Умножим векторно обе части этого уравнения на вектор и заменим ускорениечерез угловое ускорениеисходя из формулы:

.

Раскроем двойное векторное произведение и, учитывая выражение (1), получим:

,

где М_i – момент всех внешних сил, действующих на точку О_i.

Так как  r_i, то =0, поэтому:

.

Так как твердое тело можно представить как систему материальных точек, то для него необходимо просуммировать все равенства, записанные для всех точек:

или .

С учетом выражения (2) перепишем это уравнение в виде:

,

где I– момент инерции тела относительно осиО,– результирующий момент внешних сил относительно осиО.

Таким образом:

. (5)

Уравнение (5) есть основной закон динамики вращательного движения твердого тела или второй закон Ньютона для вращательного движения.

Из второго закона Ньютона для вращательного движения (5) следует, что угловые ускорения тела с постоянным моментом инерцииIпрямо пропорциональны вращающим моментам сил:

. (6)

Если момент инерции тела меняется, например, из-за перераспределения массы тела по радиусу, при постоянном вращающем моменте сил, то угловые ускорения обратнопропорциональны моментам инерции тела:

. (7)

Одной из задач предлагаемой лабораторной работы является опытная проверка соотношений (6) и (7), выполнение которых является экспериментальной проверкой второго закона Ньютона для вращательного движения. Другой задачей работы является проверка применимости формулы момента инерции материальной точки для вычисления момента инерции тела, вращающегося по окружности с радиусом много больше размеров тела.

Описание установки

Установка включает в себя маятник Обербека, электронный блок, набор грузов. Общий вид установки изображен на рис.3.

Рис.3

Установка состоит из основания 1, на вертикальной стойке которого размещены верхний2, средний3и нижний4кронштейны. На кронштейне2крепится блок5, через который перекинута нить6, на которой подвешены грузы7. На кронштейне3крепится электромагнит11, который с помощью фрикциона удерживает систему грузов в неподвижном состоянии. На том же кронштейне закреплен двухступенчатый шкив10к оси которого крепится крестовина8, представляющая собой четыре стержня с нанесенными на них рисками через 1см. На каждом стержне могут свободно передвигаться и фиксироваться грузы9. На кронштейне4укреплен фотодатчик12, который выдает сигнал на электронный блок14. Амортизатор13служит для остановки груза. По миллиметровой линейке15 определяют начальное и конечное положение грузов. На передней панели электронного блока14имеются индикаторы “ПЕРИОД”, “ВРЕМЯ”, кнопки управления: “СБРОС”, “ПУСК”, “СТОП” и кнопка “СЕТЬ”, которая включает питание блока14. При нажатии на кнопку “СБРОС” происходит обнуление цифровых индикаторов “ПЕРИОД” и “ВРЕМЯ”.

Рассмотрим движение груза в ходе проведения работы (рис.4).

Рис.4

Натяжение нити Тсоздает вращающий момент, равный:

М=Тr, (8)

где r– радиус шкива, на который намотана нить (r₁ = 21мм илиr₂ = 42мм).