ТОЭ / ТОЭ ТУСУР

40

Если мощность Pн значительна, что характерно для линий передач электрической энергии (ЛЭП), то первостепенной становится задача получения высокого значения к.п.д. Из (29) следует, что для этого необходимо обеспечить r<<R.

Установим связь между мощностью потерь в ЛЭП Pr и мощностью нагрузки:

Pr = r I 2 = ρ	2l		Pн 2			(30)
					,
	S		U

где ρ — удельное сопротивление материала проводов; l — длина линии;

S — сечение каждого провода.

Из (30), в частности, следует, что при Pн =const с повышением напряжения требуется меньшее значение тока и, следовательно, уменьшаются потери в проводах, что, в свою очередь, позволяет уменьшить сечение проводов и расход проводникового материала.

41

3 ЦЕПИ ОДНОФАЗНОГО СИНУСОИДАЛЬНОГО ТОКА

3.1 Переменный ток и его основные характеристики

Переменным называется ток, изменяющийся во времени по величине и направлению. Значение тока в любой данный момент времени называют мгновенным и обозначают строчной буквой i.

Токи, мгновенные значения которых повторяются через равные промежутки времени в той же самой последовательности, называют периодическими. Наименьший промежуток времени, через который эти повторения наблюдаются, называют периодом и обозначают Т. Величина, обратная периоду, называется частотой (f =1/T) и измеряется в герцах.

Наибольшее практическое распространение получил синусоидальный переменный ток, вырабатываемый на электростанциях электрическими машинами — синхронными генераторами. Мгновенное значение синусоидального тока определяется выражением

2π			= I m sin (ωt + ψ),
i = I m sin		t + ψ		(31)
T
где Im — амплитуда;

ω= 2πT = 2πf — угловая частота, рад/с.

Аргумент синуса, т.е. величина (ωt+ψ), называется фазой. Фаза при t = 0, т.е. ψ, называется начальной фазой.

Любая синусоидально изменяющаяся величина полностью определяется тремя величинами: амплитудой, частотой, начальной фазой.

График функции (31) приведен на рис. 29, а.

Так как тепловое действие тока, а также механическая сила взаимодействия двух проводников, по которым протекает один и тот же ток, пропорциональны квадрату этого тока, то о величине переменных токов и напряжений обычно судят по их среднеквадратичным значениям за полный период. Это значение называется действующим или эффективным и обозначается прописной буквой I:

42

а	б

Рис. 29

I =

1 ∫i2(t)dt =

1 ∫ I m2 sin2

(ωt +ψ)dt = I m

1 ∫1−cos2(ωt +ψ) dt =

T

T

T

T 0

T 0

T 0

2

= I m

1

(T −0) =

I m

.

2T

2

Кроме того, иногда используется и среднее значение, кото-

рое определяется на интервале Т/2:

T 2

I ср =

1

T∫2 I m sin ωtdt =

2I m

(−cosωt )

=

0,5T

0

T

0

=

4I m

=

2I m

=

0,638

.

T

π

I m

Еще одна характеристика периодических функций — коэффициент формы kф. Это отношение действующего значения функции к среднему. Для синусоидальных функций

kф =	I	=	I m π			=		π		=1,11.
	I ср		2 2I m						2
						2

Для напряжений соотношения аналогичны.

3.2Изображение синусоидальных функций векторами и комплексными числами

Условимся на комплексной плоскости по оси абсцисс откладывать действительную часть комплексного числа и обозначать эту ось +1, а по оси ординат — мнимую часть и обозначать +j

( j = −1).

43
Из курса математики известна формула Эйлера:
e jα = cos α + j sin α.	(32)

Комплексное число e jα изображается на комплексной плоскости вектором, численно равным единице и составляющим угол α с осью +1 (угол α отсчитывается против часовой стрелки от оси +1), как показано на рис. 30.

+j

sin α α ej α

0 +1

cos α

Рис. 30

Модуль функции ej α равен единице:

e jα = cos2α + sin 2α =1.

Проекция функции ej α на ось +1 равна cos α, а на ось +j рав-

на sin α.

Если вместо функции ej α взять функцию I me jα , то

I me jα = I m cos α + j I m sin α.

На комплексной плоскости эта функция, так же как и функция ej α, изобразится под углом α к оси +1, но длина вектора будет

вIm раз больше.

