ТОЭ / ТОЭ ТУСУР

70

	R	C
	а
		ϕ(ω)
z (ω)
		ϕ(ω)
		0	ω
0	ω	−π
		2
	б		в
	Рис. 49

Передаточная комплексная функция (комплексный ко-

эффициент передачи) цепи определяет реакцию цепи на внешнее воздействие и равна отношению выходной величины (напряжение, ток) к входной величине (напряжение, ток), выраженных в комплексной форме.

Различают четыре вида передаточных функций:

– передаточная функция по напряжению

Kи( jω) = Uвых( jω) ; Uвх( jω)

– передаточная функция по току

KI ( jω) = Iвых( jω) ; Iвх( jω)

	– передаточное сопротивление
	Kz ( jω) =	Uвых( jω)	;
		Iвх( jω)

– передаточная проводимость

KY ( jω) = Iвых( jω) . Uвх( jω)

71

Зависимость модуля передаточной функции K (ω) от часто-

ты называется амплитудной частотной характеристикой

(АЧХ), зависимость аргумента передаточной функции ϕ(ω) —

фазовой частотной характеристикой (ФЧХ). На комплексной плоскости можно построить геометрическое место конца вектора

K ( jω) при изменении частоты — амплитудно-фазовую частотную характеристику (АФЧХ).

3.7 Явление резонанса

Пусть пассивный двухполюсник содержит одну или несколько индуктивностей и одну или несколько емкостей (и, конечно, активные сопротивления). Под резонансным режимом работы такого двухполюсника понимают режим, при котором входное сопротивление двухполюсника является чисто активным.

По отношению к внешней цепи двухполюсник в резонансном режиме ведет себя как активное сопротивление, поэтому ток и напряжение на его входе совпадают по фазе. Реактивная мощность двухполюсника при этом равна нулю.

Различают две основные разновидности резонансных режимов: резонанс токов и резонанс напряжений.

Резонанс напряжений возникает в последовательной RLC- цепи, представленной на рис. 50, а.

R

I

	~ E	jωLI
	L		U R I
	C
	− j	I
		ωC
	а		б
	Рис. 50

72

При резонансе ток в цепи должен совпадать по фазе с э.д.с. E . Это возможно, если входное сопротивление схемы Z = R + j(ωL −1ωC) будет чисто активным. Условие наступления резонанса в схеме (см. рис. 50, а)

ωL =1 ωC.

(43)

Здесь значения противоположных по фазе напряжений на индуктивности и емкости равны, как показано на диаграмме (рис. 50, б), поэтому резонанс в последовательной цепи получил название резонанса напряжений.

Напряжения на индуктивности и емкости при резонансе могут значительно превышать напряжение на входных зажимах, которое равно напряжению на активном сопротивлении.

Полное сопротивление цепи z при Х = 0 минимально: z = R2 + X 2 = R , а ток I максимален.

Резонанса можно достичь, изменяя один из трех параметров: ω, L или С. Угловая частота, при которой наступает резонанс, называется угловой резонансной частотой и определяется из усло-

вия (43):
ω0 =1 LC.	(44)

Соответственно резонансная частота

f 0 =12π LC.

Индуктивное и емкостное сопротивления при резонансе —

ω0 L =1 ω0C = L C = ρ.

Величина ρ называется характеристическим сопротивлением. Напряжения на реактивных элементах —

U L =U C = ω0LI = ω0L E. R

Отношение

	ω0L	=	L C	=	ρ	= Q	(45)
	R		R		R

называется добротностью резонансного контура. Добротность показывает, во сколько раз напряжение на индуктивном (емкостном) элементе превышает напряжение на входе схемы в резонансном режиме.

73

Примерный вид зависимости тока от частоты для рассматриваемой схемы (при неизменном значении Е) представлен на рис. 51 и называется амплитудной частотной характеристикой.

II p

1

1 2

0

ωн ωв ω

Рис. 51

График АЧХ показывает, что последовательная RLC-цепь (последовательный резонансный контур) обладает избирательными свойствами, которые характеризуются полосой пропускания. Полоса пропускания П = ωв −ωн определяется из условия,

что ток на частотах ωн и ωв уменьшается в 2 раз по сравнению с током при резонансе. Здесь частоты ωн и ωв являются соответ-

ственно нижней и верхней границами полосы пропускания. Установим связь между добротностью, полосой пропуска-

ния и резонансной частотой.

