Из опыта известно, что система из двух электронов, двух протонов, двух нейтронов во всех состояниях описывается только антисимметричными волновыми функциями, а система, состоящая из двух - частиц всегда описывается симметричной волновой функцией.

Свойство симметрии волновой функции относительно перестановок пары частиц определяется типом частиц, входящих в состав системы.

Этот вывод можно обобщить и на системы, состоящие из любого числа частиц. Формально математически волновые функции систем, состоящие более чем из двух частиц, могут иметь и более сложную симметрию, но как показывает опыт, в природе реализуются только симметричные либо антисимметричные состояния по отношению к перестановке каждой пары частиц. Свойство симметрии волновой функции системы не может изменяться и под действием внешнего возмущения, так как частицы одинаковы и внешнее возмущение действует на них также одинаково.

Антисимметричные волновые функции описывают состояния систем, состоящих из электронов, протонов, нейтронов и других частиц, с

полуцелым спином

S	1	,	S	3	,	S	5	,...
	2			2			2

Эти частицы называются фермионами. Системы, состоящие из частиц с целым спином

S , S 2 ,...

описываются симметричными волновыми функциями. Эти частицы называются бозонами. По-видимому, все частицы в природе являются либо фермионами либо бозонами.

Уточнение принципа суперпозиции состояний: возможные состояния системы определяются только такими линейными комбинациями функций, которые не меняют свойств системы по отношению к перестановкам пар частиц.

Так, для систем электронов, которые являются фермионами, возможны только линейные комбинации из антисимметричных волновых функций.

Принцип неразличимости микрочастиц. В отличие от классических частиц, микрочастицы неразличимы (тождественны). Это связано с действием принципа неопределённости.

В классической физике состояние частицы определяется значениями её координат и проекций импульса на оси координат. В квантовой механике согласно принципу неопределённости невозможно определить одновременно значения координаты и соответствующей проекции импульса частицы. Состояние частицы определяется волновой функцией, которая определяет вероятность обнаружить частицу в той или иной точке или с тем или иным значением проекции импульса.

Элементы квантовой теории систем, состоящих из большого числа одинаковых частиц

4. Симметричные и антисимметричные волновые функции.

Правила построения функций с определённой симметрией.

4. Как построить симметричные и антисимметричные волновые функции

Уравнение Шредингера допускает решения как обладающие свойствами симметрии, так и не обладающие ими. Из всего множества решений уравнения Шредингера следует отобрать только те, которые обладают необходимой симметрией (для фермионов – антисимметричные, для бозонов – симметричные). Покажем, как это можно сделать

Пусть	(1,2) (1) (2)
Тогда	(2,1) (2) (1)

решение уравнения Шрёдингера.

также решение уравнения Шрёдингера.

Пусть каждая из функций (1,2), (2,1) сама по себе не обладает свойствами симметрии. Но из них можно составить линейные

комбинации, обладающие требуемыми свойствами симметрии. Линейные комбинации решений также являются решениями уравнения Шредингера.

a A[ (1,2) (2,1)] A[ (1) (2) (2) (1)],

s B[ (1,2) (2,1)] B[ (1) (2) (2) (1)],

В системе, состоящей из N частиц возможны N! различных перестановок частиц.

Пусть (1,2,..., N)	– некая первоначальная волновая функция, P (1,2,..., N)

– волновая функция, полученная в результате последовательных перестановок частиц.

	S	N !			a		N !
						B
Тогда		A	P (1,2,..., N ),					( 1) P (1,2,..., N).

Суммирование ведётся по всем N! функциям, соответствующим различным перестановкам N частиц системы.

Рассмотрим случай, когда частицы системы между собой взаимодействуют слабо и можно говорить (хотя бы приближённо) о состояниях отдельных частиц. Пусть n ( ) – собственная функция отдельной частицы. Она удовлетворяет уравнению Шредингера

H n ( ) n n ( ),

где H - гамильтониан отдельной частицы. Он включает её кинетическую энергию и, возможно, её потенциальную энергию во внешнем поле. Взаимодействие с другими частицами не учитывается; n – совокупность всех квантовых чисел, описывающих состояние одной частицы.

В такой системе со слабым взаимодействием между частицами симметричную и антисимметричную волновые функции можно выразить через волновые функции отдельных частиц.

	Для бозонов	N!
	S A P n1 (1) n2 (2)... nN (N ).
	Для фермионов	1		( 1) P n1 (1) n2 (2)... nN (N ).
	a
		N !

Антисимметричную волновую функцию для системы фермионов можно также записать в виде определителя, что эквивалентно предыдущей формуле:

1

a N !

n	(1)	n		(2) ... n (N)
1		2			1
n	(1)	n		(2) ... n		(N)	.
2		2			2
.........................
n	(1)	n	N		(2) ... n	(N)
	N				N

Изменение знака функции при перестановке любой пары частиц соответствует изменению знака детерминанта при перестановке столбцов.

1

a N !

n	(1)	n		(2) ... n (N)
1		2			1
n	(1)	n		(2) ... n		(N)	.
2		2			2
.........................
n	(1)	n	N		(2) ... n	(N)
	N				N

Если две частицы, например первая и вторая, находятся в одинаковых состояниях, то первый и второй столбцы детерминанта будут одинаковыми. В этом случае детерминант равен нулю.

Если среди одночастичных состояний

n1,n2 ,...,nN

имеются хотя бы два одинаковых состояния, то детерминант тождественно равен нулю.

Из этого следует принцип Паули для систем со слабым взаимодействием.

Система одинаковых фермионов не может находиться в состояниях, которые описываются волновыми функциями, содержащими хотя бы два одинаковых одночастичных состояния.

В общем случае система частиц удовлетворяет принципу Паули, если она описывается только волновыми функциями, антисимметричными относительно перестановок пар частиц.

Элементы квантовой теории систем, состоящих из большого числа одинаковых частиц

5. Элементарная теория основного состояния атома гелия.