ГОС математика / Мат. ан / 1,2,3

Вопрос 1. Функции (отображения). Предел функции в точке и на бесконечности. Опр. При заданных множ. X и Y под отображением f множ. X к множ. Y понимаем соответствие, при кот. каждому эл-ту множ. x  X сопост-ся нек-ый вполне определенный эл-т у  Y (при этом у зависит от х). Опр. Пусть Х числовое множество. Говорят, что на Х задана функция f, если хХ поставлено в соответствие одно и только одно число y = f(x). x - независимая переменная (аргумент), y - зависимая перемен.(функция). Х – Область определения. Y – обл.значения. Св-ва: - четность (ф-я наз.четной (нечетной) если выполняется 2 условия: Обл.опред.ф-и сим-на относит-но ); f(-x)=f(x)-чет., f(-x)=-f(x) – нечет.) Функция является ни четной ни нечетной (функция общего вида), когда не выполняется симметричность. ПР. cos x, x3, x3 для [-1,1] - периодичность X – T-периодичное, если f: X→Y- T-периодичная, если D(f) – T-периодична и Пример: y=x^2 – периодическая. D(f)=R !T=1 T – период мн-ва R Мн-во R- период-е, причем его периодом является любое число. Y=sinx – периодическая. - монотонность Функция возрастает, если Функция не возрастает, если Функция убывающая, если \ Функция неубывающая, если Пример: y=x^3+3x, доказать, что строго возрастает? - обратимость (если каждому значению у из У ставится в соответствие только одно значение х) Пример: Опр. Число А наз-ся пределом числовой послед-ти, если для любого ε > 0 сущ. n0 принад. N, что для любого n принад. N: n > n0 вып-ся нер-во |х n-а|<ε. ( ) Геом. смысл. A-Ɛ < xn < A+ Ɛ . Все точки начиная с n=N+1,N+2,..N+m,…. лежат внутри (А- Ɛ , А+ Ɛ ). Вне интервала лежат х1,х2,..,хn. Чем < Ɛ тем > N. Опр.Коши. Число А наз. пределом ф-ии f (x) в точке а если для любого сколь угодно малого числа ε > 0 найдется такое число δ ( ε ,а)> О, что для всех х, удовл-ших нер-ву 0<|х – а| < δ , вып-ся неравенство |f (х) – A| < ε. Г.С. |f (х) — А |< ε , А - ε < f(х) < А + ε. Какую бы полосу ограниченную прямыми у = А – ε, y = А + ε мы не взяли, найдется такая проколотая окрестность δ-0 в точке а, что все точки графика с абсциссами из этой окрестности находятся внутри выбранной полосы. Опр, Число А наз. пределом ф-ии f (х) при х→∞, если для любого ε> 0 найдется такое δ ( ε ,а)> О , что для любого х: |х| > δ, |f (х) – A| < ε Геом.смысл Нер-во |f (х) — А |< ε равносильно нер-ву А - ε < f(х) < А + ε. Учитывая последнее, можно дать след. геом-ое истолкование предела ф-ии на бесконечности - Таким образом, какую бы полосу ограниченными прямыми у=А-ε и у=А+ε, мы не взяли, найдется такое число δ>0, что какое бы число х из (-∞;- δ)и( δ;+∞) мы не взяли. Все точки графика f(x) будут находиться внутри этой полосы. Св-ва предела: Т1 Если функция имеет предел в данной точке, то она ограничена в некоторой окрестности данной точки Док-во: Lim f(x)=A <=> для любого ε >0 сущ. ∂>0: для любого х∊Д(х): 0<|x-x0|<∂ => |f(x)-A|< ε. Рассмотрим любое х из окрестности (х0-∂, х0+∂) => А- ε <f(x)<A+ ε. Пусть ε =1= ε 0. Lim f(x)=A при х --> x0 => для любого ε 0 >0 сущ. ∂0>0: для любого х∊Д(х): 0<|x-x0|<∂0 => |f(x)-A|< ε. А- ε 0<f(x)<A+ ε 0. Левая часть и правая это числа => функция ограничена сверху и снизу. # T2. Пусть у=f(x) и у=g(x) определ. на некотором множ. Х, за исключ. может быть некоторой точки х0 этого множ. Тогда если сущ. lim f(x)=А и lim g(x)=В при х --> x0, то lim (f(x) + g(x))=А+В lim (f(x) * g(x))=А*В lim (f(x) / g(x))=А/В, В≠0 Док-во: Док-во: При х --> x0 Т3 Ели, причем каждая из них имеет конечный предел , то и а≤b (теорема о предельном переходе в неравенстве) Док-во(от противного) пусть a>b. Получили противоречие с условием теоремы Т4 Теорема о пределе промежуточной функции Док-во: Подход в школе: На базовом уровне понятии числовой послед-ти не рассмат. => нет понятия предела. Понятие функции опред. на интуитивном уровне:если значение переменной х как угодно близка к значению х0 и при этом значение f(x) так же приближается к некоторому числу А, то говорят, что А является пределом f в х0. На проф.уровне рассматр. понятие числовой функции как N^-го аргумента. Определения пределов даются только по Гейне. Место: на понятии предела основаны основные понятия школьных начал анализа (производная и интеграл).

