4.2.Стационарная теория возмущений для дискретного невырожденного спектра. Основные уравнения.

aW a W a W a										Ek 1
	1	11	2	12	3	13	1
										E
							a2					2
aW1 21			a2W22		a3W23					k
aW a W a W a										Ek 3
	1	31	2	32	3	33	3

В записанной нами системе уравнений на самом деле должно быть не три, а бесконечное число строк и столбцов. Это делает точное решение данной системы невозможным.

Систему уравнений можно решить приближённо, но для этого нужно будет пренебречь какими-то матричными элементами Wmn. Вопрос о корректности

такого ограничения, как правило, остается открытым.

Кроме того, очень часто оказывается достаточно сложно вычислять матричные элементы возмущения Wmn.

4.2.Стационарная теория возмущений для дискретного невырожденного спектра. Основные уравнения.

am m anWmn Ek am. n

Мы оказались в ситуации, когда точное решение этой системы уравнений невозможно, а приближённое затруднено.

Настало время воспользоваться малостью параметра λ и тем фактом, что ввиду малости возмущения ожидаемое значение энергии возмущённой задачи Ek не

будет сильно отличаться от энергии невозмущённой задачи εk.

am Ek m anWmn

Представим собственное значение энергии вn виде ряда.

			E E 0		E(1)	2 E(2) ...
	E(1)	, E(2)	k	k	k	k
			– поправки к энергии соответствующих (первого и второго)
	k	k
			порядков, k - номер собственного значения энергии.

Волновую функцию системы в состоянии с главным квантовым числом k представим в виде ряда по собственным функциям «невозмущённого»

гамильтониана	k (x) an n (x).

n

4.2. Стационарная теория возмущений для дискретного невырожденного спектра. Основные уравнения.

Каждый из коэффициентов в разложении в ряд волновой функции представим также в виде ряда по малому параметру λ:

a			mk	a(1)	2a(2)		3a(3)		....
m				m		m		m
E	k	E 0 E(1)				2 E(2)		...
				k	k		k

Подставим эти разложения в систему уравнений.

am (Ek m ) anWmn n

mk

m

m

k

m

k

k

a(1)

2a(2)

...

E(0)

E(1)

2 E(2)

...

Wmn nk

an(1)

2an(2)

...

n

Выполним умножение и приравняем слагаемые с одинаковыми степенями λ. При этом ограничимся степенями не выше второй. Рассмотрим отдельно два случая, m = k и m ≠ k.

4.2.Стационарная теория возмущений для дискретного невырожденного спектра. Основные уравнения.

mk am(1) 2am(2) ... Ek(0) m Ek(1) 2 Ek(2) ...

Wnk nk an(1) 2an(2) ... n

Сначала запишем результат для m = k. В этом случае δmk = δkk = 1.

k

k

k

m

k

m

E(0)

E(1)

a(1)

E(0)

2 E(2)

2a(1) E(1) 2a(2)

E(0)

m

...

k

m

k

m

k

Wkk 2 Wmnan(1) 3 Wmnan(3)

...

n

n

0 :

E(0)

k

0.

k

Ek(0) k

За «нулевое» приближение для энергии примем соответствующее собственное значение энергии невозмущённого гамильтониана.

4.2.Стационарная теория возмущений для дискретного невырожденного спектра. Основные уравнения.

k

k

k

m

k

m

E(0)

E

(1) a(1)

E(0)

2 E(2)

2a(1) E(1)

2a(2)

E(0)

m

...

k

m

k

m

k

Wkk 2 Wmnan(1)

3 Wmnan(3)

...

n

n

1 :

E(1) a(1)

E(0)

k

W ,

k

k

k

kk

Ek(0) k ,

E(1)

W .

k

kk

W

(x)W

(x)dx.

kk

k

k

Так мы определили первую поправку к энергии.

4.2.Стационарная теория возмущений для дискретного невырожденного спектра. Основные уравнения.

k

k

k

m

k

m

E(0)

E

(1)

a(1)

E

(0)

2 E(2)

2a(1) E(1)

2a(2)

E(0)

m

...

k

m

k

m

k

Wkk

2 Wmnan(1)

3 Wmnan(3) ...

n

n

2 :

E(2) a(1) E(1) a(2)

E(0)

k

a(1)W ,

k

k k

k

k

n

kn

E(0)

0,

n

k

k

E(2)

a(1) E(1)

a(1)W .

k

k

k

n

kn

n

E(2)

a(1)W a(1) E

(1)

a(1)W .

k

n

kn

k

k

n

kn

n

n k

Так мы определили вторую поправку к энергии.

4.2.Стационарная теория возмущений для дискретного невырожденного спектра. Основные уравнения.

mk am(1) 2am(2) ... Ek(0) m Ek(1) 2 Ek(2) ...

Wnk nk an(1) 2an(2) ... n

Теперь запишем результат для m ≠ k. В этом случае δmk = 0.

m	k		m	m k	m	k	m	...
a(1)	E(0)			2a(1) E(1)	2a(2)	E(0)
	Wmk 2 an(1)Wmn				3 an(2)Wmn ...
				n	n

Слагаемые со степенью λ0 отсутствуют. Коэффициенты при степени λ1 :

a(1)

(E(0)

m

) W .

m

k

mk

(1)

Wmk

Wmk

am

,

(m k).

E(0)

k

m

k

m

Мы определили в первом приближении коэффициенты разложения волновой функции по собственным функциям невозмущённого гамильтониана.

4.2.Стационарная теория возмущений для дискретного невырожденного спектра. Основные уравнения.

		k(1)		am(1) m (x).
m		m		m k	m		m
	k			m k		k		...
a(1)	E(0)		2a(1) E(1)		2a(2)	E(0)
	Wmk 2 an(1)Wmn				3 an(2)Wmn ...
				n	n

Коэффициенты при степени λ2 :

a(1) E(1)	a(2)	(E(0)		m	) a(1)W .
m k	m	k			n mn

n

Пользуясь этим выражением, можно найти вторую поправку к энергии:

Ek(2) an(1)Wkn WknWnk			|Wnk |2	.
n	n k m	n k m

4.2.Стационарная теория возмущений для дискретного невырожденного спектра. Основные уравнения.

Сучётом двух поправок собственное значение энергии номер k равно

Ek k Wkk 2 n k |Wkn |2 .k m

Выражение для волновой функции в «нулевом» приближении:

k(0) x k x .

Выражение для волновой функции в первом приближении:

k(1)

x k x

Wmk

m x .

m k k m

(1)

Wmk

Wmk

am

,

(m k).

E(0)

k

m

k m

W

(x)W

(x)dx.

mk

m

k

4.2.Стационарная теория возмущений для дискретного невырожденного спектра. Основные уравнения.

Применение метода теории возмущений оправдано лишь тогда, когда каждая последующая поправка является малой по сравнению с предыдущей, т.е. если ряд сходится.