Вформуле (32) угол α может быть любой. Положим, что

α= ωt +ψ, т.е. угол α изменяется прямо пропорционально вре-

мени. Тогда

I me j(ωt +ψ) = I m cos (ωt + ψ) + j I m sin (ωt + ψ).

Коэффициент при j здесь равен правой части выражения (31). Таким образом, синусоидально изменяющийся ток i можно

представить как		j(ωt +ψ)	(мнимую часть I m e	j (ω t + ψ )	)
	Im I m e

			44
или, что то	же	самое,	как проекцию	вращающегося вектора
I m e j (ω t + ψ )	на ось +j (см. рис. 29, б).
Учитывая,		что	синусоидальная функция		времени
I m sin (ωt +ψ) и вращающийся вектор				I m e j (ω t + ψ )	одинаково

проецируются на вертикальную ось в виде мгновенного значения i (если графики построены в одинаковом масштабе, как это и сделано на рис. 29), американский инженер и ученый Ч.П. Штейнметц предложил изображать синусоидально изменяющиеся величины векторами на комплексной плоскости, причем, для единообразия, для момента времени t = 0. Для этого момента времени вектор

I me j(ωt +ψ) = I me jψ = I m,

где I m — комплексная величина, модуль которой равен Im;

ψ — угол, под которым вектор I m проведен к оси +1 на ком-

плексной плоскости, равный начальной фазе.

Величину I m называют комплексной амплитудой тока i.

Комплексная амплитуда изображает ток i на комплексной плоскости для момента времени t=0.

Конечно, комплексные амплитуды или векторы, изображающие синусоидальные функции времени, имеют другой смысл, чем векторы, определяющие физические величины в пространстве, к которым относятся векторы скорости, силы, напряженности электрического поля и т.д.

Например, если i =8sin (ωt +20°) А, то комплексная ампли-

туда будет

I m = 8e j20° А.

Обратный пример: по известной комплексной амплитуде тока I m = 25e− j30° А требуется записать выражение мгновенного

значения тока.

Для перехода от комплексной амплитуды к мгновенному значению необходимо умножить I m на ejωt и взять мнимую часть этого произведения:

i = Im (25e	− j30°	e	jωt		25e	j(ωt−30°)	= 25sin(ωt −30°) А.
				) = Im

45

Так как переменные токи и напряжения обычно характеризуются действующими значениями, введем понятие комплекса действующего значения. Под комплексом действующего значе-

ния синусоидальной функции понимают частное от деления комплексной амплитуды на 2 :

I = I m . 2

Рассмотрим далее вопрос о том, как сложить две синусоидальные функции i1 и i2 одинаковой частоты, но с различными амплитудами и различными начальными фазами. Непосредственное суммирование связано с трудоемкими и громоздкими тригонометрическими вычислениями. Значительно проще решение может быть получено графически при помощи векторной диаграммы или аналитически — путем суммирования комплексных амплитуд.

Сумма двух рассматриваемых токов даст некоторый ток i той же частоты: i = i1 +i2;

i1 = I1m sin(ωt +ψ1); i2 = I 2m sin(ωt +ψ2);

i = I m sin(ωt +ψ).

Требуется найти амплитуду Im и начальную фазу ψ тока i. С этой целью изобразим суммируемые токи векторами I1m = I1me jψ1

и I 2 m = I 2 m e jψ 2 , как показано на рис. 31.

+j I1m

I m

ψ1 ψ

ψ2 +1

I 2m

Рис. 31

Геометрическая сумма векторов I1m и I 2m даст комплексную амплитуду суммарного тока I m = I me jψ .

46

Амплитуда тока Im будет определяться длиной суммарного вектора, а начальная фаза ψ — углом, образованным этим вектором и осью +1.

Для определения разности двух токов надо на комплексной плоскости произвести не сложение, а вычитание соответствующих векторов.

Теперь перейдем к аналитическому методу. На основании выполненного выше построения можно записать

I1m + I 2m = I m.

Чтобы произвести суммирование комплексных чисел, их надо представить в алгебраической форме:

I1m

= I′

+

jI′′

;

I 2m

= I ′

2m

+ jI

′′

.

1m

1m

2m

Выполнив суммирование, получим

I′

+ jI′′

+ I ′

2m

+ jI ′′

2m

= I′

m

+ jI ′′

m

=

I m

,

1m

1m

где I′m = I′1m + I ′2m;

I′′m = I′′1m + I′′2m.

Отсюда находим

I m =

(I′m )2 +(I′′m)2 , tgψ =

I ′′m

.

