ТОЭ / ТОЭ ТУСУР

60

Мгновенная мощность имеет постоянную составляющую и переменную двойной частоты. Диаграммы изменения u, i, p приведены на рис. 42. На интервалах, когда u и i имеют одинаковое направление, мгновенная мощность положительна, энергия потребляется от источника. На интервалах, когда u и i имеют противоположное направление, мгновенная мощность отрицательна и энергия возвращается источнику.

Рис. 42

Среднее значение мгновенной мощности за период переменного напряжения (или тока) называется активной мощностью и обозначается, как и в цепях постоянного тока, прописной буквой P. Так как среднее значение гармонической составляющей

на периоде повторения равно нулю, то
P = UI cosϕ.	(37)

Активная мощность физически представляет собой энергию, которая выделяется в единицу времени в виде теплоты на участке цепи с сопротивлением R:

P =Ua I = RI 2,

где U a =U cos ϕ — активная составляющая напряжения. Единицей измерения активной мощности является ватт (Вт). Под реактивной мощностью Q понимают произведение

Q = UI sin ϕ.

(38)

В зависимости от знака ϕ реактивная мощность может быть как положительной, так и отрицательной.

Единица измерения здесь та же, что и у активной мощности, но для различия используется вольт-ампер реактивный (ВАр).

61

Реактивная мощность характеризует собой ту энергию, которой обмениваются генератор и приемник (если реактивных элементов в приемнике нет, то cosϕ =1; ϕ = 0, мгновенная мощность не имеет отрицательных значений, реактивная мощность равна нулю).

Полная (или кажущаяся) мощность

S =UI .

(39)

Единица полной мощности — В А.

Полную мощность можно характеризовать как максимальную активную мощность, которую мог бы отдать генератор при активной нагрузке.

Мощности Р, Q и S связаны следующей зависимостью:

S 2 = P2 +Q2.

(40)

Очень важной характеристикой цепей переменного тока является отношение

P	=	UI cosϕ	= cosϕ.	(41)
S
		UI

Для лучшего использования электрических генераторов желательно иметь максимально возможное значение cos ϕ. Напри-

мер, для	питания приемника мощностью 10 000 кВт при
cos ϕ = 0,7	источник питания должен быть рассчитан на мощ-

ность 14 300 кВА, а при cosϕ =1 — на 10 000 кВА.

Высокое значение cos ϕ желательно также для уменьшения потерь в ЛЭП. При неизменной активной мощности Р приемника ток в линии тем меньше, чем больше значение cos ϕ:

I =	P	.
U cosϕ

Большинство реальных потребителей электроэнергии имеют индуктивный характер нагрузки, т.е. в сети ток отстает от напряжения. Отмеченное можно проиллюстрировать схемой на рис. 43, а (конденсатор отключен) и векторной диаграммой на рис. 43, б.

				62
	I	Iн
		IC						E
~		C			R					jωLI н
	E
					L			ϕ1	I нR	I н
		а			Рис. 43				б
	При отключенном конденсаторе имеем
		I = I’ =			P		, ϕ1	= arctg ωL .
				U cosϕ1
									R

Подключение в схему конденсатора приведет к изменению тока I, что можно проследить по векторной диаграмме на рис. 44 (для удобства построений здесь вектор E направлен вертикально, но взаимное расположение векторов E и I н не изменилось).

E

I a = I нa

I

I н

ϕ2 ϕ1

I C

I p = I нp − I C

Рис. 44

На диаграмме обозначено: I a и I p — активная и реактивная составляющие тока I; I нa и I нp — активная и реактивная составляющие тока I н.

63

Для схемы с конденсатором получим

I

нp

− I

C

I

нp

I C

CωU

Cω 2

tgϕ

2

=

=

−

= tgϕ −

= tgϕ −

U

.

I a

I нa

I нa

1

P U

1

P

Отсюда требуемая емкость для уменьшения отставания тока

от величины ϕ1 до величины ϕ2

C = (tgϕ −tgϕ

)

P

.

ω 2

1

2

U

Если требуется полная компенсация угла сдвига фаз, то

C =

P

tgϕ .

ω

2

1

U

Компенсация сдвига фаз существенна для энергоемких потребителей, например промышленных предприятий. Осуществляется она в местах ввода линии питания в распределительном устройстве. Экономически выгодно подключать конденсаторы на возможно более высокое напряжение, так как величина С обратно пропорциональна квадрату напряжения.

Рассмотрим простой прием расчета активной и реактивной мощностей. Пусть задан некоторый комплекс

A = Ae jϕA = Acos ϕA + jAsin ϕA.

