Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Красноярский государственный педагогический университет им. В.П. Астафьева

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

4,5,6

.doc

Скачиваний:

Добавлен:

10.02.2015

Размер:

1.6 Mб

Скачать

☆

Вопрос 4. Тригонометрические функции, их определения и основные свойства.

В школьном курсе математики на первом этапе тригонометрические функции вводятся как функции острого угла в прямоугольном треугольнике.

Опр. В прям-ом треугольнике синусом острого угла назыв. отношение противол-го катета к гипотенузе, косинусом – отношение прилежащего катета к гипотенузе, тангенсом – отношение противолежащего катета к прилежащему, котангенсом – отношение прилежащего к противолежащему.

Sinα=a/c; cosα=b/c; tgα=a/b; ctgα=b/a

На втором этапе вводятся тригонометрические функции произвольного угла (произвольного числа), т.е. существенно расширяется область определения этих функций.

Опр. Возьмем в прямоугольной системе координат Хоу Окружность радиуса 1 с центром в начале координат называют единичной окружностью. Пусть точка Р единичной окружности получена при повороте точки Р₀ (1,0) на угол α. Синус угла α – это ордината точки Р, косинус – это абсцисса этой точки. tgα=sinα/coxα а≠π/2+πk, сtgα= coxα/sinα a≠πk.

Опр: Если (.)Р числовой окружности соответствует числу t, то абсциссу (.)Р называют косинусом числа t и обозначают cost, а ординату (.)Р называют синусом числа t и обозначают sint. ( если каждому действительному Хэх ставится в соответствие единственное число у=sinx, то говорят, что задана функция синус х.)

Опр: Отношение синуса угла t к косинусу того же угла называют тангенсам, а отношение косинуса угла t к синусу этого же угла называют котангенсом.

Свойства тригонометрических функций:

1.Область определения.

Опр. Это множество значений х из Х, которые обращают ф-ию в верное равенство.

(y=sinх, y=cosx – D(f)=R;y=ctgx - D(f)=[-π/2+ πn; π/2+ πn].; y=tgx - D(f)=[ πn; π+ πn]).

2.Четность\нечетность.

Опр. Множество Х называется симметричным относительно начала координат, если вместе с каждым х, оно содержит противоположное ему число (-х).

Опр. ф-ия f, заданная на симметричном относительно нач.коорд. мн-ве Х называется четной (нечетной), если для любого х из Х f(-x)=f(x) (f(-x)=-f(x)).

(y=sinх, y=tgx - нечетная, y=cosx –четная, y=ctgx – ни четная, ни нечетная).

3.Периодичность.

Опр. ф-я f , заданная на некотором промежутке Х, наз периодич-ой с периодом к, где к≠0, если 1) Множество Х периодично (если с каждым х€Х, оно содержит (х±к)€Х) с периодом к. 2)для любого х€Х f(х±к)=f(x).

1. y=sinх, y=cosx – периодичны, период 2πn.

2. y=tgx,y=ctgx - периодичны, период πn, кроме кроме х=π/2+πn для тангенса и х=π+πn для котангенса.

4. Непрерывность.

(y=sinх, y=cosx – непрерывны; y=tgx – Непрерывна на интервале (-π/2+πn;π/2+πn).; y=сtgx – Непрерывна на интервале (πn;π+πn))

5.Ограниченность.

Опр. Ф-ия наз-ся ограниченной на множестве А из X, если множество значений, принимаемых этой ф-ией на А ограниченно некот.числом В. Ограниченное множество имеет точную верх. И нижн.границу.

Опр. Ф-ия неограниченна, если для люб.числа В найдется х, что |f(x)|>B.

(y=sinх, y=cosx - Ограниченны [-1;1], y=tgx, y=сtgx – Неограниченны.)

6.Монотонность.

Опр. Ф-ия наз-ся монотонной, если она возрастает либо убывает на промеж-ке А из Х.

Опр. Ф-ия называется возраст.(убывающ) на подмножестве А, если для любого х1, х2 из А, таких что х1<x2, следует что f(x1)=<f(x2) (f(x1)=<f(x2)).

Все тригонометр-е функции на R не являются монотонными, поэтому необратимы на R. В таком случае выделяют участок монотонности, чаще всего [-π/2,π/2]. На нем, например, ф-я sinх монотонна на [-π/2,π/2] и принимает все свои значения от -1 до 1.

Свойства косинуса аналогичны свойствам синуса.

