одна вычислительная ошибка

Отрезок AB равен AM − BM = 14. Четырёхугольник OKML

Другие случаи, не соответствующие указанным

0

критериям

является прямоугольником, поэтому OL =

AB

+ BM = 10.

Из

прямоугольного

треугольника2

ODL

находим

Максимальный балл

2

r = √

= 25.

OL2 + DL2

Из

прямоугольного

треугольника

OKB

находим

c 2013 Федеральный институт педагогических измерений	c 2013 Федеральный институт педагогических измерений
Копирование не допускается	Копирование не допускается

Математика. 9 класс						Вариант 2 – 5
OK = √				= 24.
		r2 − KB2
	Из прямоугольного треугольника OKM					находим
OM = √					= 26.
			OK2 + KM2
	Ответ: 26.
			Содержание критерия			Баллы
	Ход решения верный, все его шаги выполнены					4
	правильно, получен верный ответ
	Ход решения верный, все его шаги выполнены					3
	правильно, но даны неполные объяснения или
	допущена одна вычислительная ошибка
	Другие случаи, не соответствующие указанным					0
	критериям
					Максимальный балл	4

www.ctege.info

c 2013 Федеральный институт педагогических измерений Копирование не допускается

Математика. 9 класс. Вариант 1-2

1

Математика. 9 класс. Вариант 1-2

2

	Вариант № 1				Вариант № 2
Ответы к заданиям с кратким ответом					Ответы к заданиям с кратким ответом
Задание		Ответ			Задание		Ответ
1		-2,1			1		3,78
2		2			2		3
3		1			3		4
4		-3; 3			4		-2; 2
5		243			5		231
6		15			6		-1
7		-6,5			7		-3,5
8		4			8		4
9		94			9		101
12		www-0,8		.ctege.info12			-0,6
10		13			10		5
11		40		11			45
13		1		13			13
14		3		14			1
15		1		15			4
16		25		16			20
17		4,5		17			7,3
18		4		18			1
19		0,35		19			0,16
20		120		20			22,5

© 2013 ФГБНУ «Федеральный институт педагогических измерений»	© 2013 ФГБНУ «Федеральный институт педагогических измерений»
Копирование не допускается	Копирование не допускается