I ′m

Так как tgψ = tg (ψ ± π),

то для определения ψ нужно еще

знать, в какой четверти комплексной плоскости располагается вектор I m . Это легко установить по знакам действительной и мнимой частей I m .

Метод расчета цепей, основанный на изображении синусоидальных функций времени комплексными числами, получил на-

звание комплексного или символического метода.

3.3 Элементы цепей переменного тока

Составными элементами цепей синусоидального тока являются резистор, индуктивная катушка и конденсатор.

Термин «сопротивление» для цепей переменного тока, в отличие от цепей постоянного тока, недостаточно полный, посколь-

47

ку сопротивление переменному току оказывают не только те элементы цепи, в которых выделяется энергия в виде теплоты (их называют активными сопротивлениями), но и те элементы цепи, в которых энергия в виде теплоты не выделяется, но периодически запасается в электрическом или магнитном полях. Такие элементы цепи называют реактивными, а их сопротивления перемен-

ному току — реактивными сопротивлениями. Реактивными со-

противлениями обладают индуктивные катушки и конденсаторы.

1. Резистор (активное сопротивление)

Пусть по резистору с сопротивлением R течет ток i = I m sin ωt . По закону Ома напряжение на резисторе

u = iR = RI m sin ωt =U m sin ωt,

где U m = RI m.

Комплексы тока I и напряжения U по фазе совпадают. Протекание по цепи тока сопровождается потреблением от

источника энергии. Скорость поступления энергии характеризуется мощностью. Условимся под мгновенным значением мощности понимать произведение мгновенного значения напряжения u на участке цепи на мгновенное значение тока i, протекающего по этому участку:

p = ui,

где p — функция времени. При активной нагрузке

p =U mI m sin2 ωt = U mI m (1−cos2ωt). 2

Мгновенная мощность имеет постоянную составляющую U mI m2 и составляющую U mI m cos2ωt2, изменяющуюся с час-

тотой 2ω.

На рис. 32 представлены кривые мгновенных значений тока, напряжения и мощности при активной нагрузке.

48

Рис. 32

2. Индуктивная катушка

Предположим, что активное сопротивление обмотки катушки равно нулю и катушка обладает только индуктивностью L.

Если через L течет ток i = I m sin ωt , то в катушке наводится э.д.с. самоиндукции (eL):

eL = −L di = −ωLI m cosωt = ωLI m sin(ωt −90 ). dt

Для того чтобы через индуктивность проходил переменный ток, на ее выводах должно быть напряжение, равное и противоположное наведенной э.д.с.:

u L =ωLI m sin(ωt +90 ) =U m sin(ωt +90 ) =U m cosωt,

где U m = ωLI m.

Произведение ωL обозначают X L и называют индуктивным сопротивлением: X L = ωL. Единица индуктивного сопротивления с–1 Ом с=Ом.

Напряжение на индуктивности опережает по фазе ток на 90°, что и показано векторами на рис. 33, а и диаграммами мгновенных значений на рис. 33, б.

Мгновенная мощность —

p = ui =U m cosωt I m sin ωt = U mI m sin 2ωt — 2

положительна, когда u и i имеют одинаковые знаки (см. рис. 33, б). Площадь, ограниченная кривой р и осью абсцисс за это время, представляет собой энергию, которая взята от источника и пошла

49

на создание энергии магнитного поля в индуктивности. Ток на этих интервалах по абсолютной величине увеличивается.

а

б

Рис. 33

Когда u и i имеют противоположные знаки, р отрицательна. Значение тока по абсолютной величине на этих интервалах уменьшается, энергия магнитного поля отдается обратно в источник.

3. Конденсатор

Если к конденсатору приложено напряжение u =U m sin ωt , то заряд q будет изменяться по закону:

q = Cu = CU m sin ωt,

т.е. конденсатор будет периодически перезаряжаться. Но перезарядка вызовет протекание тока через конденсатор:

i = dq = d(CU m sin ωt) / dt = ωCU m cosωt = ωCU m sin(ωt +90 ). dt

Ток через конденсатор опережает по фазе напряжение на конденсаторе на 90° (см. векторную диаграмму на рис. 34, а и временные диаграммы на рис. 34, б).

Амплитуда тока Im равна амплитуде напряжения Um, деленной на емкостное сопротивление:

X C = 1ωC.

Действительно,

I m	= ωC	=	U m	= U m .
	U m	1 ωC		X C