Вопрос 2. Непрерывность функции в точке и на множестве. Пусть функция f определена в точке х0 и в некоторой ее окрестности. Onp.(основное) Если предел ф-ии в точке х0 и значение ф-ии в этой точке равны, т.е. lim f(x)= f(x0) при х→ x0. то ф-я f-наз. непрерывной ф-ей в точке xо. Опр. (Коши) Ф-я f наз. непрерывной в точке x0 если для любого ε >0 найдется такое δ>0, что для всех х, удовлетворяющих нер-ву |х-х0|<δ, выполняется неравенство |f(x)-f(x0)|<ε. Пояснения: если ф-я непрерывна в точке, то какую бы окрестность ε этой точки мы не взяли, на оси х всегда найдется такая δ окрестность точки, что при отображении ф-и образы этих точек попадут из δ окр-ти в ε окр-ть. Опр. (на языке прирощ.) Ф-я f(х) наз. непрерывной в т x0, если бесконечно малому приращению аргумента соответствует бесконечно малое приращение функции. (Если lim ∆y=0 при ∆х --> 0, то ф-я f (х) наз. непрерывной в т x0. Причем ∆х ≠0, х0+∆х∊Х, ∆y=f(х0+∆х)-f(x0)-прирощение функции.) Опр.(предел слева, справа) Ф-я f(х) наз. Непрерывной слева(справа), если предел слева равен значению функции в т. х0 Пояснения: Функция будет непрерывной в точке х0 , если предел слева и справа в этой точке равен значению функции f(x0). Обратное утверждение также верно, если предел слева равен пределу права – они равны значению ф-и в этой точке, то ф-я будет непрерывна в т. х0 Простейшие св-ва непр. ф-ий: (об ограниченности непр.ф-и) если f непрерывна в точке х0, то она ограничена в некоторой окрестности этой точки. Док-во: Т.к.f непрерывна в х0, ограничена в некоторой окрестности т. х0 # Сумма нескольких ф-ий, непрерывных в данной точке хо, есть ф-я непр. в той же точке. Док-во: f(x) – непр.в т. g(x) – непр.в т. по осн.опред.мы получаем, что f+g – непр.в т. х0 Произведение нескольких ф-ий, непрерывных в данной точке хо, есть ф-я непр. в той же точке. Частное f(x)= двух непрерывных в данной точке х0 ф-ий есть ф-я, непрерывная в этой точке, если φ(х)≠0. Док-во: 1) (произв.) f(x) – непр.в т. g(x) – непр.в т. по осн.опред.мы получаем, что f*g – непр.в т. х0 2) (частное) f(x) – непр.в т. g(x) – непр.в т. Если ф-я у=φ(х) непрерывна в точке x0, а ф-я z=f(y) непрерывна в соотв-щей точке у0=φ(х0), то и сложная ф-я z=f(φ(х)) непрерывна в точке х0. Опр. Функция наз-ся непр-ой на множ.Х если она непр-на в каждой точке этого множ. Опр. Функция непрерывна на [a;b], если она непрерывна в каждой точке интервала (a;b) и T. (Вейерштрасса)1: (об ограниченности функции) Если ф-я f определена и непрерывна на отрезке [а,b], то на этом отрезке она ограничена. Т.е. выполняется неравенство |f(x)|≤M. Док-во: (от противного) Предположим, что f(x) непр.на отрезке [а,b], но не ограничена на нем. Разобъем отрезок [а,b] пополам, тогда на которой из половин f(x) будет неогр.(иначе, если бы ф.была огр.на обоих половинах отрезка, то это несоответствовало бы нашему предположению) Возьмем ту половину [а,b], где ф.