Введем понятие сопряженного комплекса. Под комплексом

A, сопряженным с комплексом А, будем понимать комплекс

	= A − jϕA = Acos	ϕ	A	− jAsin ϕ .
A	e			A
Обозначим	напряжение на		некотором участке цепи

U =U e jϕu , ток по этому участку I = I e jϕi . Угол между напряжением и током ϕ = ϕu −ϕi . Умножим комплекс напряжения на со-

пряженный комплекс тока				= I e− jϕi	и обозначим полученный
			I
	~
комплекс через S
~		−ϕi) =UI e jϕ =UI cos ϕ+ jUI sin ϕ = P + jQ.
S =U I =UI e j(ϕu

Значок ~ (тильда) над S обозначает комплекс (а не сопряженный комплекс) полной мощности, составленный при участии

сопряженного комплекса тока I .

64

Таким образом, активная мощность Р есть действительная часть (Re), а реактивная мощность Q — мнимая часть (Im) произ-

ведения U I :

P = Re
	U I		;
				(42)
	U
Q = Im			.
		I

Для определения же полной мощности следует пользоваться только формулой (40).

Из закона сохранения энергии следует, что в любой цепи должен соблюдаться баланс мощностей. Для цепей переменного тока он формулируется следующим образом: сумма активных мощностей источников равна сумме активных мощностей приемников, а сумма реактивных мощностей источников равна сумме реактивных мощностей приемников.

При этом под реактивной мощностью приемников энергии понимается сумма произведений квадратов токов ветвей на реактивные сопротивления ветвей с учетом их знака.

Реактивная мощность, получаемая индуктивным элементом, положительна, а емкостным — отрицательна. Поэтому баланс для полных мощностей не соблюдается (на основании (39)

S = P2 + Q2 , но в этом выражении знак Q роли не играет).

Для экспериментального определения мощности применяются специальные приборы — ваттметры. Ваттметр содержит две обмотки и соответственно две пары зажимов для подключения его в цепь. Одна обмотка включается в цепь последовательно, по-

	a	добно амперметру, вторая — параллельно
		участку цепи, подобно вольтметру. На
	I	схемах ваттметр изображается в виде
	W	кружка с буквой W, из которого выходят
		четыре конца, как показано на рис. 45.
	b	Для правильного включения в цепь
		начала обмоток обозначаются звездочка-
	Рис. 45	ми. Ваттметр устроен таким образом, что
		измеряет произведение эффективных зна-

65

чений напряжения U ab на ток I и на косинус угла сдвига между током и напряжением (предполагается, что ток втекает в вывод последовательной обмотки, отмеченной звездочкой, а напряжение на параллельной обмотке равно разности потенциалов между выводом со звездочкой — точка а на рис. 45 — и выводом без звездочки — точка b на рисунке).

Как правило, ваттметр включают в схему так, что он измеряет активную мощность. Но можно при определенном подключении измерять и реактивную мощность.

Пример 15

Приборы, подключенные к цепи на рис. 46, дали следующие показания: U = 65 В; I = 5 А; P = 300 Вт.

Требуется вычислить комплексное сопротивление Z и комплексные проводимости Y цепи для случаев: а) ϕ > 0; б) ϕ < 0.

W

~ V	Z, Y
	A

Рис. 46

Модуль сопротивления и его аргумент: z =U I = 65 5 =13 Ом;

cos ϕ = P = 300 = 0,923; ϕ = ±22,6°. UI 65 5

Искомые комплексные сопротивления и проводимости цепи:

а) ϕ > 0 :

Z = ze jϕ =13e j22,6 =13cos 22,6 + j13sin 22,6 = =13 0,923 + j13 0,385 = (12 + j5) Ом;

	66
Y =1 Z = 1	e− j22,6 = 0,077e− j22,6	= 0,077 0,923 − j0,077 0,385 =
13	= (7,1− j2,96) 10−2 См;
б) ϕ < 0 :
	Z = 13e − j 2 2 ,6	= (12 − j5) Ом;
	Y =1 Z = 1 e j 22,6 = (7,1 + j2,96) 10−2 См.
	13

Для определения знака ϕ необходимо провести следующий опыт: подключить параллельно нагрузке Z конденсатор небольшой емкости и проследить реакцию амперметра.

Если нагрузка имела емкостный характер, то добавление емкостной нагрузки приведет к увеличению тока и увеличению показания амперметра. В этом случае ϕ отрицательно.

Если же подключение конденсатора приводит к уменьшению тока, то ϕ положительно (см., например, векторную диаграмму на рис. 44, поясняющую компенсацию сдвига фаз).

Пример 16.

Для схемы на рис. 47 дано: u = 120 2 sin 314t В; R1 =10 Ом;

R2 = 24 Ом; R3 = 15 Ом; L1 =19,1 мГн; L3 = 63,7 мГн; С2 = 455 мкФ.

R1	L1
	I1 a
	I2	I3
u	R2	R3
	C2	L3

b

Рис. 47

Требуется определить все токи, проверить баланс мощностей, построить векторную диаграмму.

Рассчитаем реактивные сопротивления:

67

X 1 = ωL1 = 314 19,1 10−3 = 6 Ом;

1

1

= 7 Ом;

X 2 =

=

ωC2

314 455 10−6

X 3 = ωL3 = 314 63,7 10−3 = 20 Ом.

