Элементы квантовой теории систем, состоящих из большого числа одинаковых частиц
1. Гамильтониан системы многих частиц.
Гамильтониан системы многих частиц
До сих пор мы рассматривали движение одной частицы в заданном внешнем поле. Однако на практике часто сами движущиеся частицы взаимодействуют друг с другом и изменяют внешнее поле.
Если скорость движения частиц много меньше скорости света, в принципе, можно определить гамильтониан системы как функцию координат и импульсов частиц. Если же скорости частиц сопоставимы со скоростью света, то нужно рассматривать наряду с частицами и поле, которое передает взаимодействия, поэтому даже в случае конечного числа частиц N система будет обладать бесконечным числом степеней свободы.
Но и в случае нерелятивистских систем возникающая задача чрезвычайно сложна. В этом случае гамильтониан можно записать в виде:
|
N |
|
|
|
|
||
H H |
V (ri , |
pi ), |
|
||||
где |
1 |
|
|
|
|
||
|
|
2 |
ˆ |
ˆ |
|
||
|
|
U (r1,...,rN ) |
|||||
H |
|
|
|||||
2m |
|||||||
|
|
|
|
|
|||
- гамильтониан отдельной частицы;
|
N |
|
|
|
|
2 |
ˆ ˆ |
|
|
|
H H V (ri , pi ), |
H |
|
|
U |
(r1,...,rN ), |
|||||
2m |
||||||||||
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|||
ˆ |
|
U (r1,...,rN ) |
|
|
|
V (ri |
, pi ) |
-оператор потенциальной энергии отдельной частицы, зависящий от координат частиц;
-оператор потенциальной энергии, характеризующий т.н. спин-орбитальное взаимодействие.
Этот оператор учитывает взаимодействие между спинами частиц и часть потенциальной энергии, зависящей от импульсов частиц и частично учитывающей запаздывание взаимодействия вследствие конечности скорости света.
Взаимодействия, учитываемые этим слагаемым в нерелятивистском случае малы (пропорциональны v2/c2) и могут быть учтены приближенно, например, по теории возмущений.
Волновая функция определяется уравнением Шредингера
|
r ,t |
|
|
|
i |
|
H r ,t 0. |
||
t |
||||
|
|
|
||
Не зависящая от времени волновая функция стационарного состояния системы определяется стационарным уравнением Шредингера
H r E r .
Волновая функция является функцией пространственных переменных, спиновых переменных всех частиц и, возможно, времени.
Элементы квантовой теории систем, состоящих из большого числа одинаковых частиц
2. Адиабатическое приближение.
2. Адиабатическое приближение
В многочастичную систему могут входить самые разнообразные частицы, но часто мы будем иметь дело с системами, состоящими из двух групп частиц, близких по своим характеристикам внутри группы и сильно отличающихся для частиц из двух различных групп. Например, молекула состоит из ядер атомов (одна группа тяжелых частиц) и электронов (вторая группа легких частиц). Так же можно разделить на две группы частицы, составляющие твердое тело и так далее.
В такой системе характеристики движений частиц, принадлежащих к различным группам, существенно отличаются. Так, скорости движения ядер и электронов могут отличаться на несколько порядков. То же можно сказать и о характерных частотах процессов в коллективе ядер и в коллективе электронов.
В связи с этим можно приближенно считать, что, например, воздействие ядер атомов на движение электронов в молекуле или твердом теле (да и в отдельном атоме тоже) сводится к тому, что ядра создают практически
стационарное поле, в котором движутся электроны. |
|
|
Это означает, что в слагаемом гамильтонианаV (ri , pi ) |
мы |
|
пренебрегаем запаздыванием для взаимодействий ядро – электроны. Такое приближение называют адиабатическим.
Элементы квантовой теории систем, состоящих из большого числа одинаковых частиц
3. Симметричные и антисимметричные волновые функции.
Бозоны и фермионы.
3. Симметричные и антисимметричные волновые функции
Пусть все частицы рассматриваемой системы одинаковы (рассматриваем только один коллектив тождественных частиц). Все характеристики этих частиц
одинаковы |
|
m1 m2 ...; |
q1 q2 ..., |
т.е. частицы неотличимы друг от друга.
В дальнейшем мы будем пользоваться сокращённой дираковской системой обозначений квантовых состояний системы.
Перенумеруем все возможные состояния N частиц в системе. Таких состояний может быть больше, чем N. Каждому состоянию поставим в соответствие вектор
1
, 2
,..., k 
,..., N 
,...
В принципе, каждый вектор есть волновая функция частицы в том или ином состоянии. Какая-то часть этих состояний занята (в пределе, наименьшее число занятых состояний – одно, наибольшее - N), какая-то часть свободна.
Введем оператор перестановки пары частиц
Pk .
Pk .
Оператор перестановки перемещает одну частицу из состояния | k
в состояние | , |
а частицу, находившуюся в состоянии | , |
перемещает в состояние | k .
Всё сводится к перемене номеров частиц. Оператор Гамильтона не должен изменяться от такой перестановки частиц.
Пусть
12 (1) (2)
– волновая функция системы двух частиц.
(1) – волновая функция частицы 1, |
(2) – волновая функция частицы 2. |
Тогда функция
21 (2) (1)
также является волновой функцией системы этих частиц.
Действие оператора перестановки сводится к тому, что он превращает функцию 12 в функцию 21 и наоборот.
P12 1,2 (2,1),
P12 2,1 (1,2).
Найдём собственные значения оператора перестановок. Для этого запишем уравнение, определяющее собственные значения оператора перестановок:
P12 (1,2) (1,2).
Оператор перестановок эрмитов, и поэтому его собственное значение – действительное.
Подействуем на волновую функцию 1,2 оператором перестановок дважды.
|
|
|
(1,2) |
|
2 |
P12 P12 |
|
(1,2). |
|||
С другой стороны, |
|
|
|
|
|
|
(1,2) (1,2), |
||||
|
P12 |
||||
|
|
|
|
|
(1,2). |
|
|
|
|||
|
P12 P (1,2) |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(1,2) |
|
2 |
|
|
|
|
(1,2). |
|
|
|
|
|||||||
P12 P12 |
|
(1,2). |
P12 P (1,2) |
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Сравнивая эти уравнения, получаем, что |
2 1, |
|
1. |
|
||||||
Оператор перестановки имеет два действительных собственных значения
1 1, |
2 1. |
Других собственных значений этот оператор не имеет. Следовательно, возможны два результата действия оператора перестановок на волновую функцию двух частиц. В одном случае это будет
P12 s (1,2) s (1,2).
Это соответствует собственному значению = +1.
Собственная функция s , соответствующая значению = +1, называется
симметричной.
Другой возможный результат действия оператора перестановок на волновую
функцию системы из двух частиц соответствует собственному значению = -1
P12 a(1,2) a(1,2).
Собственная функция a , |
соответствующая значению = -1, называется |
антисимметричной.