неогр.и обозначим ее [а1,b1]. Теперь разобьем отрезок [а1,b1] пополам, и выберем ту половину отрезка [а1,b1], где она будет неогр. и обозначим ее [а2,b2]. Продолжим описанный процесс до ∞. В результате получим систему вложенных отрезков При n∞, поэтому построенная система отрезков является стягивающейся. А по принципу стяг. системы отрезков, существует и един.общая точка для всех отрезков. Обозначим ее с. Точка по условию теоремы, f(x) в этой точке непрерывна, а значит по Т1(локал.св-ва непр-ти), сущ. δ- окр-ти т.с (с- δ;с+ δ) в которой f(x) будет огр.. Возьмем n настолько большим, что отрезок полностью поместится в δ – окр-ть т.с Сл-но получили противоречие. Примечание: с одной стороны, посл-ть отрезока строилась таким образом, что ф-я неогр., с другой – на всем интервале (с- δ;с+ δ) f(x) должна бытьогр. Полученное противоречие снимает допущение, таким образом # Т. (Вейерштрасса)2: Если ф-я f определена и непр-на на отрезке [а,b], то на этом отрезке она достигает своего наибольшее и наименьшее значение. Док-во: По 1-й т-ме Вейерштрасса ф-я f ограничена на отрезке [а,b], след-но, мн-во ее значений имеет точные границы. Пусть sup{E(f)}=M, inf{E(f)}=m. Док-м, что сущ-ют такие точки x1 и x2, что f(x1) =М, f(x2)=m. Допустим, что нет такой точки x1 в кот. F(x1)=M. Тогда f(x1)<M для всех х из [а,b]. Расс-м вспомогательную ф-ю g(х)=. Ф-я непрерывна на [а,b], как частное двух непрерывных ф-ий. След-но, она ограничена. Пусть верхней границей будет некоторое число М1 т.е. < M1. Тогда f(x)<M-, a поэтому число M-меньшее, чем М является верхней границей для ф-ии f, но это противоречит тому, что М есть точная верхняя граница ф-ии. След-но сущ. точка x1, в которой f(x1)=M. Аналогично док-ся, что f принимает и свое наименьшее значение, равное m. # Т. (Больцано-Коши)1: Если ф-я f определена и непрерывна на отрезке [а.b] и на концах этого отрезка она имеет значения разных знаков, т.е. f(a)*f(b)<0, то на отр.[а,b] найдется по крайней мере одна точка а<с<b, в которой ф-я равна 0, т.е. f(c)=0 Док-во: Пусть f(a)<0,f(b)>0.Разделим [a,b]пополам точкой. Если f()=0 то док-но. Если не =, то хотя бы на одном из [a, ] или [,b] функция принимает значения разных знаков, т.е. f(a)*f()<0, f(b)*f()>0. Обозначим через [a1,b1]тот отрезок, на кот-ом вып-ся данное условие. F(a1)<0,f(b1)>0.Снова делим пополам и т.д. Мoжет оказаться, что на n-ом шаге мы наткнулись на точку деления, в кот-й функция обращается в 0.Тогда Т.доказана. Если не =0, то рассмотрим пос-сть [a,b][a1,b1] … [an,bn] … , что при всех n f(an)<0,f(bn)>0. Это пос-сть вложенных друг в друга отрезков. Найдем длину bn-an = при n∞. =>это стягивающаяся пос-сть, тогда сущ. с∊[an,bn] для любого n (для всех отрезков).