(y=sinх - Возрастает на [-π/2+2πn; π/2+2πn]; Убывает на [π/2+2πn; 3π/2+2πn]; y=cosx - Убывает на [0+2πn; π+2πn].Возрастает на [π+2πn; 2π+2πn]; y=tgx - Возрастает на (-π/2+πn; π/2+πn); y=сtgx - Убывает на (0+πn; π+πn).)

7. Наибольшее/ наименьшее значение ф-ции.

(y=sinх – Уmax=1 в (.) х=-π/2+2πn, У min=-1 в (.) х=π/2+2πn ; y=cosx - У max=1 в (.) х= 2πn, У min=-1 в (.) х= π+2πn; y=tgx, y=сtgx – Нет ни наиб., ни наим. значения.)

8. Область значений.

Опр. это множество значений, которые может принимать х из Х:

(y=sinх, y=cosx - E(f)=[-1;1]; y=tgx ,y=сtgx - E(f)=R.)

9. Дифференцируемость.

Все тригонометр функции непрерывно и неограниченно дифференцируемы во всех точках которых определены.

Обратные тригоном функции.

Функции y = arcsin x и y = arccos x обладают следующими характеристиками и свойствами:

- у обеих функций одна и та же область определения: -1 < x <+1 ;

их области значений: -π/2 < y<π /2 для y = arcsin x и 0 < y<π для y = arccos x;

- функции ограниченные, непериодические, непрерывные и монотонные

( y = arcsin x – возрастающая функция; y = arccos x – убывающая );

- каждая функция имеет по одному нулю ( x = 0 у функции y = arcsin x и

x = 1 у функции y = arccos x).

Функции y = arctan x и y = arccot x имеют следующие характеристики и свойства:

- у обеих функций одна и та же область определения: -∞< x <+∞ ;

их области значений: -π/2 < y < π/2 для y = arctan x и 0 < y < π для y = arccos x;

- функции ограниченные, непериодические, непрерывные и монотонные

( y = arctan x – возрастающая функция; y = arccot x – убывающая );

- только функция y = arctan x имеет единственный ноль ( x = 0 );

функция y = arccot x нулей не имеет.

В ШКМ у Мордковича эта тема изучается в 10 классе очень подробно и достаточно на высоком уровне. Определения даются с помощью числовой окружности. Подробно рассмотрены свойства синуса, косинуса и тангенса.

Вопрос 5. Дифференцируемость функции.

! ф-я y=f(x)опред-на в т. х₀ и её окрестности.

Опр: Функция f(x) наз. дифференцируемой в т. х₀, если ее приращение в этой точке можно представить виде ∆f(х₀)=A* ∆х+α(∆х)* ∆х, где А – некоторое число независящее от ∆х;

α(∆х) – б.м.величина по сравнению с ∆х, т.е. lim α(∆х)=0 при ∆х->0.

Если ф-я диф-ма, то она непрерывна.

Пример: y=x², ∆y=f(x₀+∆x)-f(x₀)=(x₀+∆x)²-x₀²=x₀²+2x₀∆x+(∆x)²-x₀²=2x₀∆x+∆x∆x, 2x_{0
– число,}∆x –бмф => y=x² – диффер-ма в т х₀.

Опр: Если ф-я имеет произ-ю в т. х₀, то она диффер-ма в этой точке.

Опр: Дифференциалом функции в некоторой точке наз.произведение производной в этой точке на приращение независимой переменной:

dy=f’(х₀)* ∆х.

T (необх.и достат.усл-ие диф-ти): Если ф-ия f(x) диф-ма ф т. х₀, то она непрер-на в т. х₀.

Док-во: ! ф-ия f(x) диф-ма в т. х₀ , то приращение функции можно представить виде

∆f(х₀)=A* ∆х+α(∆х)* ∆х. Перейдем к пределу при ∆х0

lim∆f(х₀)=lim(A* ∆х+α(∆х)* ∆х)

lim∆f(х₀)=0(т.к в скобках беск-но мал.величины) при ∆х0.

=> по опр.нерерывности функции в точке на языке приращения, f(x) – непр-на в т. х₀

Замечание: данная Th не явл-ся обратной (напр: y=|x|)

Опр: Производной функцией f(x) в т. х₀ наз. Предел отношения приращения функции к приращению аргумента, когда последнее 0

Заметим, что из опр. => что производная в точке это всегда некоторое число.

Т: для того чтобы функция f(x) была диф-ма в т. х₀  чтобы существовала производная этой ф-и в точке.

Док-во:

(=>) f(x) – диф-ма в т. х₀. Нужно д-ть что в этой точке существует производная.