Комплекс действующего значения тока в цепи I , действующее значение тока в цепи I и действующее значение тока при резонансе I p соответственно равны:

I =

E

;

I =

E

; I =

E

.

R + j ( X L − XC )

2

p

R

R +( X L − XC )

2

На границах полосы пропускания

1

I

=

R

=

.

I p

R

2

+( X L − XC )

2

2

Отсюда

2R2 = R2 +( X L − XC )2

74
и окончательно
R = ±( X L − XC ).	(46)

В (46) знак «минус» перед скобкой соответствует нижней, а знак «плюс» — верхней границам полосы пропускания.

Из (45) выразим

R = ω0 L Q

и подставим в (46) для нижней границы полосы пропускания, используя параметры реактивных элементов:

ω0 L = −ω L +

1

.

Q

н

ω

C

н

Поделив последнее равенство на L и подставив из (44)

1

= ω2 ,

LC

0

получим:

ω2 + ω0 ω −ω2

= 0.

н

Q

н

0

Положительный корень решения этого уравнения дает ниж-

нюю границу полосы пропускания:

−

ω0

+

ω02

2

−

ω

ω

Q2

+ 4ω0

0

+ 0 1+ 4Q2

ω =

Q

=

Q

Q

=

н

2

2

=

ω0

( 1+ 4Q2 −1).

(47)

2Q

Аналогично находится верхняя граница полосы пропуска-

ния:

ω0

(

1+ 4Q2 +1).

ωв ==

(48)

2Q

С учетом (47) и (48) полоса пропускания определяется сле-

дующим выражением:

П = ω −ω = ω0 .

(49)

в

н

Q

75

Из (49) следует, что для последовательного резонансного контура чем больше добротность, тем уже полоса пропускания, т.е. лучше избирательность.

Если при резонансе эквивалентное сопротивление цепи чисто активное, а ток и приложенное напряжение совпадают по фазе, то при ω ≠ ω0 наблюдается следующее.

На частотах меньше резонансной реактивное сопротивление

цепи

X = X − X		= ωL −	1
			ωC
L	C

будет иметь емкостный характер, так как реактивное сопротивление конденсатора больше реактивного сопротивления индуктивности, а при частотах больше резонансной уже сопротивление индуктивности станет больше сопротивления конденсатора, и реактивное сопротивление цепи примет индуктивный характер. В соответствии с этим при частотах меньше резонансной ток в цепи опережает приложенное напряжение (угол ϕ положителен) и при

частотах больше резонансной — отстает от напряжения отрицателен).

Для расчета угла ϕ используется формула:

				ωL −	1
	ϕ = arctg	X	= arctg		ωC		.
				R
		R

(угол ϕ

(50)

Вчастном случае на границах полосы пропускания с учетом

(46)получим:

ϕн = arctg −( X L − XC ) = 45°;

R

ϕв = arctg X L − XC = −45°.

R

Здесь обозначено: ϕн и ϕв — соответственно начальная фа-

за тока на нижней и верхней границах полосы пропускания. Построенный по (50) график называется фазовой частотной

характеристикой (ФЧХ).

Примерный вид фазовой частотной характеристики приведен на рис. 52.

76

ϕ

90°

45°

0		ω0
	ωн	ω
		ωв

−45°

−90°

Рис. 52

Явление резонанса в схеме на рис. 53, а с параллельными ветвями, содержащими разнохарактерные реактивные сопротивления, называется резонансом токов.

I1

R1

L

I2

I E

I

I1

I2 R2 С

E	б

а

Рис. 53

Ток I1 в ветви с индуктивностью отстает от э.д.с E (см. диаграмму на рис. 53, б) и может быть записан как

I1 = EY1.

Ток I 2 в ветви с емкостью опережает напряжение:

I 2 = EY2.

Ток в неразветвленной части цепи —

I = I1 + I2 = E (Y1 +Y2 ) = E Y .

77

Определим комплексную проводимость Y :

R1 − jωL

R

+ j

1

1

1

ωC

Y =

+

=

+

2

=

R1

+ jωL

1

R12 +ω2 L2

2

1

R2 − j

ωC

R2

+ ω2C2

=

R

+

R

ωL

−

1 ωC

1

2

− j

.