Докажем теперь, что f(c)=0. Мы имеем lim an=c, limbn=c при n ∞. Воспользуемся непр-тью функции на [a,b]=> f(x) непр-на в точке х=с. По опред. непр-ти в точке по Гейне lim f(an)=f(c)<=0, lim f(bn)=f(c)>=0 =>f(c)=0. # Т. (Больцано-Коши)2: Если ф-я f определена и непрерывна на отрезке [а,b] и на концах этого отрезка принимает различные значения, те f(a)≠f(b), то эта функция принимает все значения из [f(a); f(b)]. Док-во: Надо доказать, что для любого µ из [f(a); f(b)] найдется такая точка с из [a;b], что f(c)=µ. Введем вспомогательную ф-ю φ(х)=f(x)-µ и рассмотрим эту ф. Ф. непрерывна как разность двух непр.ф-й, и φ(а)<0, а φ(b)>0, т.к. φ(а)=f(a)-µ, а φ(b)= f(b)-µ и f(a)<µ<f(b) => применим 1ю т.Б-К ф. φ(х) получим, , что φ(с)=0 => f(c)-µ=0 или µ=f(c). Непрерывность в школе. введения понятия предела ф-ии в точке, нахожд. наиб.инаим. значений.

Вопрос 3. Показательная и логарифмическая функции, их определения и основные свойства. Опр: !Х-мн-во всех дейст-ых чиел. Отобр-ие,кот-е xR сопостав-ет yпо правилу у = ,где а>0,а ≠1 назыв. показательной функцией. Пр-р. y=2^x; y=e^x; y=(1/2)^x Свойства показательной ф-ции: 1.Область определения D(f)=(-∞;+∞) 2.а^0=1 3.При а>1 функция строго возрастает, при 0<a<1 – строго убывает. 4.При а>1 lim a^x=+∞, lim a^x=0, при 0<a<1 – наоборот. x→+∞ x→-∞ 5.Показ функция непрерывна. 6.Не является ни четной, ни нечетной. 7.Не ограничена сверху, ограничена снизу. 8.Не имеет ни наибольшего, ни наименьшего значений. 9.E(f)=(0;+∞) 10.Выпукла вниз. Исходя из свойств функций, построим графики показательной функции. Графики функций y=f(x) и y=f(-x) симметричны относительно оси у. Кривую показательной функции наз экспонентой. Опр. Логарифмической функцией наз функция, обратная к показательной функции y=a^x. Поэтому ее график получается из графика показ функции с помощью преобразования симметрии относительно прямой у=х. Пр-р. y=log2x; y=log1/2x По теореме об обратной функции и определению обратной функции получаем свойства логарифмической функции. 1.D(f)=(0;+∞) 2.E(f)= (-∞;+∞) 3.loga1=0 4.При а>1 logax строго возрастает на (0;+∞), При 0<а<1 logax строго убывает на (0;+∞) 5.Логариф функция непрерывна. 6.Не является ни четной, ни нечетной. 7.Не ограничена сверху, не ограничена снизу. 8.Не имеет ни наибольшего, ни наименьшего значений 9.Выпукла вверх при а>1, выпукла вниз при 0<а<1 график наз логарифмическая кривая Свойства логарифмов: 1.Логарифм произведения двух положительных чисел равен сумме логарифмов этих чисел: loga(x*y)= logax+ logay (x,y>0) 2.Логарифм частного равен разности логарифмов делимого и делителя или логарифм дроби равен разности логарифмов числителя и знаменателя: loga(x/y) = logax- logay (x,y>0) 3.Логарифм степени равен произведению показателя степени на логарифм основания степени: logax^α=αlogax (х>0) ШКМ:основана на понятии степени числа от натур-го до рац-го показателя, с иррац-ым показа-нм опирается с ссылкой на высш.матем. Ф-ия однозначная.Место:св-ва ф-ий имспол-ся при решений ур-ий и нерав-в.