По опр.приращение можно представить в виде ∆f(х₀)=A* ∆х+α(∆х)* ∆х, где А – некоторое число независящее от ∆х, α(∆х) – б.м.величина

∆f(х₀)=A* ∆х+α(∆х)* ∆х |∆х≠0

Перейдем в посл.неравенстве к пределу при ∆х0.

По опр. f ’(x)=A

(<=) Производная в т. х₀ существует, необходимо доказать, что ф-я диф-ма в этой точке. Из опр.производной известно, что

По необх. и достат. условию существования предела =>

+(б.м.в.)+ α(∆х)

Умножим обе части неравенства на ∆х и получим:

∆f ‘(х₀)= f(х₀)* ∆х + α(∆х)* ∆х,

f ‘(х₀)=А – число, независящее от ∆х, а значит по опр. => f(x) диф-ма в точке х₀ #

Геом. смысл:

Производная фун-ии f(x) в т. x₀есть угловой коэф-ет касат-ой к графику фун-и в т. x₀, это tg угла наклона между касат-ой, проведен-ой в т. x₀ и полож-ым направлением ОХ.

Пример Найти угловой коэффициент касательной к графику f(x)=2sinx в т . Решение f’=cosx. f’()=2cos=2= => k=tg=

Геом. Смысл диф: Значение дифференциала в т x₀равно линейному приращению касательной в точке x₀ .

Механ. смысл: Если некоторая материальная т. М совершает прямолинейное неравномерное движение по закону s=S(t), то значение производной в т t₀ –это мгновенная скорость в момент времен t₀ .

Правила дифференцирования:

2. Если ф-и и(х) и v(x) диф-мы в т. х₀, то в т. х₀ диф-ма ф-ия y=u+v,причем:

Док-во:

[y=y(u,v);Δу = y(u + Δu) + (v + Δv) - y(u + v)]. Придадим х₀ приращ. ∆х0.Это приращ.вызовет у ф-ий u(x) и v(x) приращ Δu,Δv. =>ф-ия получит приращ Δу.

lim

=lim lim lim

+ lim при ∆х 0.

3. Если ф-и и(х) и v(x) диф-мы в т. х₀, то в т. х₀ диф-ма ф-ия y=u+v,причем: (u • v)' = и' v + u v'

Док-во: Придадим х₀ приращ. ∆х ≠0.Это приращ.вызовет у ф-ий u(x) и v(x) приращ Δu,Δv. =>ф-ия получит приращ Δу.

lim =

=lim=lim

u lim+v lim+ lim=

=u• v'+v• u'+ lim при ∆х 0.Д-ем,что lim=0

Т.к u,v-диф-мы в т. х₀,то она непрер-на => Δu0,Δv0 при ∆х0. lim=lim •lim Δv = и' • lim Δv= и'•0=0

Т.о (u • v)' = и' v + u v'

4. Если ф-и и(х) и v(x) диф-мы в т. х₀, то в т. х₀ диф-ма ф-ия y=u(x)+v(x),причем:

5. Если ф-и и(х) и v(x) диф-мы в т. х₀ и v(x) ≠0, то в т. х₀ диф-ма ф-ия ,причем:

Док-во:

!y=.Тогда: =lim=

=lim=

=lim

=lim= lim=

==[u,v-диф-мы,то они непр-ны=>∆u, ∆v, 0]

=(везде пределы при0)

6.произ-ая сложной ф-ии

Если функция u=g(x) имеет произ-ю в точке х, а ф-я y = f(u) имеет произ-ю в точке u, то сложная ф-я y = f(g(x)) в точке х имеет произ-ю у'x, причем =

Док-во: Дадим х приращ ∆x≠0. Тогда u и у получат приращ. Δu и Δу.

Т.к. ф-я u = g(x) дифф-ма=>, непр-на, то Δu0 при Δх0. Поэтому

. Тогда

.это и означает: =

7.произв-ая обратной ф-ии

!ф-ия х = f(y) монотонна и дифф-ма на (a, b) и имеет в точке у этого интервала произв. f'(y)≠ 0. Тогда в х обратная ф-я у =(x) имеет произв. или

Инвариатность формы 1 порядка.

Мы имеем след.ф-лу для вычисления диф-ла: df(x)=f‘(x)dx.

Оказывается, что эта формула сохраняется и в том случае, когда не явл. независимой переменной, а явл. некоторой ф-ей от другой переменной. Докажем это.