R12 +ω2 L2

2

1

R12

+ω2 L2

2

1

R2

+

ω2C2

R2 +

ω2C2

По определению резонансного режима ток I

должен совпа-

дать по фазе с э.д.с. E . Это будет при условии, что мнимая часть

проводимости Y равна нулю.

Следовательно, условие наступления режима резонанса то-

ков в схеме на рис. 53, а можно записать так:
	ωL	=		1 ωC	.	(51)
	R12 +ω2L2		R22	+1 ω2C2

Изменением одной из величин в (51) при неизменных остальных четырех не всегда может быть достигнут резонанс. Резонанс отсутствует, если значение изменяемой величины, вычисленное по (51), получается мнимым или комплексным. Например, решим (51) относительно ω:

L

R12

ωL2

ωLR22 +

=

+

,

ω

2

C

ωC

C

ω2LR22C2 + L = R12C +ω2L2C,

ω2LC(L −C R22) = L −CR12,

1

L −C R2

1

L C − R2

1 ρ2 − R2

ω0

=

1

=

1

=

1 .

L C − R22

LC

L −C R22

LC

LC ρ2 − R22

То есть резонанс возможен, если R1 и R2

оба больше или

оба меньше ρ.

Эквивалентная проводимость контура при резонансе равна действительной части комплексной проводимости:

78

g = Re[Y ] =

R1

+

R2

=

R12 +(ω′0 )2 L2

R2

+

1

(ω′ )2

C2

2

0

=

R1

+

R2

=

2

2 1

ρ2

− R12

2

+

1

R2

R

+ L

ρ

2

2

1

2 1

LC ρ2

− R22

− R1

C

LC

ρ2 − R22

=

R1

+

R2

=

R2 +

ρ2

(ρ2

− R12 )

R2

+

ρ2

(ρ2 − R22 )

ρ2 − R2

ρ2 − R2

1

2

R (ρ2 − R2 )

2

− R2 )

1

R (ρ2

R1 + R2

=

1

2

+

2

1

=

.

ρ4 − R2 R2

ρ4 − R2 R2

ρ2 − R R

1

2

1

2

1

2

Потребляемый от источника ток при резонансе минимален и рассчитывается по следующему соотношению:

I p = Eρ(2R+1 + R2 ). R1R2

Примерный вид АЧХ для параллельного колебательного контура представлен на рис. 54.

I

I p 2

I p

0	ωн	ωв	ω

Рис. 54

Избирательные свойства этого контура, так же как и последовательного, характеризуются полосой пропускания. Границы полосы пропускания ωн и ωв здесь соответствуют увеличению

тока источника по сравнению с резонансным в 2 раз.

79

Если в контуре потери малы, что характерно для радиотехники и электросвязи, то можно считать R1 ≈ 0, R 2 ≈ 0 и резонанс-

ная частота в параллельном контуре будет определяться тем же соотношением, что и в последовательном (см. формулу 44).

Построим зависимость тока от частоты I(ω) в неразветвленной части схемы для идеального случая R1 = R2 = 0.

На рис. 55 показаны частотные характеристики проводимостей ветвей b1 = bL =1ωL и b2 = −bC = −ωC и входной проводи-

мости цепи b = b1 +b2 =1ωL −ωC. Ток I = b E , поэтому кривая b = F(ω) в соответствующем масштабе и есть резонансная кривая тока I (ω) .

b, I

b1 = bL

b

b

0 ω

b2 = −bC

Рис. 55

При изменении частоты от 0 до ω0 =1 LC эквивалентная

проводимость b > 0, т.е. индуктивная, и изменяется от ∞ до нуля. При ω= ω0 наступает резонанс токов, b = 0, I = 0, I1 = E ω0L = E ρ

и I 2 = ω0CE = Eρ. При возрастании частоты от ω0 до ∞ входная проводимость b<0, т.е. емкостная, и изменяется от нуля до −∞.

Пример 17

Для схемы на рис. 50, а дано: R=10 Ом; L= 0,1 мГн; С=100 пФ;

Е=1 В.

Требуется определить величину напряжений на индуктивности и емкости и активную мощность цепи при резонансе.