Комплекс эффективного значения приложенного к цепи на-

пряжения в 2 раз меньше комплексной амплитуды, поэтому

U =120

2

2 =120 В.

Введем обозначение комплексных сопротивлений:

Z1 = R1 + j X 1 = (10 + j6) Ом;

Z 2 = R2 + j X 2 = (24 − j7) = 25 e− j6,25

Ом;

Z 3 = R3 + j X 3 = (15 + j20) = 25 e j53,13

Ом.

Полное сопротивление цепи

Z

2 Z 3

25e − j1 6 ,26

25e j 5 3,1 3

Z = Z

1 +

= 10 +

j 6 +

=

Z 2

+

Z 3

39

+ j13

= 10 + j 6 +

625e j 36 ,8 7

= 10 + j 6 + 15, 2e j18 ,43

=

41,11e j18 ,44

= 10 + j 6 + 14, 4 + j 4,8 = 24, 4 + j10,8 = 26, 7 e j 23,9 Ом.

В неразветвленной части цепи проходит ток

I1

=

U

=

120

= 4,5e− j23,9 А.

26,7e j23,9

Z

Токи в параллельных ветвях, согласно формуле (23), могут

быть выражены через ток в неразветвленной части цепи:

Z 3

15 + j20

25

j53,13

I 2

= I1

= I1

= 4,5e− j23,9

e

= 2,74e j10,8

А;

Z 2 + Z 3

39 + j13

41,11e j18,44

Z 2

24 − j7

25

− j16,26

=

=

= 4,5

− j23,9

e

= 2,74 − j58,6

A.

I 3

I1 Z 2 + Z 3

I1 39 + j13

e

41,11e j18,44

e

Найдем активные мощностивсей цепи иотдельных ее ветвей:

			= Re 120 4,5e j23,9		= 540cos 23,9 = 494 Вт;
P = Re U I1

68

P1 + P2 + P3 = I 12 R1 + I 22 R2 + I 32 R3 =

=4,52 10 + 2,742 24 + 2,742 15 = 202,5 + 180, 2 + 112, 6 = 495,3 Вт.

Сучетом погрешности вычислений баланс активных мощностей выполняется.

Наконец, определим реактивные мощности всей цепи и отдельных ее ветвей:

Q			= Im 120 4,5e j23,9	= 540sin 23,9 = 218,8	ВАр;
	= Im U I1
Q1 +Q2 +Q3 = I12 X 1 − I 22 X 2 + I 32 X 3 =
= 4,52 6 −2,742 7 +2,742 20 =121,5 −52,6 +150,1 = 219					BAp.

Отсюда видно, что выполняется и баланс реактивных мощностей.

На рис. 48 приведена векторная диаграмма.

I 2

+j	I1Z1 I 2R2

− j X 2I 2

				+1
	U ab			U
	I 3R3 I1R1		I1		1 А
	j X 3I 3 j X 1I1				20 В
	I 3
	Рис. 48
Порядок построения диаграммы следующий: по результатам
расчетов отложены векторы токов I1 ,			I 2	и I 3 , затем по направ-
лению I1 отложен вектор I1R1 = U R1		и перпендикулярно к нему в
сторону опережения — вектор j X 1I1 = U L1				. Их сумма дает вектор
I1Z1 =U Z1	. Далее в фазе с I 2 построен вектор I 2R2 =U R2 и пер-

	69
пендикулярно	к нему в сторону отставания — вектор
− j X 2I 2 =U C2	, а их сумма дает вектор напряжения на параллель-

ном участке U ab . Тот же вектор может быть получен, если в фазе

с I 3 отложить I 3R3 =U R3	и к нему прибавить	вектор
j X 3I 3 =U L3 , опережающий I 3	на 90°. Сумма векторов	I1Z1 и
U ab дает вектор приложенного напряжения U .

3.6 Частотные характеристики

К частотным характеристикам электрических цепей относятся входные и передаточные функции, записанные в комплексной форме.

Входная комплексная функция цепи – это зависимость от частоты комплексного сопротивления

Z ( j ω) = z (ω) e jϕ(ω) = r (ω) + jx(ω)

или комплексной проводимости

Y ( j ω) = y (ω) e− jϕ(ω) = g (ω) − jb(ω)

относительно двух заданных выводов.

В качестве примера построим зависимость от частоты модуля z (ω) и аргумента ϕ(ω) входного комплексного сопротивления

схемы на рис. 49, а Входное сопротивление

Z ( j ω) =		1	=		1			=	g − jωC
		Y ( j ω)
				g	+ jωC g2 +(ωC )2
и		1					tgϕ(ω) = −ωC .
z (ω) =						;
		g2 +(ωC )2
									g

Зависимости z (ω) и ϕ(ω) показаны на рис. 49, б, в.