Пусть у=f(x) диф-ма в т. х₀, а х=φ(z) – диф-ма в т. z₀. Рассмотрим сложную у= f (φ(z)) и д-м, что df (х₀)=f ‘(х₀)*dx

у= f (φ(z)) будет ф-ей от переменной z .

dy= y_z’dz= y_x’* x_z’dz = y_zdx= f ’(х₀)dx.

Итак, мы получили, что df (х₀)=f ‘(х₀)*dx и в случаях, когда х явл.некоторой ф-ей от другой переменной. В этом и состоит инвариатность формы диф-ла 1 порядка.

Иначе говоря, диффер-л ф-ции имеет один и т от же вид произведения производной по некоторой переменной, независимо оттого, является ли эта переменная в свою очередь ф-цией или независ переменной.

Вопрос 6. Условия постоянства, монотонности и выпуклости функции.

Th(условия постоянства и монотонности)

!ф-ия y=f(x) опред-на на [a;b]непр-на на нем и дифф-ма на (a;b).Тогда:

1)Ф-ия у=f(x) явл. пост-ой на [a,b]  f’(x)=0 для любого хÎ(a,b).

2) Ф-ия у=f(x) возр.(убыв.) на [a,b] f’(x)≥0 (f’(x)≤0) xÎ(a,b).

3) если f’(x)>0 (f’(x)<0) xÎ(a,b), то f сторго возр (убыв) на (a,b)

При док-ве используется.Th Лагранжа:

! ф-ия y=f(x) опред-на на [a;b],причем: 1) f(x) непр-на на [a;b] 2) f(x) дифер-ма на(a;b), тогда внутри [a;b] найдется точка с: =

Док-во:

1)1.(необх-ть) очевидно, т.к. c’=0, c=const. (f(x) постоянная)

2.(дост-ть) пусть f’(x)=0 xÎ(a,b). Док-ем, что f(x)=const на [a,b]. Возьмем xÎ(a,b) и применим к [a,х] ф-лу Лагранжа: f(x)-f(a)=f’(c)(x-a), a<c<x. Т.к. f’(c)=0, то f(x)-f(a)=0, т.е. f(x)=f(a) Т.о получили, что знач-ие ф-ии ввнут-ей точ. совп-ет со знач-ем f(a) =>

f(x)=const на [a,b]. ■

2) 1.(необх-ть) пусть ф-ия f возр. на [a,b]. Возьмем любые т. х и х₀ такие, что a<x₀<x<b. Заметим, что f(x) ≥f(x₀). Рассм. отношение:

перейдем в этом нер-ве к пределу

lim .т.к. х₀ – любая точка (a,b), то f’(x) ≥0 для любого хÎ(a,b). В силу определения производной ф-и в точке и условия диф-ти ф-и вт. х0

2. (дост-ть) пусть f’(x) ≥0 xÎ(a,b). Док-ем, что f возр. на [a,b]. Возьмем х₁, х₂Î(a,b): х₁< х₂. Применим к [х₁, х₂] фор-лу Лагранжа, получим: f(х₂)- f(х₁)=f’(c)( х₂-x₁) х₁<c<х₂. f’(c) ≥0, х₂-x₁>0 => f(х₂)- f(х₁)≥0, т.е. f(х₂)≥f(х₁)=>

f возр на [a,b]. ■

3) (док-во анагогично док-ву дост-ти)

Замечание: выпол-ся только для достат-ти,необх-ть от сюда не след-ет.(напр: y=; на отр.[-1;1] явл.диф-й, производная во всех точках отрезка >0, кроме точки 0, в точке 0 производная =0, по т.ф-я явл.строго-возраст.)

Пример. y=x³ на [-1;1] – диф-ма, y'>0 во всех т [-1;1] кроме 0. y’(0)=0, т.е касат горизонтальна, y- возрастающая.

Опр. кривая у=f(x) выукла вверх (вниз) на Х, если она располож. ниже (выше) любой касат-ой, провед. к каждой точке промежутка Х. (касательная выше функции).

Ан-но опр.вниз

Th (неох и дост усл вып-ти) Пусть ф-ия у=f(x) опред. и непрер на [а;b] и диф-ма в (а;b). Для того чтобы ф-ия у=f(x) была вып. вниз на [а;b]  чтобы на этом отрезке ее график лежал не ниже касат., провед. к графику вточке [а;b].

Th (дост. усл. вып-ти).

Пусть ф-ия у=f(x) опред-на и непрер. на [а;b], дважды диф-ма в (а;b). Тогда, если f’”(x)>0xÎ(a,b), то кривая у=f(x) вып. вниз на [а;b], если f’”(x)<0xÎ(a,b), то кривая вып вверх.