Коэффициент прозрачности потенциального барьера

2

4ik

2

T

t

eika

.

ik

2 e a ik 2 e a

2

4ik

T

.

ik 2 e a ik 2 e a

Внекоторых задачах, когда потенциальный барьер очень высокий и узкий, можно использовать приближённую формулу для прозрачности барьера.

Вэтом случае величина (V – E) >> E (см. рисунок).

k		2mE		,		2m(V E)	,

Следовательно, η >> k. Кроме того, если ширина барьера a не слишком мала,

e a 0.

Коэффициент прозрачности потенциального барьера

		4ik			2
T					.
		ik 2 e a ik 2 e a

T

4ik

2

4ik

2

ik 2 e a

2 i k k2 e a

4ik

2

4ik

2

e 2 a .

ik e a

ik

В этом случае величина приближённо можно считать, что

T e 2 a ,		2m(V E)	.

Коэффициент прозрачности прямоугольного высокого и узкого потенциального барьера

T e 2 a .

Если барьер по-прежнему высокий, но имеет более сложную форму, его можно представить, как совокупность последовательно расположенных прямоугольных высоких и узких барьеров (см.

рисунок).

Тогда коэффициент прозрачности и узкого потенциального барьера произвольной формы можно записать как

T T1 T2 ... TN ,

или	2 L ( x)dx			2 L
					2m U ( x) E dx
T e					.
	0		e 0
		2	L
			2m U ( x) E dx
T e			0		.

Туннельный эффект.

Объяснение закономерностей α-распада

атомных ядер.

α-распад атомного ядра – вылет из ядра α – частицы (ядра атома гелия), уменьшение атомной массы на 4 атомных единицы, увеличение заряда на 2e.

Закон радиоактивного распада

Nt N0e t ,

Nt – число не распавшихся (радиоактивных) ядер

через время t;

N0 – исходное число ядер; λ – постоянная распада.

Периоды полураспада различных ядер могут сильно отличаться друг от друга – от 14 млрд. лет (торий- 232) до 3 мин (полоний-218) и менее.

Атомное ядро состоит из протонов и нейтронов, удерживаемых от распада сильным ядерным взаимодействием. Примерная зависимость потенциальной энергии взаимодействия, удерживающего ядро от распада, показана на рисунке.

Источник радиоактивного излучения

Явление α-распада можно объяснить, рассмотрев туннелирование α-частиц через потенциальный барьер, окружающий атомное ядро.

Вероятность вылета одной α-частицы (распада)

	2	Rc
		2m U (r ) E dr
T e	R0		.

При r < R0 потенциальная энергия определяется сильным ядерным взаимодействием, при r > R0 – кулоновским взаимодействием.

		0,
		1		2e
	U (r)				,
		4 0		r

	2	Rc
ln T		2m U (r) E dr,
		R
		0

r R0 , r R0 .

2 Rc lnT R0

ln T	2 Rc			2eZ
			2m k	r	E dr,
		R
		0

			1 2eZ
	2m					E dr,
		4 0 r
	k		1		.	Z Z 2.
			4 0

lnT	2 Rc			2eZ
			2m k	r	E dr,
		R0

Величина Rc определяется из условия

E U (r).

E k

2eZ ,

Rc k

2eZ .

Введём обозначение

Rc

E

x

r

,

r xRc ,

dr Rcdx,

xc

R 0

Rc

Rc

2 Rc

ln T

2eZ

2

1

2m k

r

E dr

2m k

R0

xc

.

2eZ E Rcdx xR

c

2

1

2eZ

2

2eZ

1

1

2eZ E

2m k

E k

dr

k

2mE

1 dx

xk2eZ

E

E

x

xc

xc

2

1 2eZ

1

1

eZ

2m 1

2mE

1 dx

4 0 E

0

E

xc

x

xc

1 1 dx.x

	lnT	eZ		2m	1
		0		E x
					c

1 1 dx.x

Вычислим интеграл из последней формулы.

1		1				1				1							xc				1
			x	1 dx						x				1 dx							x	1 dx
x						0											0
c
					1		1								xc	dx
							x				1 dx						x	.
					0										0
						xc dx							2 x .
						0				x
															c
1			1							x sin2												2	1		sin2			cos sin d
				1 dx		dx 2sin cos d															2				2
0		x																				0		sin
															2
			2	cos															2		d 2						.
	2				cos sin d 2 cos																			4		2
			0	sin											0

	lnT	eZ		2m	1
		0		E x
					c

1 1 dx.x

Подставим вычисленное значение интеграла.

1		1			2 xc .	xc	R 0	.
		x	1 dx	2			Rc
xc

		eZ		2m				R0
	ln T						2		.
				E		2
								R
		0						c

Пользуясь этой формулой, можно оценить постоянную распада и период полураспада ядер.